第一章學(xué)習(xí)單元2空間向量基本定理本學(xué)習(xí)單元的主要內(nèi)容是空間向量基本定理.空間向量基本定理是立體幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ),有了這個(gè)定理,任何一個(gè)空間向量都可以由三個(gè)不共面的基向量來唯一確定,這樣就實(shí)現(xiàn)了從無限空間向量到有限基向量的轉(zhuǎn)化,結(jié)合向量運(yùn)算,能表示及解決更多的幾何問題.本學(xué)習(xí)單元,從空間中三個(gè)兩兩垂直的不共面的向量這一特殊情況出發(fā),類比平面向量基本定理,得到空間向量基本定理,并在簡單問題中選用基底表示其他向量.由此得出本單元的研究內(nèi)容:空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量→空間向量基本定理→簡單應(yīng)用.這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.具體知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示:在知識(shí)明線的學(xué)習(xí)過程中,如何選擇合適的基底來表示任一向量,體會(huì)無限化有限的思想是一個(gè)難點(diǎn),這依賴于對(duì)立體幾何圖形基本元素及其基本關(guān)系的把握,依賴于對(duì)空間向量基本定理的應(yīng)用,能較好地培養(yǎng)空間想象力及化歸的數(shù)學(xué)思想,從而發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量基本定理.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解空間向量正交分解的含義.(數(shù)學(xué)抽象)3.會(huì)用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

空間向量基本定理1.定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在_______

有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=

.

2.基底:我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做

.

空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

唯一的

xa+yb+zc基向量

3.單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量

,且長度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.

單位正交基底為建立空間直角坐標(biāo)系奠定了理論基礎(chǔ)

由空間向量基本定理可知,對(duì)空間中的任意向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk,使a=

.像這樣,把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)

的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

兩兩垂直

xi+yj+zk兩兩垂直

微思考1.空間的一個(gè)基底中,能否有零向量?為什么?

2.空間的基底是否唯一?空間的任意向量用基向量表示是否唯一?提示

不能.因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面.提示

空間的基底不唯一,任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底;但當(dāng)基底選定時(shí),空間任意向量用基底表示是唯一的.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)不共線的向量a,b來表示(平面向量基本定理).類似地,任意一個(gè)空間向量能否用任意三個(gè)不共面的向量a,b,c來表示呢?問題2三個(gè)共面的向量能否表示空間中任意一個(gè)向量?為什么?探究點(diǎn)一基底的判斷問題3已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,則向量a,b,c應(yīng)滿足什么條件?為什么?【例1】

設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間的一個(gè)基底的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C規(guī)律方法

判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路:判斷三個(gè)空間向量是否共面.若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底.②假設(shè)a=λb+μc,運(yùn)用空間向量基本定理,建立λ,μ的方程組.若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.探究點(diǎn)二用基底表示空間向量問題4選取空間的一個(gè)基底,則空間任意向量均可用這個(gè)基底線性表示.根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算,如何用基底表示未知向量?規(guī)律方法

用基底表示向量的注意事項(xiàng)(1)空間中,任一向量都可以用一個(gè)基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.(2)用基底表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.(3)在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底.例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.探究點(diǎn)三應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系問題5基底的引入,使得空間不再“雜亂無章”,而是能用基底有序地表示.選取恰當(dāng)?shù)幕拙€性表示未知向量,如何根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算,證明線線位置關(guān)系?【例3】

在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段DD1,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且CG=CD.(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.規(guī)律方法

應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.一般是根據(jù)幾何體的特點(diǎn),選擇一個(gè)基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).探究點(diǎn)四應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角問題6選取適當(dāng)?shù)幕妆硎疚粗蛄?根據(jù)數(shù)量積定義,如何求線段的距離以及直線的夾角?【例4】

如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1,且兩兩夾角為60°.求:(1)AC1的長;(2)BD1與AC所成角的余弦值.規(guī)律方法

利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的基本步驟

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)空間向量的基底;(2)空間向量基本定理及其應(yīng)用;(3)空間向量共線、共面的充要條件.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):(1)基向量理解錯(cuò)誤,沒有注意到基向量的條件;(2)運(yùn)算錯(cuò)誤,利用基底表示向量時(shí)計(jì)算要細(xì)心;(3)向量夾角和直線間夾角的范圍不同,不要混淆;(4)轉(zhuǎn)化目標(biāo)不清,如表示向量時(shí)沒有轉(zhuǎn)化目標(biāo),不理解空間向量基本定理的意義.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12341.(例1對(duì)點(diǎn)題)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個(gè)基底.解

假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,∴a,b,c不共面.即不存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個(gè)基底.1234B12343.(例3對(duì)點(diǎn)題)已知三棱柱ABC