福建省廈門第一中學2023-2024學年高一下學期第一次適應

性訓練(月考)數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若。4=(-1,2),03=(1,-1),則AB等于()

A.(-2,3)B.(0,1)

C.(-1,2)D.(2-3)

【答案】D

【分析】

根據(jù)AB=OB-OA直接求解.

【詳解】

因為。1=(-1,2),=

所以AB=OB_OA=(1,-1)_(_L2)=(2,_3).

故選:D.

2.ABC中，"/>夕'是"sinA>sin3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

由正弦定理，大角對大邊，大邊對大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.

【詳解】因為/>B,由大角對大邊可得。>8，

由正弦定理得二工=上，且A8e(O,7t),

所以sinA>0,sinB>0,故sinA>sinB,充分性成立，

同理當sinA>sinB時，A,Be(0,7i),sinA>0,sinB>0,

Z7h

由正弦定理一;=一不可得。>萬，

sinAsinB

由大邊對大角可得/>B,必要性成立,

“/>"'是"sinA>sin3”的充要條件.

故選：C

3.在aABC中，若BC=5,G4=7,AB=8,貝UABC的最大角與最小角之和是(）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5,設長為7的邊CA所對的角為仇

則最大角與最小角的和是180。-。，利用余弦定理求解即可.

【詳解】根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5,

設長為7的邊CA所對的角為仇則最大角與最小角的和是180。-。，

由余弦定理可得，.。一累,

2x5x82

由。為三角形內(nèi)角，。=60。，

則最大角與最小角的和是180。-。=120。.

故選：B

4.在平行四邊形ABCD中，BE=2EC,DF=FC，設AD=b^則EF=（）

1111

A.——a+—7bB.—a+—bf

2323

11/117

C.——a——bD.—a——b

2323

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量的線性運算結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)運算求解.

uunuunuuniuumiuimirir

【詳解】由題意可得：EF=EC+CF=-BC+-CD=——a+-b.

3223

故選：A.

5.某學生為了測量學校旗桿AB的高度，在水平地面上一點。處的測得仰角為沿

旗桿底部5與。處的直線向旗桿方向前進。米的。處測得的仰角為夕，那么旗桿高為

()

aaatana-tanBtancr-tanB

A.——----------B.--------------------C.---------------T-D.——----------

tanp-tanatana-tanptana-tanptanp-tana

【答案】D

【分析】作出符合題意的圖形，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出8。和CB,根據(jù)題設

試卷第2頁，共16頁

條件列式即可求解

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下:

在R/ABD中，tancc=---,在R/ABC中，tan/3=---,

BDBC

貝|BD=旦.=此

tanatan/3

ABAB(tany0-tancr)

則〃=CD=O3—CB=-------

tanatanptanatanp

atanatanp

=>AB=

tan夕一tana

atanatanfi

即旗桿的高度為

tanP一tana

故選：D

6.已知A,B,C是平面直角坐標系內(nèi)的三點，若A3=（2,l）,AC=（3,-6）,貝|ABC

的面積為（）

A.15B.12C.—D.6

2

【答案】C

【分析】

根據(jù)數(shù)量積運算判斷兩邊垂直，再由模長公式求出邊長即可求解三角形的面積.

【詳解】因為海=（2,1）,AC=（3,-6）,

所以AB-AC=2x3-6=0，BPAB±AC）

所以5.0=24q.|4@=3*正*7^=修，

故選：C

7.在，ABC中，BD=-DC,ZBAD=0,NCAD=26,則下列各式一定成立的是（）

2

A.sinB=cos^sinCB.sinC=cos^sinB

C.sin5=sin。sinCD.sinC=sin^sinB

【答案】B

【分析】

過點。作交AB于點E,過點。作人AC交AC于點尸，分別計算

sinB,sinC,sin0,cos0,即可得出恒成立的關(guān)系.

【詳解】BD=；DC,可知。為靠近B點的5C的三等分點，如圖,

過點。作交于點E,過點。作上AC交AC于點廠,

mi.八DE.八DE._DF.DF

貝UsinB—,sin3-,sinC—,sin2。-

BDADDCAD

所以。￡=ADsin6,Db=ADsin26,

.八DEADsin03ADsin0

▼…sinB=-----=-----------=-------------

所以BD1”BC

3

sinC工ADsin203ADsin20_3ADsin0cos0

DC?一2BC-BC

—nC

3

二匚sinB1

所以----=-----故AC錯誤,

sinCcos0

因為包￡=COS6,所以sinC=cos9sin5,故B正確D錯誤.

sin5

故選：B

8.在ABC中，AB=5,AC=40，cosA=變，H是ABC的垂心，若HP=xHB+yHC,

10

其中x,ye[0』，則動點尸的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）

C.4

A.21B.14D.7

2

【答案】A

【分析】

由向量表達式可知動點覆蓋圖形為平行四邊形，利用垂心，通過解三角形求出?。?，BC

即可得面積.

【詳解】延長電?,CH,4”分別交AC,ABIC于",尸,。，如圖,

試卷第4頁，共16頁

由H為垂心，可知在直角三角形中，AF=ACCOSA=4A/2X—

105

AE=ABcosA=5x=—

102

由余弦定理可得EF=7AF2+AE2-2AF-AEcosA=—，

10

707A/2

A*EF_

由四點共圓及正弦定理可得，A"-smA一「，汗一7夜一，

J1-鉉可

由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2ABACCOSA=25+32-8=49,

所以3C=7,

25+49-323

所以cosB=

2ABBC2x5x7-5

3._________

所以3O=48COSB=5XM=3,所以AD=，4加-BD?=4，

所以HD=AD—AH=4—1=3,

HP=xHB+yHC,其中x,je[0,l],則動點尸的軌跡所覆蓋圖形為以為鄰邊

的平行四邊形,

所以面積S=2SAHBC=H?BC=3X7=21.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用垂心，結(jié)合四點共圓，正弦定理求出四點所在圓

的直徑AH是解題的關(guān)鍵所在.

二、多選題

9.某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150。，然后沿新方向走了3km,結(jié)果離出發(fā)點

恰好瓜m,那么x的值是（）

A.y/3B.2AC.3D.6

【答案】AB

【分析】設A8=x,BC=3,AC=g,NABC=30。，由余弦定理代入即可得出答案.

北

由題意設AB=x,BC=3,AC=6,NABC=30。.

由余弦定理得3=必+9-2x3xxxcos30°，

解得x=2A/3或x=石.

故選：AB.

10.在平面直角坐標系中，向量°,6如圖所示，則（）

A.al.b

B.|2a-/>|=5

C.a在2a-b方向上的投影向量的模為1

D.存在實數(shù)彳，使得斯+8與a2共線

【答案】BCD

【分析】

由題意可得：）=（2,1）,"（4,-3）,根據(jù)向量的坐標運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可得：a=（2,l）,U（4,-3）.

對于選項A：因為；?力=2x4+lx（-3）=5w0,所以a,6不垂直，故A錯誤;

對于選項B：因為2a-6=（0,5）,所以色-目=府+5?=5,故B正確；

對于選項C：因為〉（2〉a=2x0+lx5=5，H=j22+12=布,

試卷第6頁，共16頁

|a-(2a-^|§

所以a在2a-6方向上的投影向量的模為5~^』=三=1，故C正確;

V2a-b\5

對于選項D：因為q+1=(2彳+4,"—3),>[=(一2,4),

若2a+6與共線，貝！I(22+4)x4=(2—3)x(—2),解得a=一1,

所以當/=-1時，力/+6與共線，故D正確；

故選：BCD.

11.在ABC中，D,E分別是8C,AC的中點，且5C=6,A￡>=2,貝|()

A.ABC面積最大值是6B.ABC周長可能是14

C.|3網(wǎng)不可能是5D.BESC吧，引

【答案】AD

【分析】選項A由題可得AD13C時三角形面積最大；選項B分別在△ABRA48中

用余弦定理得出°2+k=26,然后結(jié)合均值不等式可判斷；選項C將AQ+BE化為

3131

-DC--DA,由向量平方可判斷；選項D由A。=5DC+5￡)A,AC=￡>C-￡)A然后由數(shù)

量積的定義可得出答案.

【詳解】設ABC的三個內(nèi)角AS,C所對的邊分別為“，"c

選項A,S=|fl/za=1x6x^<lx6x2=6,當AD15C時，等號成立，故A正確；

選項B,c2=32+22-2X2X3COSZADB,/=3?+2?-2x2x3cosZAZ)C,

ZADB+ZADC^TV,

貝!J(?+〃=26,所以三角形周長為a+〃+c=Z?+c+6>12,

由均值不等式等W59=后，當且僅當6=。=歷時等號成立，

可得c+6+6V2g+6,即三角形的周長的范圍是(12,2萬+6],

14g(12,2^+6],所以三角形周長不可以取到14,故選項B錯誤；

選項C,AD+BE=AD+BD+DA+AE=BD+^AC

1o-I

=DC+-(DC-DA\=-DC--DA

2、12f2

所以|A。+BE|=心CJDA]=冽明+4-6DC—=屜-6；C-DA,

DC-￡)A=|￡)C|-|DA|COSZADC=6cosZADCs(-6,6),

所以+所以IAD+8EI的值可能取到5,故選項C錯誤;

1Q1

選項D,BE=BD+DA+AE^DC+DA+-(DC-DA\=-DC+-DA,

~2\'22

BEAC=\-DC+-DAUDC-DA)=-\DC\^-^|DA|-DC-DA=—~DC-DA,

[22J222

23(1135、

由。CQ4e(-6,6),則5一。。次11萬,耳卜故選項D正確.

故選：AD

三、填空題

12.已知忖=1,忖=2,4.(>-°)=0,則向量.與6的夾角為.

【答案】y

【分析】條件中給出了兩個向量的模長，要求夾角只要求出向量的數(shù)量積，需要運用

?-(^-?)=0,得到關(guān)于。與石數(shù)量積的方程，解出結(jié)果代入求夾角的公式，注意夾角

的范圍.

【詳解】Via|=1,|6|=2,a-(6-a)=0,

**ci'b—。2二0，

2

a-b=a=lf

..cos<a,b>=二~~=—，

1x22

???v。，Z?>^[0,兀],

JT

???兩個向量的夾角是(，

JT

故答案為：—■

【點睛】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二

是利用數(shù)，量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?

可起到化繁為簡的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)

角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決.列出方程組求解未知數(shù).

13.已知ABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為。、6、C,若ABC的面積為“，

試卷第8頁，共16頁

c=應，則該三角形的外接圓直徑2R=.

【答案】2

【分析】

由余弦定理及三角形面積公式得出C,再由正弦定理求外接圓直徑即可.

2

【詳解】由一'=4absinC,

42

2abcosC1

------------=—ab7smC,iptanC=l,

4---2

jr

由0<。<兀，所以c=：,

故答案為：2

14.已知非零平面向量〃，b，c滿足：a，b的夾角為I，c—〃與c-Z?的夾角為T，

JD

|a-Z?|=2>/3,|c-Z?|=2,則匕式的取值范圍是.

【答案】（0,6+43]

【分析】以點。為起點作向量。A=a，OB=b>OC=c>

則BA=a-b,BC=c-b，AC=c-a，

由a，。的夾角為g，c-a與c-6的夾角為,可知：四點。43,C共圓，然后結(jié)合正

弦定理與三角函數(shù)求解即可

【詳解】如圖：

以點。為起點作向量。4=a，OB=b，OC=c>

則區(qū)4=a-6,BC=c—b>AC=c-a>

由a，的夾角為工，c-a與c-6的夾角為小~可知：四點。，4，尻。共圓,

由K=26，卜—"J=2得AB=2若，BC=2,

2^/32

ABBC

在.ABC中:即.2萬—sinZCAB

sinZACB~sinZCABsin——

3

171

所以sinNCAB二一，所以NC43=—,

26

-TT

由同弧所對的圓周角相等，可得NCOS=9,

6

5兀

設NOCB=e,則NOBC=——0,

6

BC_OB_OC

==

在△O8C中：-|^sin^.0y

所以O8=4sin0,OC=4sin(B_6>],

Z?-c=|z?||c|cos/.COB=OBxOCxcos?=4sin6x4sin]一°)xj

=8A/3sin6；cos0+sin=4Gsin0cos6+12sin?6

=2^sin26>-6cos26>+6=4^sin^26>-y^+6,

八八5〃兀c八兀4兀

0<0<——,——<20——<——,

6333

一告<sin"6一(卜1，?--6<4-sin(20一訃4石,

.?.0<4^sin^26>-1^+6<4V3+6,

則6.c的取值范圍是(。,6+4百]

故答案為：(0,6+473]

四、解答題

uu1UU1UU11

15.已知令=(1,0)，4=(0,1),a=2ex+2e2,b=ex-e2,且°〃各.

⑴求4的值；

⑵求向量a與向量二=￡+2,夾角的余弦.

【答案】⑴X=-2

⑵-巫

10

【分析】

試卷第10頁，共16頁

(1)根據(jù)題意求出a,6的坐標，由向量平行的判斷方法可得關(guān)于2的方程，即可得到結(jié)

果；

(2)設a與c的夾角為，，由向量夾角公式計算即可得到結(jié)果.

uu1uU11111

【詳解】(1)根據(jù)題意，ex=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+Xe2,b=ex-e2,

則：二(2,0)+(0㈤=(2㈤，U(l,0)-(0,1)=(1,-1)

因為〃///?,則有5=丁,解得4=-2

(2)由(1)可知a=(2,—2),c=(l,2)

設〃與°的夾角為e,

a-c(2,-2).(1,2)—2yJ10

則(-=一而

16.在eA5c中，角A、B、。的對邊分別為〃、b、c,已知〃=4,c=6,cosC=』.

8

(1)求sinA的值；

⑵求b的值.

【答案】(1)正

4

(2)5

【分析】(1)先由cosC=J,求得sinC,再結(jié)合a=4,c=6,利用正弦定理求解；

8

(2)根據(jù)a=4,c=6,cosC=利用余弦定理求解.

O

【詳解】(1)解：在7ABC中，因為cosC=

O

所以sinC=Vl-cos2C=之互，

8

又a=4,c=6,

35y

由正弦定理得：..tzsinC4x&幣；

sinA=---------=--------=——

c64

(2)在ABC中，因為〃=4,c=6,cosC='，

8

所以由余弦定理得：c?=&2+/-2〃〃cosC,

即加-0-20=0,

解得b=5.

17.如圖，A、8是海面上位于東西方向相距5（3+6）海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點

北偏東45°,B點北偏西60。的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60。且與

B點相距206海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，試求：

（1）輪船。與觀測點3的距離;

（2）救援船到達。點所需要的時間.

【答案】（1）10g海里；（2）1小時.

【解析】（1）結(jié)合圖形利用正弦定理轉(zhuǎn)化求解的長；

（2）利用余弦定理求出CD,然后求解出該救援船到達。點所需的時間.

【詳解】解：（1）由題意可知：在一4汨中，ZDAB=45,ZDBA=30,則NAZ）8=105,

ABDB得5（3+百）_DB

由正弦定理

sinZADBsinZDABsin105sin45

a\/6+A/2

由sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=

4

代入上式得：DBW。/,輪船。與觀測點B的距離為10百海里.

（2）在△3CD中，BC=20A/3,DB=\b6ZCBD=60,

由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC-BD-cos60

=（20A/3）2+（10^/3）2-2X20A/3X10A/3X|=302,

s30

/.CD=30,:.t=—=—=1,

v30

即該救援船到達D點所需的時間1小時.

【點睛】方法點睛：正弦定理以及余弦定理是解決這類問題的常用方法.

18.在ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c，若

1+cos2C=cos2A+cos2B-2sinAsin瓦

⑴求角。；

nh

⑵若c=4,點M滿足CM=--CA+--CB,

a+ba+b

①求證：ZACM=NBCM：

試卷第12頁，共16頁

②求CM的最大值.

【答案】⑴石

⑵①證明見解析②孚

【分析】(1)根據(jù)二倍角余弦公式化簡，再利用正弦定理，余弦定理運算求解;

(2)由向量運算及正弦定理可得NAC0=/3OW；由S%C=SAAC?+%BC?，可得

CD=々，根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得“+6的范圍，得解.

a+b

【詳解】（1）因為1+COS2C=COS2A+COS25—2sinAsinB,

所以2—2sin2C=1-2sin2A+1-2sin2B-2sinAsinB,

所以sin2A+sin2B—sin2C=—sinAsinB,

由正弦定理，^a2+b2-c2=-ab,

“2-序_2i

由余弦定理，得cosC=

lab2

因為C€（0,7T）,所以

（2）設AM=2AB,

貝！JCM=CA+AM=CA+XA3=CA+；1（C3—C4）=（1—；1）C4+；IC3,

ah

又因為CM=------CA+-------CB,

a+ba+b

所以2=々，-=三,

a+ba+b

所以也bCA

a~CB

ACAMBC_BM

由正弦定理可知:

sinNAMCsinZACM'sinZBMC~sinZBCM

AMsinNBCM

兩式相除可得U

BC~BMsinZACM

所以瞿翳=1,^ZACM=sinZBCM,

7jr

因為NACM+ZBCM=y,所以=

因為Z-ACM.=NBCM,且SABC=SACM+SBCM

所以工absin^ACB=-aCMsm^BCM+-bCMsin^ACM,

222

ab

化簡，得ab=a-CM+b-CM,解得CM=-

a+b

由（1）,得/+。2+a0=i6,gp（a+b）2-ab=16,

由曲J等:，得3+加2_1?）、16,

解得a+6V更（當且僅當a=6=噸時取等號），

33

又。+6>4,所以4<a+bW更.

3

^CM=—=（a+b）2~16=a+b--,且是關(guān)于a+b的增函數(shù)，

a+ba+ba+b

，-873162石

所以當.+）=￥r時，（苗以窈=了一雨二丁.

亍

19.在。ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,點。，E,尸分別位于8C,

CA,48所在直線上，滿足8￡)=aOC，CE=/3EA,AF=yFB(a,夕，yeR).

（1）如圖1,若三角形ABC是邊長為3的正三角形，且a=〃=7=2,求力;

（2汝口圖2,若AD,BE,CP交于一點產(chǎn)，

①求證：a/3y=1

②若AP=PD=7,BP=12,PE=6,CF=18,求力時

3

【答案】（1）=

4

⑵①證明見解析②90G

【分析】

（1）根據(jù)向量的線性運算及向量平面基本定理，列出方程求解即可；

（2）由三角形面積比與線段的比化簡即可得①，利用相似求出器，CP,再由解三角

形得出BD,根據(jù)三角形面積間的關(guān)系及三角形面積公式得解.

BP

【詳解】（1）設F則8尸=%PE，

因為CE=2E4，AF=2FB，

0A

^BP=-BE-一—AB+AC,

1+43