培優(yōu)沖刺11圓錐曲線綜合大題歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版 1題型二：面積最值型 2題型三：面積比值型求范圍 3題型四：四邊形面積范圍型 4題型五：“三定”型：直線定點(diǎn) 5題型六：“三定”型：定值 5題型七：“三定”型：定直線 6題型八：斜率型：斜率和定 7題型九：斜率型：斜率積型 8題型十：斜率型：斜率比型 9題型十一：斜率型：三斜率型 9題型十二：切線型 10題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型 10題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型 11題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型 12題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入 13題型十七：19題卷型圓錐新定義題 13題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版基本模板實(shí)戰(zhàn)模板1、設(shè)點(diǎn)，2、方程1：設(shè)直線：此處還有千言萬語，在后邊分類細(xì)說。3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個(gè)計(jì)算技巧，方程要事先去分母4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程的二次項(xiàng)能否為零這就是實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。5、（1）；（2）二次項(xiàng)系數(shù)是否為0；這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。6、方程4、5：韋達(dá)定理7、尋找第六個(gè)方程，第六個(gè)方程其實(shí)就是題目中最后一句話1.已知圓:，一動圓與直線相切且與圓外切．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．2.（安徽省合肥市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．(1)求點(diǎn)所在的曲線E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．3.（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)）已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．(1)求此雙曲線的方程；(2)若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，，試求直線的方程．題型二：面積最值型求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意注意變量的范圍。式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)一些常見的思維：1.可以借助均值不等式求最值。2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。分式型：以下幾種求最值的基本方法（1）反比例函數(shù)型：，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖（2）與型，可以設(shè)，換元，簡化一次項(xiàng)，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解1.已知雙曲線，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn).（1）求證：與總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）是否存在過的焦點(diǎn)的弦，使的面積有最大值或最小值?如果存在，求出所在的直線方程與最值的大??；如果不在在，說明理由.2.（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值.3.（新疆烏魯木齊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的面積S的最大值．題型三：面積比值型求范圍圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1.（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？迹┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)皆為曲線上點(diǎn)，為曲線上異于的任意一點(diǎn)，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.(1)求曲線的方程：(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.2.（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？迹┮阎?，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），試求的取值范圍．（其中與分別表示和的面積）3.（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.題型四：四邊形面積范圍型圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；單調(diào)性法；三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且的重心G在曲線上.(1)求拋物線C的方程；(2)記曲線與y軸的交點(diǎn)為D，且直線AB與x軸相交于點(diǎn)E，弦AB的中點(diǎn)為M，求四邊形DEMG面積的最小值.3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.題型五：“三定”型：直線定點(diǎn)當(dāng)題中的直線既無斜率，又不過定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論是否存在情況當(dāng)直線既不過定點(diǎn)，也不知斜率時(shí)，設(shè)直線，就需要引入兩個(gè)變量了。（1）設(shè)成，此時(shí)直線包含斜率不存在，注意適當(dāng)?shù)膶Υ搜a(bǔ)充討論（2）設(shè)成，此時(shí)直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。（3）設(shè)“雙變量”時(shí)，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒有特別大的計(jì)算優(yōu)勢。如第1題。（4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時(shí)，一定要講清楚以下這個(gè)規(guī)律：一般情況下，試題中一定存在某個(gè)條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過定點(diǎn)的理論根據(jù)之一。1.（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若，證明：直線l過四個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)．2.（四川省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．3.（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上.(1)求拋物線C的方程；(2)若動直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得對任意實(shí)數(shù)m，總有成立？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.題型六：“三定”型：定值求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．1.（江蘇省南京市中華中學(xué)2022-2023學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：x2＝4y，A，B是拋物線上異于原點(diǎn)的O的兩個(gè)動點(diǎn)．(1)若M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），求AM的最小值：(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，問：是否存在定點(diǎn)R，使得RH為定值．若存在，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．2.已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．3.（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.題型七：“三定”型：定直線求定直線是圓錐曲線求定點(diǎn)定值定直線的一個(gè)較難的題型。一般有兩種思維：利用參數(shù)法消參求定直線根據(jù)題意引入?yún)?shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的定點(diǎn)，代入已知條件或者根據(jù)條件所建立的關(guān)系式，消去參數(shù)即可得到定直線2.相關(guān)點(diǎn)法類似于求軌跡的相關(guān)點(diǎn)代入法，一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動變化引起了另外一些點(diǎn)的運(yùn)動變化，在解題時(shí)，用一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)把另外一些點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再代入一致的曲線和直線方程中，便可求出定直線的方程。1（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；②點(diǎn)M在定直線上.2.已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由3.如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線與雙曲線的漸近線交于P，Q兩.點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段FQ上，，.(1)求C的方程；(2)設(shè)是C的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，試探究直線與的交點(diǎn)S是否在某條定直線上，若是，求出該定直線方程，若不是，請說明理由.題型八：斜率型：斜率和定給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn)設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時(shí)，過定點(diǎn)或者1.設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的方程．(2)若直線與橢圓交于，（異于，）兩點(diǎn)．（i）求直線與的斜率之積；（ii）若直線與的斜率之和為，求直線的方程．2.（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題變式題17-22）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．3.（四川省雅安市部分校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動直線l過點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線l與橢圓相切.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l與橢圓交于P，Q（異于A，B）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，求直線l的方程.題型九：斜率型：斜率積型給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn)設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時(shí)，過定點(diǎn)1.（四川省涼山彝族自治州2022-2023學(xué)年高三階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.2.（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)?下頂點(diǎn)?右焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn).(1)若直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求四邊形的面積；(2)設(shè)M，N是橢圓E上的兩個(gè)動點(diǎn)，直線與的斜率之積為，若點(diǎn)P滿足：.問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)G，H，使得為定值？若存在，求出G，H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.題型十：斜率型：斜率比型1.（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；2.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)橢圓．(1)若，，求橢圓的方程(2)若直線與直線的斜率之比是，求與的面積之比．3.（河北省唐山市開灤第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次線上考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的短軸長為2，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)設(shè)是上不同于短軸端點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）的兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn).題型十一：斜率型：三斜率型1.（海南省海南中學(xué)、海口一中、文昌中學(xué)、嘉積中學(xué)四校2023屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)、是橢圓的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)?，直線與直線交于點(diǎn).記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？2.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．3.（山西省際名校2023屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A））已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)A，滿足+++=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.題型十二：切線型在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.雙曲線的以為切點(diǎn)的切線方程為1.（安徽省安慶市宿松中學(xué)2022-2023學(xué)年高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，三角形的周長為6，面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)M是橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)M所作橢圓的兩條切線互相垂直，求三角形面積的最大值．2.（2023年四省聯(lián)考變試題17-22）雙曲線C：的離心率為，圓O：與x軸正半軸交于點(diǎn)A，圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線C截得的弦長為.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交雙曲線C于兩點(diǎn)M、N，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由；(3)若將（2）中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，試探討的值.3.（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2022屆高三下學(xué)期2月階段性調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)處的切線的方程為；(2)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型若有1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長度滿足）可以利用公式，可消去1.（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)M，N分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率不為0的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，并且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．2.已知P是橢圓上的動點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2.（1）求橢圓C的方程；（2）若D為橢圓C的弦AB的中點(diǎn)，，證明：的面積為定值.3.（重慶市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，，分別交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型1.已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為（I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。2.P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為eq\f(1,5).(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值．3.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線.求橢圓的離心率；設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．xyxyOAB2.（安徽省合肥市2023屆高三調(diào)研性檢測數(shù)學(xué)題）已知為橢圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足.（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）若兩點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的取值范圍.3.（江蘇省南京市高淳高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月階段性檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)作不垂直于軸，軸的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）延長交橢圓于點(diǎn)，記與的面積分別為，，若，求直線的方程.題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入1.（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？迹┮阎p曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.2.（北京市豐臺區(qū)2023屆高三年級第二學(xué)期綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（均不與重合），記直線的斜率分別為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在常數(shù)，當(dāng)直線變動時(shí)，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為.(1)求的方程.(2)設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.題型十七：19題卷型圓錐新定義題1.（2024·河南·二模）已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)（在的上方），再過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn).證明：①共線；②為定值.2.（23-24高三上海·）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(3)求直線圍成的三角形面積的最小值．.3.（2024·遼寧丹東·一模）我們所學(xué)過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān)．如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點(diǎn)處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)．

(1)請根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問題：當(dāng)，，且直線的傾斜角為時(shí)，求反射光線所在的直線方程；(2)從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)處，且三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)，，，延長，分別交兩條漸近線于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：為定值．(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為8時(shí)，求的方程．

培優(yōu)沖刺11圓錐曲線綜合大題歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版 1題型二：面積最值型 4題型三：面積比值型求范圍 6題型四：四邊形面積范圍型 10題型五：“三定”型：直線定點(diǎn) 14題型六：“三定”型：定值 17題型七：“三定”型：定直線 19題型八：斜率型：斜率和定 23題型九：斜率型：斜率積型 26題型十：斜率型：斜率比型 29題型十一：斜率型：三斜率型 32題型十二：切線型 34題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型 37題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型 40題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型 42題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入 45題型十七：19題卷型圓錐新定義題 48題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版基本模板實(shí)戰(zhàn)模板1、設(shè)點(diǎn)，2、方程1：設(shè)直線：此處還有千言萬語，在后邊分類細(xì)說。3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個(gè)計(jì)算技巧，方程要事先去分母4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程的二次項(xiàng)能否為零這就是實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。5、（1）；（2）二次項(xiàng)系數(shù)是否為0；這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。6、方程4、5：韋達(dá)定理7、尋找第六個(gè)方程，第六個(gè)方程其實(shí)就是題目中最后一句話1.已知圓:，一動圓與直線相切且與圓外切．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．2.（安徽省合肥市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．(1)求點(diǎn)所在的曲線E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．3.（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)）已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．(1)求此雙曲線的方程；(2)若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，，試求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)在雙曲線上，可構(gòu)造方程組求得的值，由此可得雙曲線方程；（2）由三點(diǎn)共線可設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理結(jié)論可解方程求得的值，由此可得直線方程.【詳解】（1）設(shè)，，則，，，解得：，；又在雙曲線上，則，，，雙曲線的方程為：.（2）由（1）得：，，，三點(diǎn)共線，直線斜率顯然存在，可設(shè)，，，由得：，，即且，，，，，又，，，解得：，滿足且，直線方程為：或.題型二：面積最值型求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意注意變量的范圍。式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)一些常見的思維：1.可以借助均值不等式求最值。2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。分式型：以下幾種求最值的基本方法（1）反比例函數(shù)型：，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖（2）與型，可以設(shè)，換元，簡化一次項(xiàng)，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解1.已知雙曲線，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn).（1）求證：與總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）是否存在過的焦點(diǎn)的弦，使的面積有最大值或最小值?如果存在，求出所在的直線方程與最值的大??；如果不在在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（l），.由消去，得.，

①方程①有實(shí)根、.又，則兩根異號.不妨設(shè)，.當(dāng)時(shí)，無實(shí)根.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，從而，和有兩個(gè)不同的交點(diǎn).（2）假設(shè)符合條件的弦存在.（i）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，易知.設(shè)直線的方程為.由方程組消去，得..又原點(diǎn)到直線的距離..（ii）當(dāng)直線斜率不存在，即軸時(shí)，有.，的最小值為，此時(shí)直線的方程為.當(dāng)時(shí)，.因此，無最大值.2.（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率、得出方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性得出；當(dāng)直線斜率存在且不等于零時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理以及三角形面積公式得，再由基本不等式求解即可；【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且過點(diǎn)得橢圓的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則；當(dāng)直線斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立可得，設(shè)，，則，，，，顯然，在軸兩側(cè)，，異號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號.所以的最大值為.3.（新疆烏魯木齊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的面積S的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的定義和離心率公式計(jì)算出的值即可；（2）將直線代入橢圓的方程可得，，利用弦長公式求，再利用點(diǎn)到直線的距離求得高，然后用面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，所以a=2，又，所以，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，將直線代入方程，得，，解得，由韋達(dá)定理可知，所以，則底邊的高，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)（滿足）時(shí)，的面積S取最大值，該值為題型三：面積比值型求范圍圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1.（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？迹┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)皆為曲線上點(diǎn)，為曲線上異于的任意一點(diǎn)，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.(1)求曲線的方程：(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)設(shè)，由題意可知，化簡即可；(2)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程得，由可得，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)到線的距離公式及三角形的面積公、圓的面積公式可得，，，由成等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，則有所以，所以，化簡得：，所以曲線的方程為：；（2）解：設(shè)直線的方程為：，則由，可得，則，所以，即，設(shè)，則有，，所以，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)椋?，同理可得，又因?yàn)橐?，，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，即，即有，又因?yàn)椋?，所以，，解得，所以，所以，?dāng)時(shí)取等號.又因?yàn)?，即，所以，?2.（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？迹┮阎瑸闄E圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），試求的取值范圍．（其中與分別表示和的面積）【答案】(1)(2)【分析】（1）先直接得到，再把帶入橢圓方程可得，則橢圓方程可求；（2）設(shè)l：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及求出的范圍，然后帶入求解即可.【詳解】（1）由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；（2）由（1）知：，，明顯直線l的斜率不為零，設(shè)l：，，，由，得，顯然，所以，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以．又，設(shè)，則，，解得且，所以，綜上所述可得的取值范圍為．

3.（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，把代入橢圓方程可得答案；（2）①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l，，，與橢圓方程聯(lián)立，求出、，由利用韋達(dá)定理可得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，可得答案.【詳解】（1）由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；.（2）由（1）知：，，①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：，，，由，得，顯然，所以，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?又，設(shè)，則，，解得且，所以，因?yàn)?，可得的取值范圍?

題型四：四邊形面積范圍型圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；單調(diào)性法；三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合，求得的值即可；（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，得的漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，即，又因?yàn)?，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因?yàn)?，均與的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且的重心G在曲線上.(1)求拋物線C的方程；(2)記曲線與y軸的交點(diǎn)為D，且直線AB與x軸相交于點(diǎn)E，弦AB的中點(diǎn)為M，求四邊形DEMG面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得韋達(dá)定理，根據(jù)重心的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，代入曲線即可求解；（2）先證明四邊形為梯形，求出點(diǎn)到直線的距離，和，代入梯形的面積公式，利用基本不等式即可求解．【詳解】（1）由題知，焦點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，聯(lián)立消去得，則△，則，所以，所以且，故，即，整理得對任意的恒成立，故故所求拋物線的方程為．（2）由題知，，，，，，則.又弦AB的中點(diǎn)為M，的重心為G，則，故，所以.

點(diǎn)D到直線AB的距離，，所以四邊形DEMG的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)四邊形DEMG面積的最小值為.3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)直線的斜率進(jìn)行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而求得四邊形面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求得面積的最小值.【詳解】（1）設(shè)，由，有.又由，有（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，，可得橢圓E的方程為，代入點(diǎn)N的坐標(biāo)，有，解得，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，為長軸長或，不妨設(shè)，，故；②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB：，，，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，同理可得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，而，綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.

題型五：“三定”型：直線定點(diǎn)當(dāng)題中的直線既無斜率，又不過定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論是否存在情況當(dāng)直線既不過定點(diǎn)，也不知斜率時(shí)，設(shè)直線，就需要引入兩個(gè)變量了。（1）設(shè)成，此時(shí)直線包含斜率不存在，注意適當(dāng)?shù)膶Υ搜a(bǔ)充討論（2）設(shè)成，此時(shí)直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。（3）設(shè)“雙變量”時(shí)，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒有特別大的計(jì)算優(yōu)勢。如第1題。（4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時(shí)，一定要講清楚以下這個(gè)規(guī)律：一般情況下，試題中一定存在某個(gè)條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過定點(diǎn)的理論根據(jù)之一。1.（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若，證明：直線l過四個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)，，，直線l的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再根據(jù)，求出的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)C的焦距為2c，則，即，，，由雙曲線的定義，得，即，所以，故C的方程為；（2）設(shè)，，，直線l的方程為，聯(lián)立，整理得，由題意，得，則，則，，，設(shè)MN的中點(diǎn)為，則，，所以線段MN的垂直平分線的方程為，令，得，即，所以，由題意，得，即，從而，當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，解得或，所以直線l的方程為，或，或，或，故直線l過四個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)．2.（四川省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是，定點(diǎn)【分析】（1）由離心率的值和右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出橢圓的方程；（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，，，，利用韋達(dá)定理求出直線的方程，得到與軸交點(diǎn)為定值，從而得出直線過定點(diǎn)．（1）由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時(shí)直線AD恒過點(diǎn)（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y＝0，也過點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．3.（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上.(1)求拋物線C的方程；(2)若動直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得對任意實(shí)數(shù)m，總有成立？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得出答案；（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，不妨設(shè)，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得，，由，直線AP與直線BP的斜率，滿足，整理分析從而可得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，則C的對稱軸為x軸，且焦點(diǎn)在x軸上，又焦點(diǎn)在直線上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所以拋物線C的方程為；(2)解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，由得，不妨設(shè)，，，則，①，②，由，直線AP與直線BP的斜率，滿足，即，即③，將①②代入③得：對任意m成立，則，即存在滿足條件的定點(diǎn).題型六：“三定”型：定值求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．1.（江蘇省南京市中華中學(xué)2022-2023學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：x2＝4y，A，B是拋物線上異于原點(diǎn)的O的兩個(gè)動點(diǎn)．(1)若M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），求AM的最小值：(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，問：是否存在定點(diǎn)R，使得RH為定值．若存在，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得RH為定值【分析】（1）設(shè)，求出后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最小值；（2）設(shè)AB方程為，，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)論代入可求得，得定點(diǎn)，由得在以為直徑的圓上，圓心為所求點(diǎn)坐標(biāo)．（1）設(shè)，，則，時(shí)，等號成立；（2）由題意可設(shè)AB方程為，，由，得．由得，，，∴（舍去）或則直線AB過定點(diǎn)又，則H在以O(shè)N為直徑的圓上（不含y軸交點(diǎn)）令ON的中點(diǎn)為，則，所以，存在定點(diǎn)，使得RH為定值。2.已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）待定系數(shù)法列方程組求得的值，即可得到雙曲線C的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程并與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到M、N的坐標(biāo)，利用題給條件＋求得直線AB的過定點(diǎn)，再由＝0可得使|QT|為定值的定點(diǎn)T.（1）設(shè)雙曲線C的方程為，由題意知，∴雙曲線C的方程為（2）設(shè)直線AB的方程為，A（、），B（，），P（2，－1），則，，∴直線PA方程為，令，則，同理N（0，），由，可得∴∴∴∴∴∴，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線AB方程為恒過定點(diǎn)P（2，－1），顯然不可能∴，直線AB方程為恒過定點(diǎn)E（0，－3）∵，∴，取PE中點(diǎn)T，∴T（1，－2）∴為定值，∴存在T（1，－2）使|QT|為定值．3.（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【分析】（1）結(jié)合兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得橢圓的方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用求得的關(guān)系式，從而判斷出直線過左焦點(diǎn)，由此求得的周長為定值.（1）由已知設(shè)橢圓方程為：，代入，得，故橢圓方程為.（2）設(shè)直線，由得，，，又，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線，過定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線，過定點(diǎn)，即直線過左焦點(diǎn)，此時(shí)，符合題意.所以的周長為定值.題型七：“三定”型：定直線求定直線是圓錐曲線求定點(diǎn)定值定直線的一個(gè)較難的題型。一般有兩種思維：利用參數(shù)法消參求定直線根據(jù)題意引入?yún)?shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的定點(diǎn)，代入已知條件或者根據(jù)條件所建立的關(guān)系式，消去參數(shù)即可得到定直線2.相關(guān)點(diǎn)法類似于求軌跡的相關(guān)點(diǎn)代入法，一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動變化引起了另外一些點(diǎn)的運(yùn)動變化，在解題時(shí)，用一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)把另外一些點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再代入一致的曲線和直線方程中，便可求出定直線的方程。1（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；②點(diǎn)M在定直線上.【答案】(1)(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；（2）①設(shè)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，帶入的表達(dá)式，即可得出為定值；②根據(jù)①中的結(jié)論，設(shè)，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可知其在定直線上．【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，即橢圓的方程為．（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．從而．②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.2.已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由【答案】(1)1(2)是在定直線上，定直線【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組得到，設(shè)，，，利用點(diǎn)差法即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，設(shè)直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理聯(lián)立直線與直線的方程得出，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題意得，所以，設(shè)，，，則，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，所以，設(shè)直線AN：，BM：，所以，所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上．3.如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線與雙曲線的漸近線交于P，Q兩.點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段FQ上，，.(1)求C的方程；(2)設(shè)是C的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，試探究直線與的交點(diǎn)S是否在某條定直線上，若是，求出該定直線方程，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，在定直線上【分析】（1）計(jì)算得到，，得到，解得，，得到答案.（2）直線的方程為，，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定直線方程，計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)，得到，得到答案.【詳解】（1）雙曲線右焦點(diǎn)為，故，漸近線方程為，則，，故，即，，故，解得，，故，故，故，，，解得，.故雙曲線方程為.（2），，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得.故，故，直線，直線，聯(lián)立兩直線方程，解得，故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.題型八：斜率型：斜率和定給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn)設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時(shí)，過定點(diǎn)或者1.設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的方程．(2)若直線與橢圓交于，（異于，）兩點(diǎn)．（i）求直線與的斜率之積；（ii）若直線與的斜率之和為，求直線的方程．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）由直線的兩點(diǎn)式方程可得的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用直線與橢圓的位置關(guān)系求出b，即可求解；（2）設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，根據(jù)兩點(diǎn)表示斜率公式化簡計(jì)算可得、，則，由求得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可求解.【詳解】（1）依題意可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，的方程為，代入，整理得，，解得，所以橢圓的方程為．（2）（i）依題意可得直線的斜率不為0，設(shè)，，．由得，則則；（ii）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則直線的方程為，與聯(lián)立得．所以的方程為，即．2.（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題變式題17-22）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】(1)(2)恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合離心率列方程，解方程即可；（2）分別計(jì)算點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得，即，又點(diǎn)在圓上，且圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，所以可得恒過定點(diǎn).【詳解】（1）由雙曲線離心率為，得，所以雙曲線方程為，又點(diǎn)在雙曲線上，即，解得，，所以雙曲線的方程為；（2）由已知得，，設(shè)直線，點(diǎn)，由得，，則，即，，所以由，得，所以設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓，得，，則，即，，所以，所以，即，所以，又點(diǎn)在圓上，設(shè)圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，且，即直線與重合，所以直線恒過點(diǎn).3.（四川省雅安市部分校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動直線l過點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線l與橢圓相切.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l與橢圓交于P，Q（異于A，B）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，求直線l的方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）由左右頂點(diǎn)得，再由直線與橢圓位置關(guān)系聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由橢圓定義及斜率關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】（1）依題意可得.當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，l的方程為，代入，整理得，，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可得直線l的斜率不為0，可設(shè)，，.由，得，則則.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以則直線的方程為與聯(lián)立得，所以l的方程為，即.題型九：斜率型：斜率積型給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn)設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時(shí)，過定點(diǎn)1.（四川省涼山彝族自治州2022-2023學(xué)年高三階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程組可求橢圓的方程；（2）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)對稱性得到點(diǎn)，表示出，，結(jié)合橢圓的方程可證為定值.【詳解】（1）由題意得：且，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：由橢圓方程可知，，，設(shè)，則且；則，，則，所以為定值.2.（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)?下頂點(diǎn)?右焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn).(1)若直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求四邊形的面積；(2)設(shè)M，N是橢圓E上的兩個(gè)動點(diǎn)，直線與的斜率之積為，若點(diǎn)P滿足：.問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)G，H，使得為定值？若存在，求出G，H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，G，H的坐標(biāo)分別為，．【分析】（1）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)后，可求得四邊形面積；（2）設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，，利用點(diǎn)是已知橢圓上的點(diǎn)，計(jì)算出，得是一個(gè)橢圓上的點(diǎn)，從而兩定點(diǎn)為該橢圓的焦點(diǎn)即滿足題意．【詳解】（1）由題意，，，，直線方程為，由得或，所以，；（2）設(shè)，，，由得，即，，點(diǎn)在橢圓上，所以，，所以，直線斜率之積為，，所以，所以點(diǎn)在橢圓上，該橢圓的左右焦點(diǎn)為，則為定值，又，因此這兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為，．3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)離心率的定義和橢圓定義求得，再計(jì)算出后得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，代入整理得是一個(gè)一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，從而得出關(guān)系，得出直線過定點(diǎn)，再確定直線斜率不存在時(shí)也過這個(gè)定點(diǎn)，然后結(jié)合該定點(diǎn)得出三角形面積比．【詳解】（1）依題意得，則則，所以橢圓的方程為；（2）直線，設(shè)，由得，所以，，且，則中點(diǎn)，同理可算①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)代入整理得易知為方程的兩個(gè)根，則，所以，所以直線，則直線恒過點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性可知，由，不妨設(shè)，所以，直線過，根據(jù)①②可知，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)榈拿娣e，的面積，所以.題型十：斜率型：斜率比型1.（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；【答案】(1)(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；（2）①設(shè)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，帶入的表達(dá)式，即可得出為定值；②根據(jù)①中的結(jié)論，設(shè)，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可知其在定直線上．【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，即橢圓的方程為．（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．從而．②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.2.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)橢圓．(1)若，，求橢圓的方程(2)若直線與直線的斜率之比是，求與的面積之比．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由和在橢圓上求出，即可.（2）求出直線BF的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由給定條件結(jié)合面積公式求解即可．【詳解】（1）由，，得：，解得，又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，所以橢圓的方程為．（2）依題意，令，直線，由，得，直線AB的斜率，直線AP的斜率，則，即，有，得，，于是得點(diǎn)，，，所以與的面積之比是.3.（河北省唐山市開灤第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次線上考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的短軸長為2，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)設(shè)是上不同于短軸端點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）的兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）易知，代入點(diǎn)即可求出方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出，利用可舍去，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線：，與橢圓聯(lián)立方程組，求出，分別表示斜率，代入到可求出的值，進(jìn)而求出直線過的定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由題意可知，，把點(diǎn)代入中，可得，解得，所以的方程為：；（2）依題意，，，如果直線的斜率不存在，則直線垂直于軸，設(shè)直線：，由題意可知，且，把代入中，可得的坐標(biāo)分別為，所以，，因?yàn)?，無解，故舍去，從而可設(shè)直線：，代入中，得，由題設(shè)可知，設(shè)，，則有，，因?yàn)?，所以則，，因?yàn)?，所以，化簡得，即解得（舍）或，所以直線：恒過頂點(diǎn).題型十一：斜率型：三斜率型1.（海南省海南中學(xué)、?？谝恢小⑽牟袑W(xué)、嘉積中學(xué)四校2023屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)、是橢圓的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)?，直線與直線交于點(diǎn).記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？【答案】(1)(2)存在，且【分析】（1）根據(jù)題意求出、、的值，可得出橢圓的方程；（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)，所以，，，則，故，因此，橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，聯(lián)立，得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，，所以，，所以，.2.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【分析】（1）由離心率的值，可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由四邊形為平行四邊形可得的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的關(guān)系，求出直線，的斜率之積，由直線，，的斜率依次成等比數(shù)列可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，即求出直線的方程．【詳解】（1）由離心率，可得，所以橢圓的方程為：，將點(diǎn)，代入橢圓的方程可得：，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪?，與互相平分，所以，因?yàn)樵跈E圓上，則，整理可得：，①又因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直線的方程為：或．3.（山西省際名校2023屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A））已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)A，滿足+++=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）設(shè)，利用斜率公式求解；（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，結(jié)合求解.【詳解】（1）解：雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，，同理可得.∴；（2）設(shè)，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，.同理，即，即，∴或，又，若.無解，舍去.∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴.此時(shí)，若，，由A在直線上可得，，∴此時(shí)∴存在點(diǎn)，或，滿足.題型十二：切線型在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.雙曲線的以為切點(diǎn)的切線方程為1.（安徽省安慶市宿松中學(xué)2022-2023學(xué)年高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，三角形的周長為6，面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)M是橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)M所作橢圓的兩條切線互相垂直，求三角形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知列出關(guān)于的方程組，求解后可得橢圓方程；（2）考慮切線斜率不存在時(shí)有，斜率存在時(shí)，設(shè)過的切線方程為，代入橢圓方程后，設(shè)兩切線斜率為，由韋達(dá)定理得，由得點(diǎn)軌跡方程為圓，利用圓的性質(zhì)可得到直線的距離的最大值，從而得面積最大值．【詳解】（1）由題意，可列方程，解方程組得，，所以橢圓C的方程為；（2）當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，即切點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)兩切線都有斜率時(shí)，設(shè)過的切線方程為，聯(lián)立，得，由得，化簡得，設(shè)兩切線的斜率分別為，，則，化簡得，由此，M的軌跡方程為，又因?yàn)闈M足此方程，所以M的軌跡為圓，M在圓上運(yùn)動，當(dāng)M與A、不共線時(shí)，構(gòu)成，其中，直線的方程為，圓心到直線的距離為，此時(shí)，點(diǎn)M到直線的最大距離為，故此三角形面積的最大值為M離最遠(yuǎn)時(shí)，由此它的面積最大值為．2.（2023年四省聯(lián)考變試題17-22）雙曲線C：的離心率為，圓O：與x軸正半軸交于點(diǎn)A，圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線C截得的弦長為.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交雙曲線C于兩點(diǎn)M、N，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由；(3)若將（2）中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，試探討的值.【答案】(1)；(2)是，定值為2；(3)是，定值為2.【分析】（1）由離心率為，可得，由圓在點(diǎn)處的切線被雙曲線截得的弦長確定過的點(diǎn)，即可求解作答.（2）切線斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、直角三角形射影定理可得為定值，驗(yàn)證切線斜率不存在的情況作答.（3）切線斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、直角三角形射影定理可得為定值，驗(yàn)證切線斜率不存在的情況作答.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，依題意，，即有，圓交x軸于點(diǎn)，則圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線截得的弦長為，由雙曲線的對稱性知被截弦的端點(diǎn)在雙曲線上，因此，而，解得，所以雙曲線的方程為.（2）當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)或，切線方程為或，由（1）及已知，得，則有，當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則有，即，由消去y得：，顯然，，而，則，因此，在中，于點(diǎn)P，則，綜上得為定值2.（3）當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)或，切線方程為或，把代入橢圓方程，得，即，則有，當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則有，即，由消去y得：，顯然，，而，則，因此，在中，于點(diǎn)P，則，綜上得為定值2.3.（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2022屆高三下學(xué)期2月階段性調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)處的切線的方程為；(2)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，由求得，結(jié)合拋物線的方程，求得，即可求解.（2）設(shè)，由（1）可得到和，進(jìn)而求得的方程，聯(lián)立方程組，求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，求得，進(jìn)而求得最小值.(1)解：設(shè)過拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為，則由點(diǎn)斜式得切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，整理得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，所以，所以，代入切線方程得，整理得，又因?yàn)?，所以，代入上式得，即，即點(diǎn)處的切線的方程為.(2)解：設(shè)，由（1）可得，切線方程分別為和，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，可得，所以過點(diǎn)的方程為，其中，其中，聯(lián)立方程組，可得，可得，且，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，令，當(dāng)，可得，所以面積的最小值為.題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型若有1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長度滿足）可以利用公式，可消去1.（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)M，N分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率不為0的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，并且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】(1)結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和離心率的定義列方程求，可得橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線的距離為所以，則，因?yàn)殡x心率，所以，．故解得，故橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消x得，方程的判別式，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，故得方程組解得，綜上，直線方程為，或．2.已知P是橢圓上的動點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2.（1）求橢圓C的方程；（2）若D為橢圓C的弦AB的中點(diǎn)，，證明：的面積為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，計(jì)算出三角形的面積，由此證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，得，所以.由P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2，得，所以.又，所以.所以橢圓C的方程為.（2）證明：當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，易知m≠0.聯(lián)立得方程組，消去y并整理，得.由題意可知.設(shè)，則，所以.由可知.設(shè)，則有，.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以.整理，得.所以，且符合.點(diǎn)到直線y=kx+m的距離，所以△PAB的面積.由，即，得.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，由于，不妨設(shè)，則，所以，,所以的面積.綜上可知，△PAB的面積為定值.3.（重慶市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，，分別交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，2.【解析】【分析】（Ⅰ）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式計(jì)算即可得到答案.（Ⅱ）利于導(dǎo)數(shù)和點(diǎn)在拋物線上可寫出切線的方程，設(shè)，可得直線MN的方程，又直線MN為，可得點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)三角形的面積，即可得到所求的值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，，，，由，，所以.解得.（Ⅱ）由和，可得切線的方程:，整理得，同理可得切線的方程：.設(shè)，則有，即，N在直線上，，N又在直線上，即和為同一直線，直線過點(diǎn)，所以，即點(diǎn)在直線上，又交軸于點(diǎn)，則，再由可得，同理可得.所以，而，所以，即.題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型1.已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為（I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。解(I）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為則，解得.又.（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達(dá)定理有：．．．．．．．．①.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。整理得。又在橢圓上，即.故．．．②將及①代入②解得,=,即.當(dāng);當(dāng).2.P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為eq\f(1,5).(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值．解：(1)點(diǎn)P(x0，y0)(x≠±a)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.由題意又有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a