押江蘇南京卷第22-23題押題方向一：三角形全等3年江蘇南京卷真題考點命題趨勢2023年江蘇南京卷第19題三角形全等從近年江蘇南京中考來看，三角形全等考查，比較簡單；預計2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對三角形全等的考查。2022年江蘇南京卷第22題三角形全等2021年江蘇南京卷第20題三角形全等1．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，點，分別在邊，上，且，對角線分別交，于點，．求證．【分析】連接交于，根據平行四邊形的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，于是得到結論．【解答】證明：連接交于，四邊形是平行四邊形，，，，，在與中，，，，，．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，正確地找出輔助線是解題的關鍵．3．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，，平分，交于點，過點作，交于點，垂足為，連接，求證：四邊形是菱形．

【答案】見解析【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據鄰邊，即可證明平行四邊形是菱形．【詳解】解：證明：∵平分，，∴，．∴．∴．又∵于點，∴．在和中，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．又∵，∴平行四邊形是菱形．

【點睛】本題主要考查了菱形的判定，涉及平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，平行線的性質等知識，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關鍵．3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；（2）先分別求出BE和DC的長，再利用相似三角形的判定與性質進行計算即可．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質等，解決本題的關鍵是牢記相關概念與公式，能結合圖形建立線段之間的關聯(lián)等，本題較基礎，考查了學生的幾何語言表達和對基礎知識的掌握與應用等．1.平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，正確地找出輔助線是解題的關鍵．2.菱形的判定，涉及平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，平行線的性質等知識，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關鍵．3.全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質等，解決本題的關鍵是牢記相關概念與公式，能結合圖形建立線段之間的關聯(lián)等，本題較基礎，考查了學生的幾何語言表達和對基礎知識的掌握與應用等．1．如圖，中，點、在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練運用平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）根據平行四邊形的性質、平行線的性質求出，，根據垂直的定義求出，利用即可證明；（2）根據全等三角形的性質得出，根據“內錯角相等，兩直線平行”即可得解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，；（2）證明：，，∴．2．如圖，在中，，交的延長線于點C，交的延長線于點E．(1)求證：．(2)運用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出的外接圓，且當，時，的外接圓半徑為________．【答案】(1)見解析(2)作圖見解析，【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質，勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵.（1）由“”可證（2）分別作的垂直平分線，兩條直線交于點，以點為圓心，長為半徑畫圓即可畫出的外接圓，由勾股定理可求的長，即可求解.【詳解】（1）)證明：，，又，在和，，；（2）∵，，∴，，∴，的外接圓半徑，故答案為：3．已知：如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，點為的中點，連接，的延長線交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)當滿足_____時，四邊形為正方形．【答案】(1)證明見詳解(2)，【分析】（1）利用平行四邊形的性質以及全等三角形的性質解決問題即可；（2）證明四邊形是平行四邊形，進而證得，根據正方形的判定即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，點是的中點，，在和中，，，，；（2）當，時，四邊形是正方形．證明：由（1）知，，又，，四邊形是平行四邊形，由（1）知，，，，四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．故答案為：，．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、正方形的判定方法，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在中，，，垂足為D．E是上一點，且，過點E作，與交于點F．(1)證明；(2)若E是的中點，，則的面積為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據證明解答．（1）根據平行線的性質得出，進而利用證明解答；（2）連接，根據等邊三角形的判定和性質以及三角形的面積公式解答．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在與中，，；（2）解：由（1）可知，，連接，是的中點，，，是等邊三角形，，，，，的面積．5．如圖，在中，點E、F分別是邊、的中點．

(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）可證，即可求證；（2）可證四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，從而可證，即可得證．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，點E、F分別是邊、的中點，，，，在和中，()．（2）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，點E、F分別是邊、的中點，，，，四邊形是平行四邊形，同理可證：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了三角形全等的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，菱形的判定，掌握判定方法及性質是解題的關鍵．6．如圖，的對角線，相交于點．是的中點，連接并延長交于點，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若平分，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，，易證，根據全等三角形的性質可得，進一步即可得證；（2）先根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形是菱形，根據菱形的性質可得，再證明四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得，進一步即可得證．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，，，，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，平分，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，點是的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．7．如圖，在平行四邊形中，E、F是對角線上的點，且，連接．(1)求證：；(2)連接，若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由可證；（2）先證明是菱形，可得，然后利用，即可得出結論．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴（2）連接交于點O，∵，四邊形是平行四邊形，∴是菱形，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查菱形的判定和性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定，靈活運用這些性質解決問題的關鍵．8．如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交于點E、O、F，連接和．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）根據推出：；根據全等三角形的性質得出，推出四邊形是平行四邊形，再根據即可推出四邊形是菱形；（2）根據線段垂直平分線性質得出，設，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可求解．【詳解】（1）證明：是的垂直平分線，，，∵四邊形是矩形，，，在和中，；，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形；（2）解：設，是的垂直平分線，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得．，∴菱形的周長為20．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用，用了方程思想．9．如圖，點E在正方形的邊上，點F在的延長線上，且．

(1)求證：；(2)若，求正方形的邊長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先由正方形的性質，得出，結合，即可作答．（2）設，結合正方形的性質，得出，再根據勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴；（2）解：設，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴在中，，∴，解得（負值已舍去），∴正方形的邊長為．押題方向二：三角函數的應用3年江蘇南京卷真題考點命題趨勢2023年江蘇南京卷第19題三角形全等從近年江蘇南京中考來看，三角形全等考查，比較簡單；預計2024年江蘇南京卷還將繼續(xù)重視對三角形全等的考查。2022年江蘇南京卷第22題三角形全等2021年江蘇南京卷第20題三角形全等1．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點，．無人機懸停在處，此時在處測得的仰角為；無人機垂直上升懸停在處，此時在處測得的仰角為．，點，，，在同一平面內，，兩點在的同側．求無人機在處時離地面的高度．（參考數據：，．【分析】延長交于點，根據題意可得：，，然后設，則，在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，最后根據，列出關于的方程進行計算，即可解答．【解答】解：延長交于點，由題意得：，，設，，，在中，，，在中，，，，，解得：，，無人機在處時離地面的高度約為．【點評】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且、之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且、之間的距離為，一艘輪船從港口出發(fā)，沿正南方向航行到達處，測得燈塔位于北偏東方向上，這時，處距離港口有多遠（結果取整數）？（參考數據：，，，，，）

【答案】處距離港口約【分析】過點作的延長線于點，在中，求得，在中，求得，根據，即可求解．【詳解】解：過點作的延長線于點在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴處距離港口約．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點A，B之間的距離，在河岸這邊取點C，D．測得，，，，，設A，B，C，D在同一平面內，求A，B兩點之間的距離．（參考數據：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．先證明四邊形CEBF是正方形，設CE=BE=xm，根據三角函數表示出DE，根據列方程求出CE=BE=48m，進而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根據勾股定理即可求出AB，問題得解．【詳解】解：如圖，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．∵∠FCD=90°，∴四邊形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．設CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四邊形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CF-AC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B兩點之間的距離是52m．【點睛】本題考查了解直角三角形應用，理解題意，添加輔助線構造正方形和直角三角形是解題關鍵．解直角三角形實際應用的一般步驟：（1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；（2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；（4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解。1．如圖，一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作.無人機懸停在P處，測得前方水平地面上大樹的頂端B的俯角為，同時還測得前方某建筑物的頂端D的俯角為．已知點A，B，C，D，P在同一平面內，大樹的高度為，建筑物的高度為，大樹與建筑物的距離為，求無人機在P處時離地面的高度（參考數據：，）．【答案】無人機在處時離地面的高度【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，過點作，過點作，過點作，得，，，，設，則，，利用銳角三角函數的定義表示出，的長，最后列出關于x的方程進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，過點作，過點作，則四邊形，四邊形均為矩形，∴，，，，由題意可知，，，設，則，，在中，，在中，，則，解得：，即：無人機在處時離地面的高度．2．學校運動場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈的位置如圖所示，已知坡長，坡角為，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角為，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端處，且與地面的夾角為，、、、在同一平面上．求的長度．（結果精確到．參考數據：，，，．）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，延長交于點E，根據直角三角形的性質求出，根據余弦的定義求出，再根據正切的定義求出，即可根據正切的定義求出，進而求出．【詳解】解：如圖，延長交于點，則．在中，，，，．在中，，，在中，，，．即的長度約為．3．如圖，某棟樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物的、兩點處測得該塔頂端F的仰角分別為、，矩形建筑物高度．計算該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度．【答案】【分析】設，在中表示出的長，繼而得的長；在中表示出的長，根據列出方程，解得的值，即可得該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度的長.【詳解】解：如圖所示，過點作于點，設，則∵，．∴，∵，∴．∴．∵，，∴，∵，∴，∴．∴．4．今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小李從B點出發(fā)，沿坡度的山坡走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水平距離80米的C點觀看，此時煙花在與B、C同一水平線上的點D處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點D的正上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為，亮亮在C處測得E點的仰角為，（點A、B、C、D、E在同一平面內）．煙花燃放結束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現場的垃圾，他們清理時發(fā)現剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為米，請你幫他們計算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中）是否屬實？（參考數據：，）【答案】說明書寫的煙花燃放高度屬實【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題．過作于，根據矩形的性質得到，，，設，，根據勾股定理得到，米，根據米，米，求得米，得到，根據三角函數的定義即可得到結論．【詳解】解：過作于，于，則四邊形是矩形，，，，在中，米，，設，，，，米．米，∵米，米，米，，，，在中，，，，，，（米．∵在即425與435的范圍內，答：說明書寫的煙花燃放高度屬實．5．某校組織九年級學生到三臺山森林公園游玩，數學興趣小組同學想利用測角儀測量天和塔的高度．如圖，塔前有一座高為的斜坡，已知，，點E、C、A在同一條水平直線上．某學習小組在斜坡C處測得塔頂部B的仰角為45°，在斜坡D處測得塔頂部B的仰角為39°．(1)求的長；(2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，結果取整數）【答案】(1)的長為；(2)塔的高度約為．【分析】本題考查解直角三角形的應用．（1）根據含30度角的直角三角形的性質求解即可；（2）設，分別在和中，利用銳角三角函數定義求得，，過點作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，，．即的長為；（2）解：設，在中，，．在中，由，，，則．．如圖，過點作，垂足為．

根據題意，，四邊形是矩形．，．可得．在中，，，．即．．答：塔的高度約為．6．如圖1是某公司電梯安裝的一款人臉識別門禁（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），圖2是其側面示意圖，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭離地面高度cm，人站在電梯內與識別門禁攝像頭最遠的水平距離為．即．小王的身高，當小王直立站在點處時，請通過計算說明這時小王能被識別嗎？若不能，則小王最少需要下蹲多少厘米才能被識別？（參考數據：，，）【答案】不能，小王最少需要下蹲才能被識別【分析】本題考查三角函數的實際應用，過點作于點，交于點，于點，于點，可得矩形和直角三角形．通過解求出，再比較與小王的身高的關系即可．【詳解】解：小王不能被識別．理由：過點作于點，交于點，于點，于點．可得矩形和直角三角形．，，，．，．．∵，∴小王不能被識別；∵，∴小王最少需要下蹲才能被識別．7．如圖，在港口處的正東方向有兩個相距的觀測點、．一艘輪船從處出發(fā)，沿北偏東方向航行至處，在、處分別測得、．求：(1)處到直線的距離．(2)輪船航行的距離．（參考數據：，，，，，．【答案】(1)30km(2)km【分析】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）過點作，垂足為，設，則，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而列出關于的方程，進行計算即可解答；（2）根據題意可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：過點作，垂足為，設，，，在中，，，在中，，，，解得：，，處到直線的距離約為；（2）如圖：由題意得：，，在中，，，輪船航行的距離約為．8．脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在