注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷13一、單項選擇題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)1、設f1(x)和f2(x)為二階常系數線性齊次微分方程y"+py’+q＝0的兩個特解，若由f1(x)和f2(x)能構成該方程的通解，下列哪個方程是其充分條件？A、f1(x)f2’(x)—f2(x)f1’(x)＝0B、f1(x)f2’(x)—f2(x)f1’(x)≠0C、f1(x)f2’(x)+f2(x)f1’(x)＝0D、f1(x)f2’(x)+f2(x)f1’(x)≠0標準答案：B知識點解析：二階線性齊次方程通解的結構要求f1(x)，f2(x)線性無關，即≠常數，兩邊求導要求f2’f1—f2f1’≠0。2、已知r1＝3，r2＝—3是方程y"+py’+qy＝0（p和q是常數）的特征方程的兩個根，則該微分方程是下列中哪個方程？A、y"+9y’＝0B、y"—9y’＝0C、y"+9y＝0D、y"—9y＝0標準答案：D知識點解析：利用r1＝3，r2＝—3寫出對應的特征方程。（r—3）(r+3)＝0，得到r2—9＝0，即y"—9y＝0。3、設線性無關函數y1、y2、y3都是二階非齊次線性方程y"+P(x)y’+Q(x)y＝f(x)的解，C1、C2是待定常數。則此方程的通解是：A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2—(C1+C3)y3C、C1y1+C2y2—(1—C1—C2)y3D、C1y1+C2y2+(1—C1—C2)y3標準答案：D知識點解析：方程通解y＝C1(y1—y3)+C2（y2—y3）+y3，整理y＝C1y1+C2y2+（1—C1—C2）y3。其中，y1—y3、y2—y3為對應齊次方程的兩個線性無關的解，y3為非齊次方程的特解。4、已知y1(x)與y2(x)是方程y"+P(x)y’+Q(x)y＝0的兩個線性無關的特解，Y1(x)和Y2(x)分別是方程y"+P(x))y’+Q(x)y＝R1(x)和y"+P(x)y’+Q(x)y＝R2(x)的特解。那么方程y"+P(x)y’+Q(x)y＝R1(x)+R2(x)的通解應是：A、C1Y1+C2y2B、C1Y1(x)+C2Y2(X)C、C1y1+C2y2+Y1(x)D、C1Y1+C2y2+Y1(x)+Y2(x)標準答案：D知識點解析：按二階線性非齊次方程通解的結構，寫出對應二階線性齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解，得到非齊次方程的通解，y＝C1y1+C2y2+y1(x)+y2(x)。其中，y1(x)+y2(x)為方程y"+P(x)y’+Q(x)y＝R1(x)+R2(x)的一個特解。5、微分方程(1+y)dx—(1—x)dy＝0的通解是：（C為任意常數）A、B、1+y＝C(1—x)2C、(1一x)(1+y)＝CD、標準答案：C知識點解析：變量分離：(1+y)dx＝（1—x）dy，積分得：ln（1—x）+ln(1+y)＝lnC，即（1—x）(1+y)＝C。6、微分方程y"—4y＝6的通解是：（C1，C2為任意常數）A、C1e2x—C2e—2x+B、C1e2x+C2e—2x—C、e2x—e—2x+1D、C1e2x+C2e—2x一2標準答案：B知識點解析：①求對應齊次方程通解。r2—4＝0，r＝±2，通解y＝C1e—2x+C2e2x。②把y＝代入方程檢驗，得非齊次特解y*＝。③非齊次通解＝齊次通解十非齊次一個特解。故方程通解y＝C1e—2x+C2e2x—。7、設A是m階矩陣，B是n階矩陣，行列式等于：A、—|A||B|B、|A||B|C、(—1)m+n|A||B|D、(—1)mn|A||B|標準答案：D知識點解析：①將分塊矩陣行列式變形為的形式。②利用分塊矩陣行列式計算公式將矩陣B的第一行與矩陣A的行互換，換的方法是從矩陣A最下面一行開始換，逐行往上換，換到第一行一共換了m次，行列式更換符號（—1）m。再將矩陣B的第二行與矩陣A的各行互換，換到第二行，又更換符號為（—1）m，……，最后再將矩陣B的最后一行與矩陣A的各行互換到矩陣的第n行位置，這樣原矩陣行列式＝（一1）mn|B||A|＝（一1）mn|A||B|。8、設A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則下列選項中成立的是：A、B的第1行的—2倍加到第2行得AB、B的第1列的—2倍加到第2列得AC、B的第2行的—2倍加到第1行得AD、B的第2列的—2倍加到第1列得A標準答案：A知識點解析：由題目給出的運算寫出相應矩陣，再驗證還原到原矩陣時應用哪一種運算方法。9、已知三維列向量α，β滿足αTβ＝3，設3階矩陣A＝βαT，則：A、β是A的屬于特征值0的特征向量B、α是A的屬于特征值0的特征向量C、β是A的屬于特征值3的特征向量D、α是A的屬于特征值3的特征向量標準答案：C知識點解析：通過矩陣的特征值、特征向量的定義判定。只要滿足式子Ax＝λx，非零向量x即為矩陣A對應特征值λ的特征向量。再利用題目給出的條件：αTβ＝3①A＝βαT②將等式②兩邊右乘β，得A．β＝βαT．β，變形Aβ＝β(αTβ)，代入式①得Aβ＝β．3，故Aβ＝3．β成立。10、設齊次線性方程組當方程組有非零解時，k值為：A、—2或3B、2或3C、2或—3D、—2或—3標準答案：A知識點解析：齊次線性方程組，當變量的個數與方程的個數相同時，方程組有非零解的充要條件是系數行列式為零。即＝—[6—（—k）（1—k）]＝一（6+k—k2）即k2—k—6＝0，解得k1＝3，k2＝—2。11、設α1，α2，α3是三維列向量，|A|＝|α1，α2，α3|，則與|A|相等的是：A、|α2，α1，α3|B、|—α2，—α3，—α1|C、|α1+α2，α2+α3，α3+α1|D、|α1，α2，α3+α2+α1|標準答案：D知識點解析：利用行列式的運算性質變形、化簡。A項：|α2，α1，α3|—|α1，α2，α3|，錯誤。B項：|—α2，—α3，—α1|＝（—1）3|α2，α3，α1|（—1）3（一1）|α1，α2，α3|(—1)3（一1）（—1）|α1，α2，α3|＝—|α1，α2，α3|，錯誤。C項：|α1+α2，α2+α3，α3+α1|＝|α1，α2+α3，α3+α1|+|α2，α2+α3，α3+α1|＝|α1，α2+α3，α3|+|α1，α2+α3，α1|+|α2，α2，α3+α1|+|α2，α3，α3+α1|＝|α1，α2+α3，α3|+|α2，α3，α3+α1|＝|α1，α2，α3|+|α2，α3，α1|＝|α1，α2，α3|+|α1，α2，α3|＝2|α1，α2，α3|，錯誤。D項：|α1，α2，α3+α2+α1||α1，α2，α3+α2||α1，α2，α3|，正確。12、設A是m×n的非零矩陣，B是n×l非零矩陣，滿足AB＝0，以下選項中不一定成立的是：A、A的行向量組線性相關B、A的列向量組線性相關C、B的行向量組線性相關D、r(A)+r(B)≤n標準答案：A知識點解析：A、B為非零矩陣且AB＝0，由矩陣秩的性質可知r(A)+r(B)≤n，而A、B為非零矩陣，則r(A)≥1，r(B)≥1，又因r(A)＜n，r(B)＜n，則由1≤r(A)＜n，知Am×n的列向量相關，1≤r(B)＜n，Bn×l的行向量相關，從而選項B、C、D均成立。13、設A是3階實對稱矩陣，P是3階可逆矩陣，B＝P—1AP，已知α是A的屬于特征值λ的特征向量，則B的屬于特征值λ的特征向量是：A、PαB、P—1αC、PTαD、（P—1）Tα標準答案：B知識點解析：利用矩陣的特征值、特征向量的定義判定，即問滿足式子Bx＝λx中的x是什么向量？已知α是A屬于特征值λ的特征向量，故：Aα＝λα①將已知式子B＝P—1AP兩邊，左乘矩陣P，右乘矩陣P—1，得PBP—1＝PP—1APP—1，化簡為PBP—1＝A，即：A＝PBP—1②將式②代入式①，得：PBP—1α＝λα③將式③兩邊左乘P—1，得BP—1α＝λP—1α，即B（P—1α）＝λ（P—1α），成立。14、設，與A合同的矩陣是：A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由合同矩陣定義知，若存在一個可逆矩陣C，使CTAC＝B，則稱A合同于B。取，|C|＝—1≠0，C可逆，可驗證CTAC＝15、已知矩陣，則A的秩，r(A)＝A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：可以利用矩陣秩的定義驗證。三階行列式＝0，二階行列式故r(A)＝2。16、設是n維向量，已知線性無關，可以由線性表示，不能由線性表示，則以下選項中正確的是：A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：已知線性無關，可以由線性表示。故線性相關，可推出也相關。所以選項A、B錯誤。選項C、D其中有一個錯誤，用反證法。設相關，由已知條件線性無關，而線性相關，則線性表示，與已知條件不能由線性表示矛盾。所以線性無關。17、設λ1，λ2是矩陣A的2個不同的特征值，ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則以下選項中正確的是：A、對任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量B、存在常數k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量C、存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量D、僅當k1＝k2＝0時，k1ξ+k2η是A的特征向量標準答案：C知識點解析：特征向量必須是非零向量，選項D錯誤。由矩陣的特征值、特征向量關系可知：①當ξ、η是A對應特征值λ的特征向量，當k1≠0，k2≠0時，k1ξ+k2η仍是A對應特征值λ的特征向量。②如果ξ、η是A對應不同特征值的特征向量，則k1ξ+k2η不是A的特征向量。所以選項A、B均不成立。18、設行列式，Aij表示行列式元素aij的代數余子式，則A13+4A33+A43等于：A、—2B、2C、—1D、1標準答案：A知識點解析：將行列式的第3列換成1，0，4，1，得到新的行列式，然后再計算新行列式的值。將行列式按第3列展開，即為要求的結果。實際算法如下：A13+4A33+A4319、設，則秩r(AB—A)等于：A、1B、2C、3D、與α的取值有關標準答案：B知識點解析：由矩陣秩的性質可知，若A可逆，則r(AB)＝r(B)，若B可逆，則r(AB)＝r(A)，AB—A＝A(B—E)，B—E＝，|B—E|＝—4≠0，B—E可逆，r[A(B—E)]＝r(A)。計算矩陣A的秩：所以r(A)＝2。20、設β1，β2是線性方程組Ax＝b的兩個不同的解，α1，α2是導出組Ax＝0的基礎解系，k1、k2是任意常數，則Ax＝b的通解是：A、+k1α1+k2（α1—α2）B、α1+k1（β1—β2）+k2（α1—α2）C、+k1α1+k2（α1—α2）D、+k1α1+k2（β1—β2）標準答案：C知識點解析：非齊次方程組的通解y＝（非齊次方程組對應的齊次方程組的通解）+y*（非齊次方程組的一個特解），可驗證(β1+β2)是Ax＝b的一個特解。因為β1，β2是線性方程組Ax＝b的兩個不同的解：又已知α1，α2為導出組Ax＝0的基礎解系，可知α1，α2是Ax—0的解，同樣可驗證α1—α2也是Ax＝0的解，A（α1，α2）＝Aα1—Aα2＝0—0＝0。還可驗證α1，α1—α2線性無關。設有任意兩個實數K11，K22使K11α1+K22（α1—α2）＝0，即(K11+K22)α1—K22α2＝0，因α1，α2線性無關，所以α1，α2的系數，K11+K22＝0，—K22＝0。即，解得K11＝0，K22＝0；因此α1，α1—α2線性無關。故齊次方程組Ax＝0的通解為＝k1α1+k2(α1—α2)。又y*＝(β1+β2)是Ax＝b的一個特解；所以Ax＝b的通解為y＝+k1α1+k2(α1—α2)。21、設A，B是n階矩陣，且B≠0，滿足AB＝0，則以下選項中錯誤的是：A、r(A)+r(B)≤nB、|A|＝0或|B|＝0C、0≤r(A)＜nD、A＝0標準答案：D知識點解析：根據矩陣乘積秩的性質，B≠0，AB＝0，有r(A)+r(B)≤n成立，選項A正確。AB＝0，取矩陣的行列式，|A||B|＝0，|A|＝0或|B|＝0，選項B正確。又因為B≠0，B為非零矩陣，r(B)≥1，由上式，r(A)+r(B)≤n，推出0≤r(A)＜n，選項C也正確。所以錯誤選項為D。22、設B是三階非零矩陣，已知B的每一列都是方程組的解，則t等于：A、0B、2C、—1D、1標準答案：D知識點解析：已知條件B是三階非零矩陣，而B的每一列都是方程組的解，可知齊次方程Ax＝0有非零解。所以齊次方程組的系數行列式為0，即＝0，計算此行列式，t＝l。23、設A是三階矩陣，α1＝(1，0，1)T，α2＝(1，1，0)T是A的屬于特征值1的特征向量，α3＝(0，1，2)T是A的屬于特征值—1的特征向量，則：A、α1—α2是A的屬于特征值1的特征向量B、α1—α3是A的屬于特征值1的特征向量C、α1—α3是A的屬于特征值2的特征向量D、α1+α2+α3是A的屬于特征值1的特征向量標準答案：A知識點解析：已知α1，α2是矩陣A屬于特征值1的特征向量，即有Aα1＝1．α1，Aα2＝1．α2成立，則A（α1—α2）＝1．（α1—α2），α1—α2為非零向量，因此α1—α2是A屬于特征值1的特征向量。24、設A和B都是n階方陣，已知|A|＝2，|B|＝3，則|BA—1|等于：A、B、C、6D、5標準答案：B知識點解析：利用矩陣行列式性質|BA—1|＝|B||A—1|，又因為AA—1＝E，|A||A—1|＝1，所以|A—1|＝，故|BA—1|＝|B|．25、設其中ai≠0，bi≠0（i＝1，2…，n），則矩陣A的秩等于：A、nB、0C、1D、2標準答案：C知識點解析：A＝BC＝[b1b2…bn]，由矩陣的性