2024屆北京市和平街一中學中考數(shù)學四模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.已知3a-2b=1,則代數(shù)式5-6a+4b的值是（）

A.4B.3C.-1D.-3

2.下列圖形中，陰影部分面積最大的是

3.下列運算結果是無理數(shù)的是（）

A.3-y/2x55/2B.73x72C.V72-V2D.7132-52

4."這個數(shù)是（)

A.整數(shù)B.分數(shù)C.有理數(shù)D.無理數(shù)

5.在一次男子馬拉松長跑比賽中，隨機抽取了10名選手，記錄他們的成績（所用的時間）如下:

選手12345678910

時間(min)129136140145146148154158165175

由此所得的以下推斷不亞碘的是（）

A.這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)超過130

B.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是147

C.在這次比賽中，估計成績?yōu)?30min的選手的成績會比平均成績差

D.在這次比賽中，估計成績?yōu)?42min的選手，會比一半以上的選手成績要好

-x(x-4)(0<x<2)

6.如圖,函數(shù)y=<的圖象記為ci,它與x軸交于點O和點Ai；將ci繞點Ai旋轉180。得C2,交

-2x+8(2<x<4)

X軸于點A2；將C2繞點A2旋轉180。得C3,交X軸于點A3…如此進行下去，若點P（103,m）在圖象上，那么m的

值是（）

D.4

A.-近B.&C.D.2

8.關于x的一元二次方程x2+2x+k+l=0的兩個實根Xi,X2,滿足X1+X2-xiX2<-1,則k的取值范圍在數(shù)軸上表示為

()

A._____I_____I_

C.,D.__________

-201?-2-1012

9.如圖的幾何體是由五個小正方體組合而成的，則這個幾何體的左視圖是（）

ZZT

氏十

f2（2x-3）<x-3

10.將不等式組「的解集在數(shù)軸上表示，下列表示中正確的是（）

5x+3>2x

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

H.計算（出+6）3-6）的結果等于.

12.一個不透明口袋里裝有形狀、大小都相同的2個紅球和4個黑球，從中任意摸出一個球恰好是紅球的概率是.

13.如圖，將邊長為1的正方形的四條邊分別向外延長一倍，得到第二個正方形，將第二個正方形的四條邊分別向外

延長一倍得到第三個正方形，…，則第2018個正方形的面積為

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（-2,0）,B（0,2）,。。的半徑為1,點C為。O上一動點，過點B作BP,

直線AC,垂足為點P,則P點縱坐標的最大值為cm.

16.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB。若NB=48。，貝!JNACB，=,

17.已知2-6是一元二次方程4x+c=0的一個根，則方程的另一個根是.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）為獎勵優(yōu)秀學生，某校準備購買一批文具袋和圓規(guī)作為獎品，已知購買1個文具袋和2個圓規(guī)需21元，

購買2個文具袋和3個圓規(guī)需39元。求文具袋和圓規(guī)的單價。學校準備購買文具袋20個，圓規(guī)若干，文具店給出兩

種優(yōu)惠方案：

方案一：購買一個文具袋還送1個圓規(guī)。

方案二：購買圓規(guī)10個以上時，超出10個的部分按原價的八折優(yōu)惠，文具袋不打折.

①設購買面規(guī)m個，則選擇方案一的總費用為,選擇方案二的總費用為.

②若學校購買圓規(guī)100個，則選擇哪種方案更合算？請說明理由.

19.（5分）如圖，點D,C在BF上，AB〃EF,ZA=ZE,BD=CF.求證：AB-=EF.

A

D

BC

20.(8分)已知關于x的方程(a-1)好+2*+“-1=1.若該方程有一根為2,求a的值及方程的另一根；當a為何值

時，方程的根僅有唯一的值？求出此時a的值及方程的根.

21.(10分)如圖，在平面直角坐標系中有R3ABC,NA=90。，AB=AC,A(-2,0),B(0,1).

(1)求點C的坐標；

(2)將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點B\C正好落在某反比例函數(shù)圖象上.請求

出這個反比例函數(shù)和此時的直線的解析式.

(3)若把上一問中的反比例函數(shù)記為yi,點B，，。所在的直線記為y2,請直接寫出在第一象限內當yi<y2時x的取

值范圍.

22.(10分)我們已經知道一些特殊的勾股數(shù)，如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、

8、10；事實上，勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).另外利用一些構成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達哥拉

斯學派提出的公式：a=2〃+l,5=24+2”,C=2“2+2”+1("為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，請證明滿足以上公式的“、b、c

的數(shù)是一組勾股數(shù).然而，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國古代的著名數(shù)學著作《九章算術》中，書中

提到：當a=-“2),b=inn,c=—(m2+n2)(m>"為正整數(shù)，機>”時，a、b、c構成一組勾股數(shù)；利用上述結論,

22

解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37,且"=5,求該直角三角形另兩邊的長.

23.(12分)如圖，AB是。O的直徑，D、D為OO上兩點，CFLAB于點F,CELAD交AD的延長線于點E,且

CE=CF.

(1)求證：CE是。O的切線；

(2)連接CD、CB,若AD=CD=a,求四邊形ABCD面積.

24.(14分)已知。O的直徑為10,點A,點B,點C在。。上，NCAB的平分線交。。于點D.

(I)如圖①，若BC為。。的直徑，求BD、CD的長；

(II)如圖②，若/CAB=60。，求BD、BC的長.

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、B

【解析】

先變形，再整體代入，即可求出答案.

【詳解】

V3a-2b=l,

：.5-6a+4b=5-2(3a-2b)=5-2x1=3,

故選：B.

【點睛】

本題考查了求代數(shù)式的值，能夠整體代入是解此題的關鍵.

2、C

【解析】

分別根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形面積求法以及梯形面積求法得出即可:

【詳解】

A、根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，陰影部分面積和為：xy=l.

B、根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，陰影部分面積和為：|xy|=3.

C、如圖，過點M作MA，x軸于點A,過點N作NBJ_x軸于點B,

VAl

wn,3;

Z\A73,1)

ABx

i3

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，SAOAM=SAOAM=-|xy|=-,從而陰影部分面積和為梯形MABN的面積:

7（1+3）X2=4.

2''

D、根據(jù)M,N點的坐標以及三角形面積求法得出，陰影部分面積為：《><1x6=3.

2

綜上所述，陰影部分面積最大的是C.故選C

3、B

【解析】

根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

【詳解】

A選項：原式=3x2=6,故A不是無理數(shù)；

B選項：原式=#,故5是無理數(shù)；

C選項：原式=屈=6,故C不是無理數(shù)；

D選項：原式=J(13—5)(13+5)=j8xl8=12,故。不是無理數(shù)

故選5.

【點睛】

考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎題型.

4、D

【解析】

由于圓周率7T是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，由此即可求解.

【詳解】

解：實數(shù)兀是一個無限不循環(huán)的小數(shù).所以是無理數(shù).

故選D.

【點睛】

本題主要考查無理數(shù)的概念，”是常見的一種無理數(shù)的形式，比較簡單.

5、C

【解析】

分析：要求平均數(shù)只要求出數(shù)據(jù)之和再除以總個數(shù)即可；對于中位數(shù)，因圖中是按從小到大的順序排列的，所以只要

找出最中間的一個數(shù)(或最中間的兩個數(shù))即可求解.

詳解：平均數(shù)=(129+136+140+145+146+148+154+158+165+175)+10=149.6(min),故這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)超過130,

A正確，C錯誤；因為表中是按從小到大的順序排列的，一共10名選手，中位數(shù)為第五位和第六位的平均數(shù)，故中位

數(shù)是(146+148)+2=147(min),故B正確，D正確.故選C.

點睛：本題考查的是平均數(shù)和中位數(shù)的定義.要注意，當所給數(shù)據(jù)有單位時，所求得的平均數(shù)和中位數(shù)與原數(shù)據(jù)的單

位相同，不要漏單位.

6^C

【解析】

求出G與X軸的交點坐標，觀察圖形可知第奇數(shù)號拋物線都在x軸上方，然后求出到拋物線。25平移的距離，再根據(jù)

向右平移橫坐標加表示出拋物線c26的解析式，然后把點P的坐標代入計算即可得解.

【詳解】

令y=o,則|:o=o,

-2%+8

=

解得％0,%2=4,

???4(4,0),

由圖可知，拋物線。26在X軸下方，

相當于拋物線G向右平移4x(26T尸100個單位得到得到c25，再將C25繞點45旋轉180。得C26,

c26此時的解析式為y=(xT00)(x-100-4戶(xT00)(x-104),

PQ03,而在第26段拋物線G6上，

zn=(103-100)(103-104)=-3.

故答案是：C.

【點睛】

本題考查的知識點是二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關鍵是根據(jù)題意得到P點所在函數(shù)表達式.

7、A

【解析】

分析：

根據(jù)相反數(shù)的定義結合實數(shù)的性質進行分析判斷即可.

詳解：

力的相反數(shù)是-

故選A.

點睛：熟記相反數(shù)的定義：“只有符號不同的兩個數(shù)（實數(shù)）互為相反數(shù)”是正確解答這類題的關鍵.

【解析】

試題分析：根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關系列出不等式，求出解集.

解：?.?關于x的一元二次方程x2+2x+k+l=0有兩個實根，

/.4-4(k+1)>0,

解得k<0,

VXl+X2=-2,Xl*X2=k+l,

：?-2-(k+1)V-1,

解得k>-2,

不等式組的解集為-2VkW0,

在數(shù)軸上表示為:

故選D.

點評：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系，在數(shù)軸上找到公共部分是解題的關鍵.

9、D

【解析】

找到從左面看到的圖形即可.

【詳解】

從左面上看是D項的圖形.故選D.

【點睛】

本題考查三視圖的知識，左視圖是從物體左面看到的視圖.

10、B

【解析】

先解不等式組中的每一個不等式，再把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可.

解：不等式可化為：\X<1，即—

X>-1

...在數(shù)軸上可表示為I—>.故選B.

d01T

“點睛”不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（,之向右畫；v,W向左畫）,

在表示解集時“N”，“W”要用實心圓點表示；要用空心圓點表示.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、4

【解析】

利用平方差公式計算.

【詳解】

解：原式=（4）2-（右）2

=7-3

=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算.

1

12、—?

3

【解析】

根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù).二者的比值就是其發(fā)生的概

率的大小.

【詳解】

?.?一個不透明口袋里裝有形狀、大小都相同的2個紅球和4個黑球，

21

...從中任意摸出一個球恰好是紅球的概率為：——

故答案為;.

【點睛】

本題考查了概率公式的應用.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13、1

【解析】

先分別求出第1個、第2個、第3個正方形的面積，由此總結規(guī)律，得到第n個正方形的面積，將n=2018代入即可

求出第2018個正方形的面積.

【詳解】

:?第1個正方形的面積為：l+4x,.x2xl=5=f；

第2個正方形的面積為：5+4xx27X1=25=52；

1V**V」

第3個正方形的面積為：25+4xx2,-X,不=125=53；

...第n個正方形的面積為：5"；

.?.第2018個正方形的面積為：1.

故答案為L

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關鍵是得到第n個正方形的面積.

14、1+百

2

【解析】

當AC與。O相切于點C時，P點縱坐標的最大值，如圖，直線AC交y軸于點D,連結OC,作CH±x軸于H,PM±x

軸于M,DN_LPM于N,

/.OCIAC,

在AAOC中，VOA=2,OC=1,

.,.ZOAC=30°,ZAOC=60°,

在RtAAOD中，VZDAO=30°,

.nn_V3nA_26

??OD—OA--------f

33

在RtABDP中，,:ZBDP=ZADO=60°,

.*.DP=-BD=-(2-^1)=1-3，

2233

在RtADPN中，VZPDN=30°,

226

而MN=OD=^^,

3

PM=PN+MN=1-立+-=1+百,

632

即P點縱坐標的最大值為匕走.

2

【點睛】

本題是圓的綜合題，先求出OD的長度，最后根據(jù)兩點之間線段最短求出PN+MN的值.

15、“3-3)2

【解析】

根據(jù)因式分解的方法與步驟，先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可.

【詳解】

解：a3—6a~+9a

=a(cr-6a+9)

=?(a-3)2

故答案為：a(a—3).

【點睛】

本題考查因式分解的方法與步驟，熟練掌握方法與步驟是解答關鍵.

16、6°

【解析】

ZB=48°,ZACB=90°,所以NA=42。，OC是中線，所以NBCZ>=NJB=48。，

ZDCA=ZA=48°,因為所以NNCK=48°-46°=6°.

17、2+73

【解析】

通過觀察原方程可知，常數(shù)項是一未知數(shù)，而一次項系數(shù)為常數(shù)，因此可用兩根之和公式進行計算，將2-G代入計

算即可.

【詳解】

設方程的另一根為XI,

又入=2-6，由根與系數(shù)關系，得XI+2-6=4,解得XI=2+6.

故答案為：2+#)

【點睛】

解決此類題目時要認真審題，確定好各系數(shù)的數(shù)值與正負，然后適當選擇一個根與系數(shù)的關系式求解.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)文具袋的單價為15元，圓規(guī)單價為3元；(2)①方案一總費用為(3m+240)元，

方案二總費用為(24根+306)元；②方案一更合算.

【解析】

(1)設文具袋的單價為x元/個，圓規(guī)的單價為y元/個，根據(jù)“購買1個文具袋和2個圓規(guī)需21元；購買2個文具袋

和3個圓規(guī)需39元”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)根據(jù)總價=單價x數(shù)量結合兩種優(yōu)惠方案，設購買面規(guī)m個，分別求出選擇方案一和選擇方案二所需費用，然后

代入m=100計算比較后即可得出結論.

【詳解】

(1)設文具袋的單價為x元，圓規(guī)單價為y元。

x+2y=21x=15

由題意得＜解得.

2x+3y=39[y=3

答：文具袋的單價為15元，圓規(guī)單價為3元。

(2)①設圓規(guī)m個，則方案一總費用為：20x15+30—20)=(3〃?+240)元

方案二總費用20xl5+10x3+3x80%(m-10)=(2.4m+306)元

故答案為：(3m+240)元；(2.4m+306)

②買圓規(guī)100個時，方案一總費用：20x15+3(100—20)=540元，

方案二總費用：20xl5+10x3+3x80%(100-10)=546%,

...方案一更合算。

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

19、見解析

【解析】

試題分析:依據(jù)題意，可通過證△A3C之ZXE尸。來得出AB^EF的結論,兩三角形中，已知的條件有A3〃Ep即ZB^ZF,

ZA=ZE,BD=CF,即5c=OF；可根據(jù)AAS判定兩三角形全等解題.

證明：VAB/7EF,

.\ZB=ZF.

又；BD=CF,

/.BC=FD.

在AABC與△EFD中NA=/E，

,BC=FD

AAABC^AEFD(AAS),

；.AB=EF.

11

20、(3)a=-,方程的另一根為一；(2)答案見解析.

52

【解析】

(3)把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，進一步解方程即可；

(2)分兩種情況探討：①當a=3時，為一元一次方程；②當a/3時，利用b2-4ac=3求出a的值，再代入解方程即

可.

【詳解】

⑶將x=2代入方程(a-l)x?+2x+a-1=0,得4(a-l)+4+a-l=0,解得：a—j.

將a=一代入原方程得—x~+2x----=0,解得：X3=—,X2—2.

5552

...a=』，方程的另一根為工；

52

(2)①當a=3時，方程為2x=3,解得：x=3.

②當a#3時，由b?—4ac=3得4—4(a—3/=3,解得：a=2或3.

當a=2時，原方程為：x2+2x+3=3,解得：X3=X2=—3；

當a=3時，原方程為：-x?+2x—3=3,解得：X3=X2=3.

綜上所述，當a=3,3,2時，方程僅有一個根，分別為3,3,—3.

考點：3.一元二次方程根的判別式；2.解一元二次方程；3.分類思想的應用.

21、(1)C(-3,2)；(2)yi=-,y=--x+3；(3)3<x<l.

x23

【解析】

分析：

(1)過點C作CN±x軸于點N,由已知條件證RtACAN^RtAAOB即可得到AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3

結合點C在第二象限即可得到點C的坐標；

(2)設AABC向右平移了c個單位，則結合(1)可得點C，，B，的坐標分別為(-3+C,2)、(c,1),再設反比例函

數(shù)的解析式為y產A,將點B，的坐標代入所設解析式即可求得c的值，由此即可得到點C，，B，的坐標，這樣用待

x

定系數(shù)法即可求得兩個函數(shù)的解析式了；

(3)結合(2)中所得點C，，B，的坐標和圖象即可得到本題所求答案.

詳解：

(1)作CNLx軸于點N,

二ZCAN=ZCAB=ZAOB=90°,

ZCAN+ZCAN=90°,ZCAN+ZOAB=90°,

.\ZCAN=ZOAB,

VA(-2,0)B(0,1),

OB=1,AO=2,

在RtACAN和RtAAOB,

NACN=ZOAB

VJZANC=ZAOB,

AC=AB

/.RtACAN^RtAAOB(AAS),

.,.AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3,

又?.?點C在第二象限，

AC(-3,2)；

(2)設△ABC沿x軸的正方向平移c個單位，則C，(-3+c,2),則B，(c,1),

設這個反比例函數(shù)的解析式為：yi=-,

X

又點C，和B，在該比例函數(shù)圖象上，把點。和B，的坐標分別代入yi=-,得-l+2c=c,

X

解得c=l,即反比例函數(shù)解析式為yi=9,

X

此時C，(3,2),Br(1,1),設直線B。的解析式y(tǒng)2=mx+n,

[3m+n=2

6m+〃=1

一1

m=——

???彳3,

n-3

二直線UB，的解析式為y2=-；x+3；

(3)由圖象可知反比例函數(shù)yi和此時的直線的交點為C，(3,2),B'(1,1),

???若yiVyz時，貝!]3VxVl.

點睛：本題是一道綜合考查“全等三角形”、“一次函數(shù)”、“反比例函數(shù)”和“平移的性質”的綜合題，解題的關鍵是：(1)

通過作如圖所示的輔助線，構造出全等三角形RtACAN和R3AOB；(2)利用平移的性質結合點B、C的坐標表達

出點C，和B，的坐標，由點C，和B，都在反比例函數(shù)的圖象上列出方程，解方程可得點C，和B，的坐標，從而使問題得到

解決.

22、(1)證明見解析；(2)當"=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,1.

【解析】

(1)根據(jù)題意只需要證明層+"=02,即可解答

(2)根據(jù)題意將〃=5代入得到。=工(--52),b=5m,c=-(/+25),再將直角三角形的一邊長為37,分別分三

22

種情況代入(m2-52),b=5m,c=—(m2+25),即可解答

22

【詳解】

(l)Va2+fe2=(2n+l)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+l+4n4+87/3+4zz2=4n4+8n3+8n2+4n+l,

c2=(2n2+2n+l)2—4n4+8n3+8n2+4n+l,

a2+b2=c2,

為正整數(shù)，

"b、c是一組勾股數(shù)；

(2)解：???“=5

1,,1

?*.a=-(m2-52),b=5m,c=—(m2+25),

22

?.?直角三角形的一邊長為37,

分三種情況討論，

①當a=37時，—(m2-52)=37,

2

解得機=±3而(不合題意，舍去)

②當y=37時，5m=31,

37

解得機(不合題意舍去)；

③當z=37時，37=-(m2+n2),

2.

解得m=±7,

Vm>n>0,〃是互質的奇數(shù),

:?m=7,

把m=7代入①②得，x=12,y=l.

綜上所述：當"=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,1.

【點睛】

此題考查了勾股數(shù)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關鍵

23、(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)連接OC,AC,可先證明AC平分NBAE,結合圓的性質可證明OC〃AE,可得/OCB=