第七章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2020山東棗莊第三中學(xué)高二月考)已知隨機(jī)變量X~B8,12,則E(3X-1)=A.11 B.12 C.18 D.36解析∵隨機(jī)變量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-故選A.答案A2.(2020黑龍江鶴崗一中高二期末)已知離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表,則其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4解析依題意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故選D.答案D3.現(xiàn)在分別有A,B兩個(gè)容器,在容器A里有7個(gè)紅球和3個(gè)白球,在容器B里有1個(gè)紅球和9個(gè)白球.現(xiàn)從這兩個(gè)容器里任意抽出一個(gè)球,則在抽到的是紅球的情況下,是來自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35解析設(shè)A=“抽到的是紅球”,B=“抽到的是來自容器A里面的球”,則AB=“抽到的是來自容器A里面的紅球”.由題意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(答案C4.(2019廣東高考模擬)從某班6名學(xué)生(其中男生4人、女生2人)中任選3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,則均值E(ξ)=()A.45 B.1C.75 D.解析依題意,ξ=0,1,2,則P(ξ=0)=C4P(ξ=1)=C42C21C63=故E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1.答案B5.(2020湖北高二期末)甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,假設(shè)每局比賽甲勝的概率是23,各局比賽是相互獨(dú)立的,采用5局3勝制,則乙以3∶1戰(zhàn)勝甲的概率為(A.827 B.2C.881 D.解析由題意知,前3局乙勝2局,第4局乙勝,故所求概率P=C3故選B.答案B6.(2020寧夏石嘴山第三中學(xué)高二期中)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=i)=13,i=1,2,3,則D(X)等于(A.13 B.2C.1 D.2解析∵P(X=i)=13,i=∴E(X)=1×13+2×13+3×1∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×故選B.答案B7.(2019黑龍江高三期中)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?并且向上、向右移動(dòng)的概率都是12.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率為(A.12B.C5C.C5D.C解析依題意,質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過程中向右移動(dòng)2次,向上移動(dòng)3次,因此質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率P=C5答案B8.(2020四川高三月考)小明與另外2名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲,規(guī)則是:3人同時(shí)隨機(jī)等可能選擇手心或手背中的一種手勢(shì),規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分.現(xiàn)3人共進(jìn)行了4次游戲,每次游戲互不影響,記小明4次游戲得分之和為X,則X的均值為()A.1 B.2 C.3 D.4解析進(jìn)行“手心手背”游戲,小明與另外2名同學(xué)選擇手勢(shì)的所有可能情況為(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),則小明得1分的概率為34,得0分的概率為1進(jìn)行4次游戲,小明得分之和X的可能結(jié)果為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×故選C.答案C二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則()A.P(X>4)=0.2 B.P(X>0)=0.6C.P(0<X<2)=0.3 D.P(0<X<4)=0.4解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0<X<4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0<X<2)=12P(0<X<4)=0.3答案AC10.(2019山東高三月考)某市有A,B,C,D四個(gè)景點(diǎn),一名游客來該市游覽,已知該游客游覽A的概率為23,游覽B,C和D的概率都是12,且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù),下列結(jié)論正確的是(A.該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為1B.P(X=2)=3C.P(X=4)=1D.E(X)=13解析隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=1-P(X=1)=23P(X=2)=23×C31×12×(1-12)2+1P(X=3)=23×C32×122×1-12+P(X=4)=23故E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+設(shè)A=“該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)”,則P(A)=P(X=0)+P(X=1)=14.故選ABD答案ABD11.(2020江蘇高二月考)下列說法中,正確的是()A.已知隨機(jī)變量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=2B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變C.設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ≤0)=12D.某人在10次射擊中,擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),則當(dāng)X=8時(shí)概率最大解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閄~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤易知選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)棣蝵N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0<ξ<1)=12-p,所以P(-1<ξ<0)=12-p,故選項(xiàng)C對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閄~B(10,0.8),所以當(dāng)X=k(k=0,1,…,10)時(shí),P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以當(dāng)1≤k≤10時(shí),P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(故選BCD.答案BCD12.(2020山東高考真題)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pA.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)解析對(duì)于A,若n=1,則p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正確.對(duì)于B,若n=2,則p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],當(dāng)p1=14時(shí),H(X)=-14·log214+34·當(dāng)p1=34時(shí),H(X)=-34·log234+14·兩者相等,所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),H(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2n則H(X)隨著n的增大而增大,所以C正確.對(duì)于D,若n=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).則H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12m=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2m-H(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log21p1+p因?yàn)閜i>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2m所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D錯(cuò)誤.故選AC.答案AC三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2019山東高二期末)按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,500g袋裝奶粉每袋質(zhì)量必須服從正態(tài)分布X~N(500,σ2),經(jīng)檢測(cè)某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一個(gè)月內(nèi)共賣出這種品牌的奶粉400袋,則賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上袋數(shù)大約為.

解析因?yàn)閄~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上袋數(shù)大約為400×0.025答案1014.(2020山東青島高二月考)拋擲兩個(gè)骰子,至少有一個(gè)4點(diǎn)或5點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,則在8次試驗(yàn)中,成功次數(shù)ξ的均值是.

解析在一次試驗(yàn)中,成功的概率為1-23×23=59.依題意,ξ~B8,59,答案4015.若隨機(jī)變量X~B(4,p),且E(X)=2,則D(2X-3)=.

解析由隨機(jī)變量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,則D(X)=4×12故D(2X-3)=4D(X)=4.答案416.(2020浙江高考)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球,每次拿一個(gè),不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=;E(ξ)=.

解析依題意,ξ的取值可能為0,1,2,則P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24×13+24×13×故E(ξ)=0×13+1×13+2×13答案13四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2020河南高二期中)某校從學(xué)生文藝部6名成員(4男2女)中,挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動(dòng).(1)求男生甲被選中的概率;(2)在已知男生甲被選中的條件下,女生乙被選中的概率;(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.解(1)記4名男生為A,B,C,D,2名女生為a,b,從6名成員中挑選2人,所有可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15種,不妨設(shè)男生甲為A,女生乙為b,設(shè)事件M=“男生甲被選中”,N=“女生乙被選中”,S=“被選中的兩人為一男一女”.(1)事件M所包含的可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),共5種,故P(M)=515(2)事件MN包含的可能的結(jié)果為(A,b),則P(MN)=115,又P(M)=1故P(N|M)=P((3)事件S包含的可能的結(jié)果為(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8種,事件SN包含的可能的結(jié)果為(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4種,則P(S)=815,P(SN)=4故P(N|S)=P(18.(12分)(2020浙江高二期末)一個(gè)袋中有10個(gè)大小相同的球,其中標(biāo)號(hào)為1的球有3個(gè),標(biāo)號(hào)為2的球有5個(gè),標(biāo)號(hào)為3的球有2個(gè).第一次從袋中任取一個(gè)球,放回后第二次再任取一個(gè)球(假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相等).記兩次取到球的標(biāo)號(hào)之和為X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列;(2)求隨機(jī)變量X的均值.解(1)依題意,隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5,6,則P(X=2)=310P(X=3)=310×510×P(X=4)=310×210×P(X=5)=510×210×P(X=6)=210故隨機(jī)變量X的分布列為X23456P933711(2)由(1)可知,E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×15+19.(12分)某學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué),其中4名同學(xué)從來沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),2名同學(xué)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).(1)現(xiàn)從該小組中任選2名同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),求恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率;(2)若從該小組中任選2名同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),活動(dòng)結(jié)束后,該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值.解(1)記“恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件A,則P(A)=C4故恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率為815(2)依題意,隨機(jī)變量ξ的取值可能為2,3,4,則P(ξ=2)=C4P(ξ=3)=C4P(ξ=4)=C2故隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.(12分)(2020黑龍江哈爾濱第六中學(xué)校高三一模)甲、乙二人進(jìn)行一次象棋比賽,每局勝者得1分,負(fù)者得0分(無平局),約定一方得4分時(shí)就獲得本次比賽的勝利并且比賽結(jié)束.設(shè)在每局比賽中,甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,已知前3局中,甲得1分,乙得2(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;(2)設(shè)從第4局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及均值.解(1)設(shè)“甲獲得這次比賽勝利”為事件A,則P(A)=23故甲獲得這次比賽勝利的概率為1627(2)依題意,X的取值可能為2,3,4,則P(X=2)=13P(X=3)=23P(X=4)=C32×23故X的分布列為X234P144E(X)=2×19+3×49+4×21.(12分)(2020江蘇高三三模)某娛樂活動(dòng)中,共有5扇門,游戲者根據(jù)規(guī)則開門,并根據(jù)打開門的數(shù)量獲取相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì).已知開每扇門相互獨(dú)立,且規(guī)則相同,開每扇門的規(guī)則是:從給定的6把鑰匙(其中有且只有1把鑰匙能打開門)中,隨機(jī)地逐把抽取鑰匙進(jìn)行試開,鑰匙使用后不放回.若門被打開,則轉(zhuǎn)為開下一扇門;若連續(xù)4次未能打開,則放棄這扇門,轉(zhuǎn)為開下一扇門;直至5扇門都進(jìn)行了試開,活動(dòng)結(jié)束.(1)設(shè)隨機(jī)變量X為試開第一扇門所用的鑰匙數(shù),求X的分布列及均值E(X);(2)求恰好成功打開4扇門的概率.解(1)由題意可知,隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,則P(X=1)=16,P(X=2)=5P(X=3)=56×45×14=16,P故隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1111E(X)=1×16+2×16+3×16+4×1(2)每扇門被打開的概率為P=1-56設(shè)“恰好成功打開4扇門”為事件A,則P(A)=C522.(12分)(2020吉林東北師大附中高三模擬)一次大型考試后,某年級(jí)對(duì)某學(xué)科進(jìn)行質(zhì)量分析,隨機(jī)抽取了40名學(xué)生