二次函數(shù)：知識(shí)梳理

一一次函數(shù)

形如y=左％+"(女工0)的函數(shù)。左>0,函數(shù)為R上的增函數(shù)；左<0,函數(shù)為R上的減函數(shù)。

例1.對(duì)于任意ae［—1,1］,函數(shù)f(x)=f+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，那么x的取值范圍是()

A.(1,3)B.(一8,1)u(3,+8)C.(1,2)D.(3,+°0)

例2.若函數(shù)f(x)=ax+2a+l的值在一1W后1時(shí)有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是。

二一元二次函數(shù)

1.一元二次函數(shù)的表達(dá)式：

(1)一般式：y-ax2+bx+c(aT^O)

例：若二次函數(shù)f㈤滿足f(x+l)~f(x)=2x,且f(0)=l,則/的表達(dá)式為()

A.f(x)=-^—x—lB.f(x)=~x+x~lC.f(x)=^—x—lD.f(x)=x~x+l

(2)頂點(diǎn)式：已知二次函數(shù)/(x)的頂點(diǎn)為(加,“)，則可設(shè)/(x)=a(x-7〃)2+“(aNO)；

例.若函數(shù)1?(x)=(x+a)(6x+2a)(常數(shù)a,6GR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?一8,幻，則該函數(shù)的解析

式

f(x)=.

(3)兩根式：已知二次函數(shù)/⑴滿足/(再)=/(々)=0,則可設(shè)/(期=4。一0)(工一馬)。*0"

例.已知二次函數(shù)/"(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意xGR,都有

f(2—x)=f(2+x),則f(x)的解析式為.

(4)廣義上的兩根式：已知二次函數(shù)y(x)滿足了(再)=/(%2)=冽,則可/(x)=a(x-X1)(x-X2)+m

(aWO)。

例.已知二次函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)4-2,2),8(-4,2),且"0)=10,若在區(qū)間［-1,1］上，

y=/(%)的圖像恒在y=2%+機(jī)的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍為；

2一元二次不等式的解法：一看：看對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的開口；二算；算對(duì)應(yīng)方程的根；

三寫：寫出不等式的解集。

例.解不等式：@56x2+ax-a2<0；?ax+^>2；(3)mx2-(/n-l)x+2>0o

x—3

3一元二次函數(shù)的圖像：

b

畫圖應(yīng)注意的信息：開口對(duì)稱軸x=----與x軸的交點(diǎn)

2a

與y軸的交點(diǎn)(0,c)(c的幾何意義：函數(shù)在y軸上的截距)

例1.已知函數(shù)y=x,一2x+3在閉區(qū)間［0,而上有最大值3,最小值2,則勿的取值范圍為

1

例2.設(shè)二次函數(shù)廣(x)=〃3—在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，且FE)WF(O),則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

例3.已知：/(x)=ax1+bx+c.(a>0),a./?為方程/(x)=x的兩根,且0<。<,，當(dāng)0<xva時(shí),

下列不等式成立的是()

Ax</(x)Bx</(x)Cx>/(x)Dx>/(x)

例4.12017山東，理10】已知當(dāng)X￡［O,1］時(shí),函數(shù)y=("優(yōu)一I)?的圖象與的圖象有且只

有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)口的取值范圍是()

A.B.C.D.

b4(ic—

4性質(zhì)⑴頂點(diǎn)F，k)；

bb

當(dāng)〃>。時(shí)，函數(shù)在x=——時(shí)取得最小值；當(dāng)avO時(shí)，函數(shù)在犬=——時(shí)取得最大值。

2a2a

bb

(2)單調(diào)性：〃>0,函數(shù)在(-8,—-)上為減；在(--,+8)為增。

2a2a

bb

a<0,函數(shù)在(—8,----)上為增；在(----,+8)為減。

2a2a

例1.若=y—x+a,f(一面<0,則/1(勿+1)的值為()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.與r有關(guān)

例2.已知二次函數(shù)y=/-2^+l在區(qū)間⑵3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.aW2或H23B.2<EW3C.3或a2一2D.—2

5一元二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題；

思維順序：(1)求出對(duì)稱軸；(2)確定函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性；(3)由單調(diào)性求出函數(shù)的值域；

例1.實(shí)數(shù)滿足2/+y2=3%,則爐+產(chǎn)的最大值為,最小值為；

例2.設(shè)羽y是關(guān)于加的方程一2々〃+。+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x—+(y—的最小值

是;

例3.1.已知/?㈤二x。專也函數(shù)g(t)表示廣㈤在［t,t+2］上的最大值，求g(t)的表達(dá)式.

2.函數(shù)f{x)=49一4ax+才一2a+2在區(qū)間［0,2］上有最小值3,求己的值.

例4.二次函數(shù)/(%)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有/(兄+2)=/(2-%),若

f(l-2x2)<f(l+2x-x2),則x的取值范圍；_

2

例5.函數(shù)尸(cos^—a)2+l,當(dāng)cosx=a時(shí)有最小值，當(dāng)cosx=-1時(shí)有最大值，則a的取值范圍是()

A.[-1,0]B.[-1,1]C.(一8,0]D.[0,1]

例6.設(shè)函數(shù)f(x)=a*—2x+2,對(duì)于滿足1<*4的一切x值都有f(x)〉0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

例7.已知函數(shù)+2ax+4.(0<a<3),若毛<%,當(dāng)+/=1-a，則()

A/(xJ>/(X2)B/(/)</(0)C/(網(wǎng))=/(巧)D/(Xj)與/(々)的大小不能確定

例&二次函數(shù)歷xBN。)滿足條件：f&)^,且方程/■⑨玄有等根。

(1)求的解析式；

(2)問是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m、n]和[2m、2n]?如存在，求出m、

n的值；如不存在，說明理由。

6一元二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題(注意：此處二等根算作兩根)

思維順序：(1)首先考查能否分解因式求出兩根

求法：求出兩根代入即可

例.方程3x2-(7?-3)x+2tz2-a=0在區(qū)間[-1,2]上有且只有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(2)考查是不是兩根都大于0、小于0、一根大于0—根小于0

求法：韋達(dá)定理求解即可

A>0A>0

兩根都大于0o?%+)>0；兩根都小于0O<西+尤2<。；

xxx2>0xrx2>0

一根大于0—根小于0o<0°

(3)考查是不是兩根都大于機(jī)、小于m、一根大于m一根小于m

求法：廣義韋達(dá)定理求解即可

A>0A>0

o(-加)+區(qū)一⑼〉0；;

兩根都大于m兩根都小于m<=><(%1-m)+(x2-m)<0

(再-m)(x2-m)>0(--m)(x2-m)>0

一根大于m一根小于m。(西一m)(x2-m)<0o

例.若方程。七—3a戶會(huì)=0的所有根均小于1,則實(shí)數(shù)a的范圍為.

(4)考查能否分離參數(shù)

求法：第一步：把方程變形為g(加)=/(%)的形式；

第二步：求出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間，最大值，最小值，畫出函數(shù)/(%)的圖像;

第三步：方程有解：函數(shù)/(%)的值域即為g(m)的范圍;

3

方程有一解：函數(shù)/(%)一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合即為g(加)的范圍;

方程有二解：函數(shù)/(X)二對(duì)一的函數(shù)值的集合即為g(相)的范圍。

例1.方程cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

例2.已知關(guān)于x的方程X。加一Zx+%?T=O有實(shí)根在。和1之間，則m的取值范圍.

(5)數(shù)形結(jié)合(方程為/(x)=0,平方項(xiàng)系數(shù)為。)

a>0fa<0

A一根大于根一根小于根、八或〈”、c

/(加)<0[f(m)>0

例.關(guān)于X的方程2以—2x—3A—2=0的兩實(shí)根，一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,則實(shí)數(shù)"的取值范圍為.

a>0a<Q

f(.m)>0fkni)<0

B一根在[也力上，另一根在[s,。上,，、八或

o?/(?)<o-/(?)>o

f(s)<0/(s)>0

"⑺>o.于(t)<o

例1.方程血一力V—刃x+4a=0有一根大于3,而另一根小于2,則實(shí)數(shù)a取值范圍為。

例2.若/U)=(m一2)9+%+(2m+1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則〃的取值范圍

1111「1

zz^

(--^(--z--

A.\4B.\-D.2

2J4Jc.4L

C方程在區(qū)間[7〃,網(wǎng),[>〃,"),(私"],(私”)上有且只有一根

求法：①f(m)f(n)<0,②使得了(m)=0,/(")=0的待定字母得的值應(yīng)單獨(dú)考查。

例.已知方程x+(m-2)x+2m-l=Q有且只有一個(gè)實(shí)根在(0,1)內(nèi)，則m的取值范圍為.

a>0a<0

bb

m<---<nm<---<n

D方程ax2+Zzx+c=O在［m,n)上有兩解2〃成2a

A>0以oA>0

/(m)>0f(m)<0

/(?)>0/(〃)<0

例1.已知/={x/x'+出仞x+7=。，xGA},且則實(shí)數(shù)。的范圍是.

例2.設(shè)f(?=3a"+26x+c若a+6+c=0,f(0)>0,/(l)>0,求證:

4

(1)a＞°且—2§T;⑵方程『(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

E方程依2+麻+。=0在[九”)上有解(上述。，。之并即可)

二次函數(shù)

-一次函數(shù)

形如y=左％+"(女工0)的函數(shù)。左＞0,函數(shù)為7?上的增函數(shù)；左＜0,函數(shù)為R上的減函數(shù)。

例1.對(duì)于任意aG[—1,1],函數(shù)f(x)=f+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，那么x的取值范圍是()

A.(1,3)B.(一8,1)u(3,+8)C.(1,2)D.(3,+00)

例2.若函數(shù)f(x)=ax+2a+l的值在一IWxWl時(shí)有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是。

答案：(―1,——)

二一元二次函數(shù)

1.一元二次函數(shù)的表達(dá)式：

(1)一般式：y-ax2+bx+c(a#0)

例：若二次函數(shù)滿足/■G+〃一/■&)為,且/?仞=/,則/■⑨的表達(dá)式為()

A.f(x)=~x—x~lB.f(x)=~x+x~lC.f(x)=x—x~lD.f(x)=x~x+l

答案：D

(2)頂點(diǎn)式：已知二次函數(shù)了(無)的頂點(diǎn)為(機(jī),“)，則可設(shè)f(x)=a(x-7〃)2(a#0)；

例.若函數(shù)/5)=(矛+4(版+2/(常數(shù)46GR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?一8,4],則該函數(shù)的解析

式

f(x)=.

答案一2*+4

解析：由/'(X)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

—a=—(一￡),即6=—2,?*.f{x}=—2/+2a2,

5

又/U)的值域?yàn)?-8,4],

.".2a=4,故f(x)=-2x?+4.

(3)兩根式：已知二次函數(shù)/(%)滿足〃%1)=/(%2)=0,則可設(shè)淋了)=決%-乂—(aWO)；

例.已知二次函數(shù)F(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意xGR,都有

f(2—x)=F(2+x),則/>(X)的解析式為.

答案：f{x)=x—4x+3.

解析：：f(2+x)=f(2—x)對(duì)任意xGR恒成立，

.?"(X)的對(duì)稱軸為x=2.

又：f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,

.?.f(x)=0的兩根為1和3.

設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x—1)(X—3)(a=0),

又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3),

??3d,:='3f1,

??.所求F(x)的解析式為f{x)=(X—1)(x—3),

即f{x}=V—4x+3.

(4)廣義上的兩根式：已知二次函數(shù)/(幻滿足/(再)=/(%)=加，貝IJ可=玉)(%—％2)+以

(aWO)。

例.已知二次函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(—2,2),8(—4,2),且/(O)=10,若在區(qū)間［―1,1］上，

y=f(x)的圖像恒在y=2%+根的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍為；

答案：m<6

2一元二次不等式的解法：一看：看對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的開口；二算；算對(duì)應(yīng)方程的根；

三寫：寫出不等式的解集。

例.解不等式：@56x2+ax-a2<0；@ax+^>2.(§)mx~-(zn-l)x+2>00

x—3

答案：(1)當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為：!x|-|<x<|j

當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為：。

當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為：

3一元二次函數(shù)的圖像：

一b

回圖應(yīng)注意的信息：開口對(duì)稱軸％=----與x軸的交點(diǎn)

2a

6

與y軸的交點(diǎn)(0,c)(c的幾何意義：函數(shù)在y軸上的截距)

例1.已知函數(shù)y=3—2x+3在閉區(qū)間［0,而上有最大值3,最小值2,則〃的取值范圍為

答案［1,2］

解析如圖，由圖象可知"的取值范圍是［1,2］.

例2.設(shè)二次函數(shù)f{x)=aV—2ax+c在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，且f(〃)Wf(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案：L0.2］

解析：依題意知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且開口方向向上，y(0)=A2),結(jié)合圖像可知,

不等式f?Wf(0)的解集是［0,2］.

例3.已知：/(%)=ax1+bx+c.{a>0),?,(3為方程f(x)=x的兩根,且0<。</，當(dāng)0<x<tz時(shí),

下列不等式成立的是()

Ax<f(x)Bx<f(x)Cx>f(x)Dx>于(x)

答案：A

例4.【2017山東，理10】已知當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與的圖象有且只

有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)口的取值范圍是(

D.

答案:B

解析:試題分析：當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減，且

,此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí),

所,以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需

h4ac—b，

4性質(zhì)⑴頂點(diǎn)(一五’一)；

7

bb

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=——時(shí)取得最小值；當(dāng)avO時(shí)，函數(shù)在九二——時(shí)取得最大值。

lala

bb

（2）單調(diào)性：6Z>0,函數(shù)在（—8,----）上為減；在（----,+8）為增。

la2a

bb

a<0函數(shù)在（—8,---）上為增；在（-----,+8）為減。

2a2a

例1.若=/—x+a,f（一面<0,則FE+1）的值為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.與勿有關(guān)

答案：B

例2.已知二次函數(shù)y=V—2ax+l在區(qū)間⑵3）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.EW2或石23B.2<HW3C.aW—3或a2一2D.一3<3式一2

5一元二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題；

思維順序：（1）求出對(duì)稱軸；（2）確定函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性；（3）由單調(diào)性求出函數(shù)的值域;

例1.實(shí)數(shù)x,y滿足2/+V=3x,則/+>2的最大值為,最小值為0；

9

答案：一，0；

4

例2.設(shè)羽y是關(guān)于加的方程加2—2〃加+。+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（犬—1尸+（y—1尸的最小值

是；

答案：8

例3.1.已知函數(shù)g（t）表示F㈤在上的最大值，求g（t）的表達(dá)式.

2.函數(shù)f{x）=49-4ax+3-22+2在區(qū)間［0,2］上有最小值3,求己的值.

解f(x)=4(T—|)2—2a+2,

8

①當(dāng)］W0,即aWO時(shí)，函數(shù)Hx)在［0,2］上是增函數(shù).

/>(X)min=F(0)=3—2d+2.

由才一2己+2=3,得a=l±y［2.

,**0,Q--1-72.

②當(dāng)吟2,即0〈a〈4時(shí)，

/(a)min=/(1)=—2a+2.

由一2女+2=3,得己=一毛(0,4),舍去.

③當(dāng)券2,即a24時(shí)，函數(shù)/U)在［0,2］上是減函數(shù)，

/(^)min=/(2)=5*2—105+18.

由才一10己+18=3,得a=5±qib.

Va=5+Vio.

綜上所述，a=l—/或a=5+，TB.

例4.二次函數(shù)/(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有/(x+2)=/(2-X),若

/(1-2%2)</(1+2X-X2),則x的取值范圍；_

答案：—2〈無<0提示：誰離對(duì)稱軸遠(yuǎn)

例5.函數(shù)y=(cosx—aV+l,當(dāng)cosx=a時(shí)有最小值,當(dāng)cosx=—l時(shí)有最大值,則a的取值范圍是()

A.[-1,0]B.[-1,1]C.（一8,o]D.[0,1]

例6.設(shè)函數(shù)/(x)=aY—2x+2,對(duì)于滿足1<*4的一切x值都有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

答案E+8)

22

解析由題意得力一—一對(duì)l<x<4恒成立,

Xx

11

---

25>2

9

例7.已知函數(shù)+2ax+4.(0<a<3),若X］〈/，玉+/=1-a，則()

A/(X］)>/(X2)B/(^1)</(x2)C/(X］)=/(X2)D/(七)與/(%2)的大小不能確定

答案：B

例8.二次函數(shù)f(x)=ax+bx(a#O)滿足條件：/(2)=0,且方程廣⑨二才有等根。

(1)求f(x)的解析式；

(2)問是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為血、n］和［2m、2n］?如存在，求出m、

n的值；如不存在，說明理由。

1_11

答案：(1)f(%)=——9+Jh；(2)m=—2,n=0(提?。?(x)的最大值為5,

6一元二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題(注意：此處二等根算作兩根)

思維順序：(1)首先考查能否分解因式求出兩根

求法：求出兩根代入即可

例.方程3x2-(7a-3)x+2a2-a=0在區(qū)間［一1,2］上有且只有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

答案：—3〈。<0或提示：求出并扣去交

2

(2)考查是不是兩根都大于0、小于0、一根大于0—根小于0

求法：韋達(dá)定理求解即可

A>0A>0

兩根都大于0o卜1+%>°；兩根都小于00v再+/<0；

x{x2>0x{x2>0

一根大于0—根小于0o西工2<0。

(3)考查是不是兩根都大于m、小于m、一根大于m一根小于m

求法：廣義韋達(dá)定理求解即可

A>0A>0

;

兩根都大于rno<(%-⑼+(%-加)>0；兩根都小于mo<-冽)+(x2-m)<0

(X1-加)(尤2->0(%1-m)(x2-m)>0

一根大于m一根小于mU>(玉-m)(x2-m)<0o

例L若方程(l+a)f—3ax+4a=0的所有根均小于1,則實(shí)數(shù)a的范圍為.

答案：—l<a<0

例2.關(guān)于X的方程2kx2—2x—3k—2=0的兩實(shí)根，一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

答案：上<T或左>0

(4)考查能否分離參數(shù)

求法：第一步：把方程變形為g(m)=f(x)的形式;

10

第二步：求出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間，最大值，最小值，畫出函數(shù)/(X)的圖像；

第三步：方程有解：函數(shù)/(%)的值域即為g(加)的范圍；

方程有一解：函數(shù)/(%)一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合即為g(m)的范圍；

方程有二解：函數(shù)/(x)二對(duì)一的函數(shù)值的集合即為g(/n)的范圍。

例1.方程cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

9

答案：-2<a<-

8

例2.已知關(guān)于x的方程血一Zx+2?T=0有實(shí)根在0和1之間，則m的取值范圍______.

答案：一<tz<6—2-\/^7

2

(5)數(shù)形結(jié)合(方程為/(x)=O,平方項(xiàng)系數(shù)為a)

a>0fa<0

A一根大于根一根小于、八或〈”.八

f(m)<0[f(m)>0

例.關(guān)于X的方程2kx2—2x—3k—2=0的兩實(shí)根，一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

2

答案：k<一一或左>0

3

a>0a<0

f(.m)>0fkni)<0

B一根在[m,ri)上，另一根在區(qū)。上，,、八或

/(?)<0-/(?)>o

/⑸<0于(s)>0

"⑺>0J⑺<o

例1.方程(a—2)x2—2(a+3)x+4a=0有一根大于3,而另一根小于？，則實(shí)數(shù)a取值范圍為。

答案：2<a<5

例2.若f(x)=(必一2)f+&+(2ffl+l)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則⑷的取值范圍