2024年春期六校高一年級第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.—2024。的終邊在第（）象限

A.-B.二C.三D.四

2.設(shè)P：。=1+2kli,左eZ；q:tana=g,則。是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知a為第二象限角，則x=三=+&-sin2a的值是（）

sina|cosa

A.-1B.OC.1D.2

4.^4i=sinl.5,b=cos1.5,c=tanl.5.則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

5.函數(shù)（—的部分圖象大致為（）

X

6.要得到函數(shù)y=sin（2x+：J,%GR圖象，可以將丁=85%（）

A.先向左平移四個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮小為原來的;，縱坐標不變

42

B.先向右平移四個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮小為原來的;，縱坐標不變

42

兀

C.先向左平移一個單位，再把圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變

4

TT

D.先向右平移一個單位，再把圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變

4

7.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的

阻尼器減振裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的

位移s（cm）和時間心）的函數(shù)關(guān)系式為s⑺=3sin（a+0）,其中切>0,若該阻尼器模型在擺動過程

中連續(xù)三次位移為So（-3<%<3）的時間分別為4，t2,,（4<匕）且％+12=2,t2+t3=6,則

在一個周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時間為（）

12,4

A.—SB.—SC.IsD.—S

333

8.函數(shù)/（x）=2sin（ox+o）3>0,冏<兀）的圖象如圖所示，直線y=—x+3經(jīng)過函數(shù)外力圖象的最

高點■和最低點N,則/（0）+/⑴+〃2）+〃3）+/（2026）=（）

A.72-2B.OC.拒+2D.242+2

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

19

A.若a的終邊經(jīng)過P（5人,12左），k^Q,則sina=—

Btan(-210°)=-^

C.若cosa>0,則a為第一或第四象限角

D.若角a和角夕的終邊關(guān)于y軸對稱，則sin[■!+&)=-cos￡

10.下列關(guān)于函數(shù)y=tan2x+；的說法不正確的是(

)

兀

A.定義域為<XXW—+E,左￡Z>B.最小正周期是兀

6

C.圖象關(guān)于成中心對稱D.定義域上單調(diào)遞增

.\a.a>b(、

11.定義運算maxr{a,Z?}=)貝！|對函數(shù)/(X)=max{sinx,cosx}的描述中，正確的選項是

()

A./(無)的最小正周期為2兀B./(元)的最小值為-1

C.”幻在(-巴，巴)上單調(diào)遞增D./⑴關(guān)于直線*=烏對稱

224

12.己知函數(shù)/(x)=sin，x+t],?>0,則下列說法正確的是()

A.若函數(shù)“工)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)0的取值范圍是n

B.若函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是[1,2]

c.若函數(shù)/(%)在上有且僅有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是[5,n)

D.若函數(shù)/(%)在上恰有一個最大值點和一個最小值點，則實數(shù)0的取值范圍是(2,4]

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.時鐘的分針長8cm,從10:10到10:45,分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為.

14.已知函數(shù)八％)的定義域為R,且滿足/(x+l)+/(—x)=0,/Ix+1j+/l-x+|j,請設(shè)計一

(2)求函數(shù)/(%)在-5，三上最值及對應(yīng)的工的值.

19.己知函數(shù)/(x)=sin(2公r+0)(o>O,O<0<7i),其圖象上相鄰的一組最高點與最低點的距離為

-7^+16,且直線x='是圖象的一條對稱軸.

28

⑴求口，。的值，并求出〃龍)的對稱中心；

JT3兀

(2)求/(尤)在一1,彳上的單調(diào)遞增區(qū)間.

20.已知一扇形的圓心角為。(。>0),半徑為R,面積為S,周長為L.

(1)若S=4cm2,則扇形圓心角a為多少弧度時，L最小？并求出L的最小值；

(2)若L=10cm,則扇形圓心角a為多少弧度時，S最大?并求出S的最大值.

21.深圳別稱“鵬城”，“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳，是目前亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的座艙里慢

慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.已知某摩天輪的直徑為100m,最高點距離地面高度為110m,摩

天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，摩天輪運行時按逆時

針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要12min.

(1)游客甲從最低點。坐上摩天輪的座艙，轉(zhuǎn)動/min后距離地面的高度為Mn,求在轉(zhuǎn)動過程中，H

關(guān)于/的函數(shù)解析式；

(2)已知游客在距離地面85m時的高度能夠獲得最佳視覺效果，記某游客從坐上摩天輪后達到最佳視覺

效果的時刻依次為4,…，求心

22.函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)(A>O,o>O,|"|<Q)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)/(—x)的圖象向右平

7T

移一個單位，得到函數(shù)g(%)的圖象.

4

(1)若方程/q1)+/=g今在上有解，求實數(shù)/的取值范圍;

JT

(2)若Vxe[O,—],不等式機送2(2吊)—2g(2x)+l?0恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

6

2024年春期六校第一次聯(lián)考

高一年級數(shù)學(xué)試題

命題學(xué)校：方城五高審題學(xué)校：菊潭高中

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.—2024°的終邊在第（）象限

A.—B.C.三D.四

【答案】B

【解析】

【分析】求出2=136°與-2024。終邊相同，得到所在象限.

【詳解】與-2024°終邊相同的角可表示為a=-2024°+360°k,keZ.

當(dāng)左=6時，cc=136°.易知終邊在第二象限.

故選：B

2.設(shè)p:a=1+2bi，左eZ；q:tana=百，則。是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

7T

【分析】解三角函數(shù)得到1=—+E,keZ,故。=q,qcP，得到答案.

3

【詳解】q:tana=J^oa=￥+Ek￡z,所以〃q，

但44p,，是q的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知戊為第二象限角，則彳=產(chǎn)1+J］—‘in2a的值是（）

|sin囹cosa

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)角所在象限得到sina>。，cosavO,進而化簡求值.

【詳解】Q。是第二象限角，

.八八以sin。一cos。i1八

「.sina>0,cosacO,故％=------1-------=1-1=0.

sinacosa

故選：B.

4.^6z=sinl.5,b=cos1.5,c=tan1.5.則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)及三角函數(shù)的單調(diào)性，得到/〈號，比較出大小.

［詳解］y=tanx在上單調(diào)遞增，

._兀1

c=tanl.5>tan—=1,

4

又y=sinx在xe10,'J上單調(diào)遞增,故。=sinl.5>sin^=交,

42

(42-

又a4l,故〃￡---,I,

2

又丁=85%在xeog上單調(diào)遞減,

故》=cos1.5<cos—=

42

所以b<a<c.

故選：A.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出函數(shù)的定義域和奇偶性，排除BD,再求出特殊點的函數(shù)值，得到答案.

【詳解】ln|x|-cosx定義域為（一。,0）U（0,+00）,

X

l/、Inl-xl-cos（-x）InIxl-cosxz、

—xX

所以函數(shù)了（%）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱，排除B、D.

又/（2）=ln2；os2<0,故人錯誤.

故選：C.

6.要得到函數(shù)y=sin12x+：

,xeR的圖象，可以將y=cosx（）

jr

A.先向左平移乙個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮小為原來的;，縱坐標不變

4

TT

B.先向右平移：個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮小為原來的縱坐標不變

4

7T

C.先向左平移二個單位，再把圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變

4

7T

D.先向右平移了個單位，再把圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變

4

【答案】B

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式和伸縮變換和平移變換的法則得到答案.

【詳解】y=小《?？赊D(zhuǎn)化為，=5：111%+5,

y=sin(x+|J的圖象先向右平移;個單位得到y(tǒng)=sin(x+：

的圖象,

再把圖象上各點的橫坐標縮小為原來的g得到y(tǒng)=sin〔2x+；J的圖象，

B正確，其他選項錯誤.

故選：B

7.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻

尼器減振裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位

移s(cm)和時間〃s)的函數(shù)關(guān)系式為s?)=3sin(a+0),其中6y>0,若該阻尼器模型在擺動過程中連

續(xù)三次位移為％(—3<So<3)的時間分別為：，t2,t3,(。<%)且:+^2=2,^+4=6，則在一

個周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時間為()

12,4

A.—sB.—sC.IsD.—s

333

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的對稱軸與周期的關(guān)系知函數(shù)s(f)=3sin(a+。)的周期為7=4,進而求出口，令

3sin(]/+e)<1.5,解不等式即可得出答案.

【詳解】由題意得,“I+/2)=1，](12+13)=3.

故函數(shù)s")=3sin(a+0)的周期為T=2x(3—1)=4,刃=守=],

可得sOSsingr+e1,位移的大小即卜⑺,故令3sin+夕]<1.5,

得-1.5<3sin+可<1.5,

57rit77r1ITTIT137r

所以---\-2kn<—t+(p<-----\-2kn,或-----\-2kn<—t-\-(p<------\-2kn,keZ

626626

/（O）=2sin^=V2,/（l）=2sin|=2,/（2）=2sin^=72,

/■（3）=2sin7i=0,/（4）=2sin^=-V2,/（5）=2siny=-2,

/（6）=2siny=-V2,/⑺=2sin2兀=0,/（8）=/（0）=V2

因為/（0）+/■⑴+/（2）+〃3）+/（7）=0,8x253+3=2027.

所以/（0）+/（l）+/（2）+/（3）+/（2026）=253x0+0+2+夜=2+2夜.

故選：D.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.若a的終邊經(jīng)過尸（5匕12左）,kwO,則sina=U

tan（-210°）=-y^

B.

C.若cose>0,則c為第一或第四象限角

D.若角e和角夕的終邊關(guān)于y軸對稱，貝Usin~+aj=-COSB

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)上的正負判斷A,根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B,根據(jù)三角函數(shù)在坐標軸上的符號判斷C,由對稱及三

角函數(shù)的定義判斷D.

\2k12

【詳解】當(dāng)左<0時，sma=,=一；7,故A選項錯誤;

，25公+144/13

tan（-210°）=—tan210°=—tan30°=，B正確;

cos1>0時，a的終邊在第一或第四象限或無軸非負半軸，C錯誤;

因為sin[]+aJ=costz,角a和角夕的終邊關(guān)于y軸對稱,

結(jié)合三角函數(shù)定義可知cos。=—cos，，即sin['+aj=-cos，，故D選項正確.

故選：BD

10.下列關(guān)于函數(shù)y=tan12x+E]的說法不正確的是（）

71

A.定義域為<xxW—卜kit,kuZ>B.最小正周期是兀

6

C.圖象關(guān)于成中心對稱D.在定義域上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期公式、定義域、對稱中心、單調(diào)性可判斷出答案.

【詳解】函數(shù)y=tan2x+《的定義域為x豐—I---，左eZ>,A錯誤；

62

jrjr

最小正周期丁=上=二，B錯誤；

co2

c71kjl1口兀依，~

2%H—=—,keZ解傳x=----1，左￡Z,

62124

兀kit?iTC]

（—五十],°J,%￡Z,當(dāng)左=1時，對稱中心為點[5,0）,C正確；

當(dāng)％=0時，y=tan—=，當(dāng)x='時，y—tan|2x—+—|=tan|7t——|=—tan—=—A/3,

,634146；I3；3

因為0<N,走〉—6，

43

所以由單調(diào)性的定義可知，D錯誤.

綜上，ABD符合題意.

故選：ABD

.\a.a>b（、

lL定義運算max{ra,耳=）則對函數(shù)/（x）=maxkinx,cosx}的描述中，正確的選項是

（）

A./（x）的最小正周期為2兀B.Bx）的最小值為-1

兀兀7T

C./（的在（--,—）上單調(diào)遞增D/⑺關(guān)于直線尤二對稱

22

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再逐項分析判斷得解.

3兀c7,兀C7

cosX,-----F2K71VX<—卜2女兀

44

【詳解】依題意,/(%)=,keZ,

.兀C7,5兀c7

sinX,—+2E<x<——+2E

44

函數(shù)”尤）的部分圖象如圖:

1y—sinx

3兀兀3兀yTl

對于A,當(dāng)-----F2kliVx<—F2kit,左wZ時，----F2kliV%+2兀<----F2防i,keZ,

4444

/（X+2兀）=cos（x+2兀）=cosx=/（x）,當(dāng)-----+2kli<x<-----+2kn,左wZ時，

44

兀571

—+2kn<x<一+2kjt,keZ,f（x+2兀）=sin（x+2兀）=sinx=/（x）,

44

因此X/xsR,/（%+2兀）=/（%）,即2兀是的周期，由圖象知，2兀是〃龍）的最小正周期，A正確;

jTTTTTTTTTT）TT

對于B,函數(shù)/⑺在［-3,0］,匕苫］上單調(diào)遞增，在［0,勺,亡,三］上單調(diào)遞減，

442424

而/（一型）=/（型）=一變,/（巴）=正，因此/（X）在［—里，里］上的最小值為—立，

44242442

由于的周期為2兀，所以〃x）在R上的最小值為一變，B錯誤;

2

兀71

對于C,由選項B知，/⑺在(一5)上不單調(diào)，C錯誤；

TTSjr3717171

對于D,當(dāng)一+2kli<x<----b2kK,左￡Z時，-------2左兀<——%<——2kn,kwZ,

44424

jIj?j?jI

/(——%)一/(%)=cos(--%)-sin%=0,當(dāng)一--+2kn<x<—+2kK,左￡Z時，

:-2kn2kji,keZ,/(^-%)-/(%)=sin(-^-x)-cosx=0,

jrJT

所以對X/xeR,f(--x')=f(x),即八無)關(guān)于直線尤=￡對稱，D正確.

【詳解】由題意：函數(shù)/（X）的定義域為R,

/(%+1)+/(-%)=0=>/(%)關(guān)于口,。］中心對稱;

/1》+1']=/，》+^]=>/（》）關(guān)于直線1=1軸對稱，符合以上性質(zhì)的函數(shù)均可,

結(jié)合余弦型函數(shù)的對稱性，比如外力的解析式可以為：/（%）=COS（71X）.

故答案為：COS（7LX）（答案不唯一）

15.將函數(shù)/（x）=sin（2x+0）的圖像整體向右平移烏個單位長度后，得到的函數(shù)圖像對應(yīng)一個偶函數(shù)，

則cos°=.

【答案】土B

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得平移之后的圖像解析式，再由函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，列出方程，代入計算,

即可得到結(jié)果.

【詳解】把函數(shù)/（x）=sin（2%+。的圖像整體向右平移-個單位長度后

得到函數(shù)丁=51!1+0=sin[2xi]+°

JTJT

若該函數(shù)為偶函數(shù)，則——+（p=-+kK,左wZ,

32

Sir

解得夕=3+配，keZ.

6

當(dāng)上為奇數(shù)時，cos。=孝；

當(dāng)左為偶數(shù)時，cos。=—等；

所以COSO=.

故答案為：土且

2

sin2x,xe[0,兀)

16.己知函數(shù)/'(x)=<1/、「，若"X)4,在行上,+8)上恒成立，則/的取值范圍

-f(x-7i),xe[n,+oo)16

、乙

為

小小4171

【答案】五,+8

【解析】

【分析】根據(jù)解析式作出函數(shù)圖象，根據(jù)性質(zhì)找出/")=工的值，結(jié)合圖象即可得解.

16

詳解】/(%)大致圖象如圖:

71或必

當(dāng)〃=3時，f(m+3n)=-x/㈣m=一

81212

Sir4]TT1

如上圖所示，當(dāng)42——+3兀=——時，恒成立.

121216

41兀、

所以，的取值范圍為I,

41兀

故答案為:---

12

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明和證明過程或演算步驟)

17.如圖所示，以x軸非負半軸為始邊作角夕|■<a<兀，它的終邊與單位圓。相交于點尸，已知點尸

坐標為I---5---,mJ.

-cos（2兀一？）+sin（兀+cr）

（2）求―7一一御一^的值?

sina——-3cos-----a

I2jU）

【答案】（1）m=邁,tan?=-2；

5

（2）」

7

【解析】

【分析】（1）利用點在圓上以及三角函數(shù)的定義計算即可;

（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，然后轉(zhuǎn)化為用tan。表示，代入tana的值計算即可.

【小問1詳解】

-立，m］在單位圓上，且點尸在第二象限

P

+m2=1,m>Q

解得加=2叵

5

2A/5

?

由三角函數(shù)定義可知,tana=—y=―5=-2o

X

一行

【小問2詳解】

+sin（兀+1）_cosi-sini_-1-tana1

-cosa+3sina-1+3tanor7

sina-烏-3cos

I2

18.某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)/（x）=Acos（0x+0）+5（A>O,°>O）的圖象時，作出以下表格:

713兀

a)x+(p02兀

2~2

X5兀11兀

n~L2

小)31-13

(1)請將上表補充完整，并直接寫出了(九)的解析式;

(2)求函數(shù)/(%)在-上的最值及對應(yīng)的x的值.

【答案】⑴表格見解析，/(x)=2cos^2x-|j+l;

⑵當(dāng)x=g時/(x)1mx=3,當(dāng)x=q時/(%)1ml=-1

【解析】

【分析】(1)由表格數(shù)據(jù)求出A、B、①、(P,即可得到解析式，再根據(jù)五點法完善表格;

7T

(2)由x的取值范圍求出2x—-的取值范圍，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

3

【小問1詳解】

11713兀

----CD+(P=——a>=2

A+B=3A=2

；122,解得

由表格數(shù)據(jù)可知-AB=-V解得又兀，

+5兀兀(p=―一

3

〔122

所以/(%)的解析式為〃x)=2cos2》一1+1.

完善后表格如下:

兀3兀

a)x+(p0712兀

2~2

兀兀兀7兀

X521171

6nT~6

/(x)31-113

【小問2詳解】

兀兀

——<%<—,

23

4兀兀,兀1/(c兀71

.----?2元------4一,-1Vcos|2x

3333

qrjr

當(dāng)2元一^=0即％=—時,/（九）取得最大值，最大值為3.

36

jr

當(dāng)2%——=—兀即x=q時，”可取得最小只，最小值為-1.

3

所以當(dāng)兀=四時/(￡)=3,當(dāng)x=_巴時/(X).=-1.

R\/max3，\/min

19.己知函數(shù)/（%）=5111（2。氏+0）（&>>（）,0<0<兀），其圖象上相鄰的一組最高點與最低點的距離為

-7^+16,且直線x=巴是圖象的一條對稱軸.

28

（1）求。，。的值，并求出"了）的對稱中心;

JT3冗

（2）求/（%）在-],彳上的單調(diào)遞增區(qū)間.

兀7ikit

【答案】（1）。=1，——十一,0,keZ.

82

兀715兀3兀

(2)一,一和--

48J8T

【解析】

7T

【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，令2x+—=E,即可得出答案.

4

jr3兀

（2）先求出了（%）的單調(diào)遞增區(qū)間，再令左=0和左=1與-],彳取交集，即可得出答案.

【小問1詳解】

2九71

了(%)的周期T=-=

2a)CO

最高點與最低點距離為224必瓦

解得刃=1或①二一1（舍）.

7T

又％=—是圖象的一條對稱軸,

8

kEZ,

0八<(P<7l,：,(p=—兀

???/(x)=，由2T.

A_兀7/n兀kit

令2%H—=ku,k￡Z華x=----1-----,k￡Z,

482

\F(x)的對稱中心為點(—§+o],

上eZ.

【小問2詳解】

3兀7C

令一5+2MW2尤+：W■|■+2E,keZ.倚----Fk7itWxW—Fk7u，k￡Z

88

37rIT

了(九)的單調(diào)遞增區(qū)間為一--+kn,-+kn,keZ.

|_oo

37r7T

當(dāng)左=0時，遞增區(qū)間為

_OO_

5兀Q71

當(dāng)％=1時，遞增區(qū)間為—

OO

\F(x)在一；考上單調(diào)遞增區(qū)間為一：,?和壽百.

v7L44JL48J84_

20.已知一扇形的圓心角為。(a>0),半徑為R,面積為S,周長為L.

(I)若S=4cm2,則扇形圓心角a為多少弧度時，L最小？并求出L的最小值；

(2)若L=10cm,則扇形圓心角a為多少弧度時，S最大？并求出S的最大值.

【答案】(1)a=2rad,最小值為8cm；

25

(2)a=2rad,最大值為一cm2.

4

【解析】

18

【分析】(1)利用扇形面積公式可得5=—=4cm2,則L=2R+—,再結(jié)合基本不等式即可求解.

2R

(2)根據(jù)面積公式再結(jié)合二次函數(shù)求最值，即可求解.

【小問1詳解】

[8

S=-c(R=4cm2,cc——彳

2R2

QQ

則L=2R+aR=2R+rR=2R+—.

R2R

由基本不等式可得2尺+'2212尺?§=8,當(dāng)且僅當(dāng)2R=§,即R=2時等號成立.

R7RR

..,8

此時a=—=2.

當(dāng)a=2rad時，L最小，最小值為8cm.

【小問2詳解】

cs10-27?

L=2R+aR=10cm,/.a=---------.

R

S」會2=L9w=-笈+5夫=-卜-可+生.

22R[2J4

525

當(dāng)R一2,即。=2m時dA，54max=—.

25

，當(dāng)a=2rad時，S最大，最大值為一cm2.

4

21.深圳別稱“鵬城”，“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳，是目前亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的座艙里慢

慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.已知某摩天輪的直徑為100m,最高點距離地面高度為110m,摩天

輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，摩天輪運行時按逆時針

方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要12min.

(1)游客甲從最低點。坐上摩天輪的座艙，轉(zhuǎn)動/min后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動過程中，H

關(guān)于/的函數(shù)解析式；

(2)已知游客在距離地面85m時的高度能夠獲得最佳視覺效果，記某游客從坐上摩天輪后達到最佳視覺

效果的時刻依次為。4,4*，求小

【答案】(1)H(Z)=-50cos-Z+60(Z>0)

6;

(2)t4=20min.

【解析】

【分析】(1)由題意以摩天輪中心。為原點，與地面平行的直線為x軸，建立直角坐標系求出解析式即可;

(2)令H=85,解出時間心即為達到最佳視覺效果時刻，求解Q即可.

【小問1詳解】

以摩天輪中心。為原點，與地面平行的直線為x軸，建立直角坐標系.

2冗71

由題意，摩天輪的角速度0=—=—rad/min

126

(Jrjr]

所以甲所在的位置的縱坐標昨=50sin

則H⑺=50sin[―+60=-50cos+60.

所以“關(guān)于/的函數(shù)解析式"?)=-50cos-Z+60(r>0)