湖南省益陽市安化縣第一中學2023-2024學年高一下學期

第一次月考數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

i.給出下列四個說法：①若同=°,貝藤=°；②若同=W，則）=很或③若

必區(qū)，則同=問；④若出行，加逅,則向/J其中正確的說法有（）個.

A.]B.2C.3D.4

2.在中，若點。滿足詬=2比，則詬=（）

1—?2—?5—?2—?

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

C.-^C--ZsD.-AC+-AB

3333

3.己知P,A,B,C是平面內四點，且方+而+定=就，則下列向量一定共線

的是（）

A.正與麗B.聲與麗

C西與京D.1與羽

4.已知同=6,忖=3,無否=-12,則向量*在向量。方向上的投影向量是（）

7121

A.-5B.-aC.--aD.--a

3333

5.設“為O'。所在平面內一點，方=」在+鄉(xiāng)就，若瑟=久麗（北口）,則入等于

22

()

試卷第11頁，共33頁

A.—cB.aC.°D.,

Z—JZD

6.已知向量工是與向量1方向相同的單位向量，且|可=2,若“在加方向上的投影向量

為2工，則U）

A-2GB--273C-4

7-如圖，已知方=落漏=反區(qū)=己,方=2數，則己=（）

A.-b--aB.2』C.2日-彼D.-a--b

2222

8.已知點"是所在平面內一點，若萬=之前二茄，貝-PBC與“的面積

43

比為（）

二、多選題

9.侈選題）設￡=（京+而）+（就+五5），區(qū)是一個非零向量，則下列結論正確的有

()

T)

A.a//b?a+b=a

Ca+b=bD.|a+fe|<|a|+|S|

10.（多選）已知向量［=（T,2），￡=（2,1），若向量￡=41+4］，則可使;18<0成

試卷第21頁，共33頁

立的z可能是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（-1,0）D.（0,-1）

ii.已知平面向量.，\。滿足同明T4=i.若則（￡一斗（25一3的值可

能為（）

A-3-V3B.一2C.0D.

12.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，AD=-AC,且點,在以的中

3

點。為圓心，CM為半徑的半圓上，若麗=、詼+）前，則（）

—?1—?2-*B.X+-”的最大值為］+立

A.BD=-BA+-BC

333

C麗最大值為9D-BODO=1

三、填空題

13.在中，頂點A的坐標為（3,1），邊8c的中點。的坐標為則“BC的

重心坐標為___.

14.已知向量成=（x,l），萬=（-3,2），若2所+為=（1,4），則應=——?

15.在平行四邊形/BCD中，分別為48,40上的點，S.AM=2MB,AN=ND'

連接/c，與MM交于點尸，若N=；CE，則2的值為一.

16.在梯形N8CD中，ABHCD-AB=BC=2,CD=\，NBCD=120°，尸、0分別

試卷第31頁，共33頁

為線段'C和線段8上的動點，且8尸=28C,DQ=—DC,則°尸“°的取值范圍

4A

為一.

四、解答題

17.已知|句=6，歷|=4，(5-26)-(5+36)=-72-

(1)求向量￡,g的夾角。；

⑵求而+3%

18.已知平面向量@=(2x+3,-x)(xeR)

(1)若求x的值：

(2)若2/4,求歸叫

19.如圖,若。(1,2)，￡(-5,-1),尸(4,-4)，點X,y,Z分別在線段上,且

滿足在？=2XF,FY=2YD,DZ=2ZE-

⑴求叵+網;

⑵求cos(FD,FZ),

20,已知O為坐標原點，04=(1,V3),O5=(cosa,sina),

⑴若a/,求而+西；

3

試卷第41頁，共33頁

瓦,礪的取值范圍.

(2)若ae0,—，求

2

21.如圖，在A"。中，。是"的中點，BE=-BC.

3

AC=2BC=2,ZACB=60°>求而|；

⑵若函=4函，求4的值?

22.如圖，在@8中,OA=a

OC^-OA,OD=-OB,4D與8c交于點M,設

42

OB=b-

(1)若的=4+仍，求x及乃

(2)在線段NC上取一點用在線段3。上取一點凡使跖過M點，設礪

OF=qOB^求7pq+2q的最小值.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.A

【分析】

根據零向量定義、向量模長、平行的定義等知識依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于①，模長為零的向量為零向量，①正確；

對于②，扇石的模長相同，但方向不確定，落彼未必同向或反向，②錯誤;

對于③，若引區(qū)，則,石同向或反向，但模長未必相同，③錯誤；

對于④，當B=O時，&/區(qū)，成立，但此時落?未必平行，④錯誤.

故選：A.

2.D

【分析】根據平面向量的線性運算可求出結果.

【詳解】由昉=2比，得口一萬=2（三一通），

得3亞=2正+刀，得前=2次+工刀.

33

故選：D.

3.B

【分析】利用平面向量的減法法則以及向量共線即可判斷選項.

【詳解】因為沙+麗+定=%，

所以莎+麗+京-就=6，

即-2PA=PB，

所以強與麗共線.

故選：B.

4.D

【分析】

根據投影向量定義直接求解即可.

答案第11頁，共22頁

a-ba1.

【詳解】誹|cos=魯二-2，TT=-Q,

aa6

向量°在向量“方向上的投影向量為WcosR,B'a1一

同P

故選：D.

5.C

【分析】

由金女此町可得就-4汨-a，化為小券而與

而=」次+3％比較，即可得結果.

22

【詳解】若前=彳函（4eR），AC-AB=AAD-AAC'

,___.1___.;+1____

\^AD=--AB+^^AC,

AA

,.1—.3，

又因為40=――AB+-AC,

22

所以可得一J_=一J_,4±l=3,

2222

解得2=2，

故選：C.

6.C

【分析】

利用平面向量數量積的幾何意義求解.

［詳解］=BHqcos(a1)=B，2e［=2x2=4

答案第21頁，共22頁

故選：C

7.A

【分析】

根據向量的線性運算可求己的表示形式.

【詳解】因為9=2前，故礪-a=2（反-網,

__.3—?1—■3-1-

故OC=-O8——OA=-b——a，

2222

故選：A.

8.A

【分析】假設“Be是等腰直角三角形，建立平面直角坐標系，求得?點坐標，由此求得

△PBC與A/BC的面積比.

【詳解】假設“3C是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如圖所示平面直角坐標系，設尸

則3（0,2）,C（2,0），貳=（2,-2）,瓦=（0,-2），

___3__2一

依題意"=—8C——BA,

43

即=-g（0,-2）=、,一：，

S"c=；x2x2=2,

S“PBC=S“FAC+SMBC—SJAB

答案第31頁，共22頁

111,13132

=—x2x——i——x2x2—x2x—=——i-2—=一

26222623

△PBCAABC2

所以與的面積比為

23

故選：A

9.AC

【分析】根據向量的線性運算，求得［=6,結合零向量的性質，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，向量°=(益+詼)+(瑟+力2)=而+方3=6,且g是一個非零向量,

所以成立，所以A正確；

由￡+加=心所以B不正確，c正確；

由B+'=W，|q+W=W，所以K+q=|a|+W，所以D不正確.

故選：AC.

10.AC

【分析】

由向量坐標運算公式求￡的坐標表示，根據向量相等逐項求4,4，由此作出判斷.

【詳解】

因為a=44+402，￡1=(-1,2)'e2=(2,1),

答案第41頁，共22頁

所以￡=(一4+24,24+4)，

"1“2<0

Q=(1,O)\-4+2^2—1

,貝/24+4=°,解得.

若,滿足題意，A正確;

4=1

a-(0,1)]一4+2%2=0[._244〉o

<4=-

若，則[24+4=1,解得5

,不滿足題意，B錯誤;

“14<0

Q二(—1,0)-4+2^2=-1]_

4=

5

若，則24+4=0,解得,滿足題意，C正確;

a=(0,-1)]-4+2A2=02認>。

,貝-24+42=-1A=-

5

若解得,不滿足題意，D錯誤;

]_

4=一

5

故選：AC.

11.BCD

【分析】根據數量積的運算律可將所求數量積化為R-4w-。=t-B-4cos和/

由此得到結果.

【詳解】=2a-b-2b-c-^a-b^=-l-\a-b\cos(c,a-b

^\a-b\=\l2-2a-b=1,

故=-1-cos(c,a-B)G[-2,0]

故選：BCD.

答案第51頁，共22頁

12.AC

【分析】對于AD,將麗，而，麗分別用阪就表示，再結合數量積的運算律即可判斷；

對于BC,以點。為原點建立平面直角坐標系，設尸(cosa,sina)兩例］，根據平面向

量的坐標表示及坐標運算即可判斷.

【詳解】對于A,因為?=2就，且點尸在以的中點。為圓心，°4為半徑的半圓上,

3

所以。/=。。=。。=1/。=1,

3

貝質=能+麗=數+；聲=就+；蟀_網=:說+|■就，故A正確；

—?—?—?—?2——?—?2/——?—?、2——?1—?

對于B,BO=BC+CO=BC+-CA=BC+-\BA-BC]=-BA+-BC,

33、>33

Dd=BO-BD=-BA+-BC-\-BA+-BC\=-BA--BC，

33(33J33

貝3屈叫江方)(押+/卜押2-揮2-刀反

=2—1——x3x3x—=—,故D錯誤;

922

對于C,如圖，以點0為原點建立平面直角坐標系,

答案第61頁，共22頁

B

則Z（TO）,0雪,C（2,0），

\21）

因為點P在以4。的中點0為圓心，°%為半徑的半圓上,

所以點尸的軌跡方程為一+/=],且在x軸的下半部分,

設P（cosa,sina）,?；M]，

所以BP.BCuOcosa-O—^^sina+^^Bcosja+—1+6'

2424I

因為。5，2兀］,所以a+噢歸,—

333

所以當。+工=2兀時，2PBe取得最大值9,故c正確;

3

因為麗7就'

答案第71頁，共22頁

所以sina--------=--------(x+y)，

22v7

所以x+y=-2近sina+1，

9

因為ae［n，2兀］,所以當a=型時，’取得最大值亞+i,故B錯誤.

29

故選：AC.

13-(-1,1)

【分析】

設“8C的重心為G(x,y),則就=2而，即可得到方程組，解得即可.

3

【詳解】解：設A"。的重心為GUM,則布=,而，

因為2(3,1)，0(-3,1)，

所以(、一3，"1)=：(一6,0),即「-3=|X(-6),解得］；=，，即改革)，

y-l=0

即^ABC的重心坐標為(_罩).

故答案為：

14.(2,1)

【分析】

根據向量加法的坐標運算直接求解即可.

【詳解】?/2m+n=(2x—3,4)=(1,4))?-2x-3=1,解得：x=2,m=(2,1),

答案第81頁，共22頁

故答案為：（2,1），

2

15.

7

【分析】

根據給定條件，利用向量的加法，結合共線向量定理的推論求解作答.

【詳解】

在Y48co中，在，礪不共線，因為而=2雙瓦麗=而5,

貝I］有萬=2就=2（益+詼）=2弓而+2不）=弓而+22前,

又尸,三點共線，于是得2+22=1,解得4二，

27

所以”的值為義

故答案為：!9

1八r131

10.-----

.2'4_

【分析】

以點3為坐標原點，直線為x軸，過點B且垂直于直線48的直線為y軸建立平面直角

坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算可得出而.而關于久的函數關系式，求出久的取

答案第91頁，共22頁

值范圍，利用對勾函數的單調性可求得加.而的取值范圍?

【詳解】以點3為坐標原點，直線為X軸，過點8且垂直于直線月2的直線為V軸建立

如下圖所示的平面直角坐標系，

則4（一2,0）、味1,現可-2,電尸卜入網,則麗=（2-九⑨-6）,

2<A<I

由題意可得3,解得4一"

0<—<1

144

而=與+即=25+金友=(o,G)+點(1,0)

所以，麗.而=與4+3（2-1）=3,+：］-?，

由對勾函數的單調性可知，函數/（為=3］；1+（］-?在區(qū)間1,1上單調遞增,

313

當±4241時，

42v74

因此，皮.歷的取值范圍是1,2.

24

故答案為：上二

24

答案第101頁，共22頁

17.(1)e=—(2)6c

3

【解析】(1)利用平面向量數量積的分配律求出,然后代入夾角公式求解即可；

(2)結合⑴中0”的值，利用平面向量數量積的性質：歸+彳=(a+b^=a2+2a-b+b2進行

運算，求出|"+3邛的值，然后再開方即可.

［詳解［伍-2石)?伍+3b)=-72,問2+￡.g_6J,=-72,

?.?卜卜6,|S|=4e\36+(2-S—6X16=-72

解得73=72,由平面向量數量積的夾角公式得，

?a-b-121

??下"雨=寄==

,.0<0<71.2萬

???C7—-----

3

(2)因為卜+3.=|a|+64.石+9忖，

所以口+3邛=36+6x(72)+9x16=展

.+3@=6月.

【點睛】本題考查平面向量數量積的性質及其夾角公式;考查運算求解能力;屬于中檔題、常

考題型.

答案第111頁，共22頁

此d）x=3或x=-l

⑵2或2后

【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標表示列方程求解；

（2）先通過向量平行的坐標公式求出尤，再通過向量的坐標運算求模.

【詳解】⑴..口，

II

=2x+3--=0，

解得x=3或L1；

（2）...〃//5，

.*.-x=（2x+3）x，即2、2+4%=0解得％=0或%=-2，

當工=0時，Q=（1,0）1=（3,0）,〃一否二（一2,0）,.?..一斤=2；

當了二-2時，〃=（1,一2）花二（-1,2）,（7-S=（2,-4）,忖_耳=V4+16=275,

「.卜_4=2或卜-q=2A/5.

19.⑴田叫疝；

⑵3岳

13

【分析】

答案第121頁，共22頁

(1)根據定比分點坐標可求得x,y的坐標，根據向量模長的坐標表示即可求得結果;

(2)同理可求得z點的坐標，利用向量夾角的坐標公式即可求得余弦值.

【詳解】(1)設X/的坐標為X(Xx，7x)，Y(Xy,%)；

由EX=2XF,FY=2YD可得分點可得+5,川+D=2(4-右T-Vx)

_

[(jty4,_yr+4)=2(l-xy,2-yr)

即卜=1,川=-3,得X(l,-3)/(2,0)

[Xy—2,—0

所以而+市=(7,1)+(0,-5)=(7,-4);

貝I]叵+/=Q+l=V65

(2)設Z點的坐標為Z(Xz/z)，

由成=2君得(XZ-1/Z-2)=2(-5-XZ，-1-NZ)

所以Xz=-3,yz=0>即Z(-3,0)

麗=(-3,6),豆=(-7,4)，

FD?FZ21+243而

ces〈FD,Fz)

MR375x765-13

20.(1)3

(2)[1,2]

【分析】

(1)利用a=生，求出力+礪，利用向量的模長公式，即可求解.

3

答案第131頁，共22頁

(2)利用04?Qg=J^sina+cosa=2sin[a+看],再根據ae0,-^-,即可求出的

取值范圍.

【詳解】（1）

TI_.、

a=-—CRQB

r.0A+=[1^

3時，12'2),,122,

.?.西+國喟+亍=3

(2)

OA?OB=道sina+cosa=2sina+工

I6

V0<a<-,

2663

■■OA-OB的取值范圍為[1,2].

21.⑴也

2

(2)g

【分析】（）將無用古、而表示，根據平面向量的運算律以及定義可求出結果;

1CziCn

（2）根據平面向量基本定理可求出結果.

【詳解】（1）因為函=；（歸+3），

1____________________11-1

22

所以|函2=削前+2G4,C5+|C5|）=：_X（2+2X2X1XCOS600+1）--,

答案第141頁，共22頁

（2）因為而='反"所以無-而