江西省各地2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，?1=1,g=2,且當(dāng)九為奇數(shù)時，4+2-?！?2；當(dāng)”為偶數(shù)時，a?+2+l=3（a?+l）.則此數(shù)

列的前20項的和為（）

ol1o1ool2ool2o

A.^—^+90B.^—^+100C.^—^+90D.^-—^+100

2222

qinx

2.已知函數(shù)/（x）=-------的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合

1+2sinx

的變換方式有（）

①繞著x軸上一點旋轉(zhuǎn)180。；

②沿x軸正方向平移；

③以％軸為軸作軸對稱；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

3.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

4.函數(shù)"x）=sin2x+wsinx+3x在［工二］上單調(diào)遞減的充要條件是（）

63

A.m<-3B.mW—4C.m<-^-D.m<4

3

x,x<0

5.已知wR,函數(shù)/（%）=1131z八2八，若函數(shù)y=/（x）—依—匕恰有三個零點，則（）

—X--（Cl+1）X+6ZX,X0

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>Q

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

6.設(shè)命題P：\/a,b&R,|a-Z?|<|a|+1/?|,則為

A.X/a,beR,,一百習(xí)a|+網(wǎng)B.Ba,beR,|tz-Z?|<|tz|+|Z?|

C.3a,b&R,|a-/?|>|a|+|/?|D.3a,b&R,|a-Z?|>|a|+|/?|

7.給出以下四個命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；

③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

x-y<0,

8.若X,y滿足約束條件卜+》《2,則年x+3

c的取值范圍為（）

y+2

x+1>0,

24242

A.[—,—]B.[—3]C.[-,2]D.[-,2]

535935

9.已知〃x）=</（"I）

,若方程/（%）—2a%=a—1有唯一解，則實數(shù)。的取值范圍是（）

—,0<x<1

12

B.{-16}UQ,1U（2,+CO）

A.{-8}O（1,-HX））

C.{-8}u-,1u（2,+co）D.{-32}o[l,2]o（4,+w）

v2y2

10.設(shè)雙曲線二=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C

ab2

分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于而壽，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-A/2,0),1(0,V2)

D.(-8,-&)U(0,+8)

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2""—1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a=/(logo.53),6=/(k)g25),c=f(2+m)

則a,bfc的大小關(guān)系為()

A.a<b<CB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

12.已知定義在H上的奇函數(shù)/(%)滿足：f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.71828且在區(qū)間［e,2e］上是減函數(shù)，

令b-,c=等，則/(a),f(b),/(c)的大小關(guān)系(用不等號連接)為()

乙33

A./(Z7)>/(?)>/(c)B.f(b)>于(c)>f(a)

C.于(a)>于電)于(c)D./(?)>/(c)>/(/?)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.給出下列等式：V2=2cos-,J2+V2=2cos-,也+0=2cos2,…請從中歸納出第〃個等式：

4816

J2+…+^2+yf2=

〃個2

14.若叫eR,*-W/2+1+5<0為假,則實數(shù)。的取值范圍為.

15.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體)，觀察向上的點數(shù)，則

事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為一.

54322345

16.設(shè)(x—2y)s=aQx+axxy+a2xy+a3xy+a4xy+a5y,則旬+4+%=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知矩形紙片ABC。中，AB=6,AQ=12,將矩形紙片的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點8落

在矩形的邊AD上，記該點為E,且折痕MN的兩端點M,N分別在邊A58c上.設(shè)=，，跖V=/,AEMN的

面積為S.

(1)將/表示成。的函數(shù)，并確定。的取值范圍；

(2)求/的最小值及此時sin8的值；

(3)問當(dāng)。為何值時，AEMN的面積S取得最小值？并求出這個最小值.

18.(12分)語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小愛同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了

了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：

“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計

男4560105

女554095

合計100100200

(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性

比購買“天貓精靈”的女性多多少人？

(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？

n(ad-be)"

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校

團(tuán)委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機抽取了160名學(xué)生，對是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

愿意不愿意

男生6020

女士4040

(1)根據(jù)上表說明，能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；

(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人.若從這10人中

隨機選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X,寫出X的分布列，并求E(X).

2n(ad-bc)2

附：K=-------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.050.010.001

3.8416.63510.828

20.(12分)如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,點E是邊AD上一點，S.AE=2ED,點"是的的中點,

將八45￡沿著座折起，使點A運動到點S處，且滿足SC=SD.

(1)證明：平面3CDE；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

21.(12分)為了保障全國第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部

選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過

程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普

查提供了寶貴的試點經(jīng)驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別順利不順利合計

企事業(yè)單位401050

個體經(jīng)營戶10050150

合計14060200

(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”；

(3)以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利

的對象數(shù)記為X,寫出X的分布列，并求X的期望值.

附：E=n(adbc)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

pgk。)0.100.0100.001

k。2.7066.63510.828

22.(10分)在①袖3=%，②”=?12,③85-83=48這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整

數(shù)上存在，求左的值；若不存在，說明理由.

設(shè)正數(shù)等比數(shù)列也｝的前〃項和為,｛q｝是等差數(shù)列，,b.=a4,q=2,%+%+%=30,是否存

在正整數(shù)也｝,使得幾產(chǎn)S.+4+32成立？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出前20項的奇數(shù)項的和，利用等比數(shù)列的前〃項和公式求出前20項

的偶數(shù)項的和，進(jìn)而可求解.

【詳解】

當(dāng)〃為奇數(shù)時，?！?2-=2,

則數(shù)列奇數(shù)項是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)〃為偶數(shù)時，4窿+1=3(%+1),

則數(shù)列中每個偶數(shù)項加1是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.

所以S*2Q=q+%+++〃20=%+/+++%+“4+’+。20

10x9

=10x1+--—x2+(a2+1)+(tz4+1)+(a20+1)-10

3(1—3)3n-3

=100+-^-------^--10=--------+90-

1-32

故選：A

【點睛】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前〃項和公式、等比數(shù)列的前〃項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

n/|+xj,故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像

計算得至!!"x+2而)=/(x),f--x

知①③錯誤，得到答案.

【詳解】

sinxsin(x+2丘)sinx

〃x)=于(x+Zki)==〃x),keZ,

1+2sinxl+2sin(x+2^)1+2sinx

當(dāng)沿x軸正方向平移2左肛左wZ個單位時，重合，故②正確;

.(n)

、sin——Fx

萬+_cosx

2J^.(n>1+2cosx'

'1+2sin—+x

(2)

故/—=+,函數(shù)關(guān)于X對稱，故④正確；

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.

3、D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路,，正確，故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤，“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述，甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題型.

4、C

【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則/(x)<0恒成立，對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

63

和圖象，列不等式組求解可得.

【詳解】

依題意，/(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cosx=r,則止也走］,故4/2+Y+IWO在止,上恒成立;

2222

“11,C

4x—+mx—+L,0孫，一4

42

結(jié)合圖象可知，，廠，解得

36…

44x—+mx--Fl,0――3~

42

.-8百

rum<----.

3

故選：C.

【點睛】

本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：

⑴代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角比(或力)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等

式求解；

⑵圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

5、C

【解析】

當(dāng)％<0時，y=/(無)一公一人=%—依一人=(1一4)兀一人最多一個零點；當(dāng)乂.0時，

y=f(x)-ax-b=^xi-^(a+l)x2+ax-ax-b=^x3-^(a+V)x2-b,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)

性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【詳解】

當(dāng)％<0時，y=f(x)-ax-b=x-ax-b^(l-a)x-b=o,得苫=----；y=/(%)—依一人最多一個零點；

i-a

當(dāng)x..0時，y=f(x)——b=_—(a+l)x"+ax—ctx—b=_JC1—(a+l)x——b>

3232

y'-x2-(a+l)x,

當(dāng)a+L,0,即④一1時，y..0,y=f(x)-ax-b^[Q,+s)上遞增，y=/(x)—依—人最多一個零點.不合題意;

當(dāng)a+l>0,即a>—1時，令V>0得xe[a+l,+8),函數(shù)遞增，令V<0得尤e[0,a+1),函數(shù)遞減；函數(shù)最

多有2個零點；

根據(jù)題意函數(shù)y=/(x)-依-。恰有3個零點=函數(shù)y=/(尤)-以-。在(-8,0)上有一個零點，在[0,+⑹上有2

個零點，

如圖：

卜。>0

—<o且h「19,

l-tz—(a+爐——(a+l)(a+l)--b<0

、32

—1[

解得6<0,1—41>0?0>b>—(4z+1)'a>—1.

【點睛】

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及。力兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

6、D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題，：ya,beR,|a-Z?|<|a|+|/?|,則"為：3a,beR,|a-Z?|>|a|+|Z?|.

故本題答案為D.

【點睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

用空間四邊形對①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對

④進(jìn)行判斷.

【詳解】

①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.

②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.

③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么

這兩個角相等或互補，故③錯誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.

故選：B

【點睛】

本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識；考查空間想象能力，推理論證能

力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

8、D

【解析】

%+3

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=7瓦為連接點。(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(x,y)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

x+3

目標(biāo)函數(shù)Z=不5可表示連接點r>(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(x,y)的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線ZM的斜率最小，直線。8的斜率最大，

由二;二可得A")，由可得咱,3),

1—1+213+252

所以kZM=1=7'kDB=12=不，所以￡<z<2?

—1+3Z—1+J，2)

本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

求出/'(X)的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出。的范圍即可.

【詳解】

解：令貝UO<x+l<l,

貝！I加+1)=9，

—--l,-l<x<0

故/(%)=Al，如圖示：

—,0?x<1

12

由f(x)-2ax=a-1,

得F(X)=Q(2]+1)—1,

函數(shù)y=a(2x+l)-l恒過A(-g,-1),

由8（1,},C（O,1）,

-+1=_1+1=

可得^AB=~—r=1>koA=2,工,

1+

2萬

若方程f（x）-2ax=a-l有唯一解，

則1<2%2或2a>4,即工<a”1或〃>2；

2

2

當(dāng)2ax+a-1=--------1即圖象相切時，

x+1

根據(jù)A=0,9/一8〃（。—2）=0,

解得，=-16（0舍去），

則a的范圍是{-16}u[g,lu（2,+s）,

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

10、A

【解析】

由題意4（”.⑴1,「（《二-'），

aa

根據(jù)雙曲線的對稱性知。在x軸上，設(shè)。（羽0）,則由

b2b2

得：aa./，

-------=-1.c-.t-----------------

c-xc-aa*（a-c）

因為。到直線5C的距離小于〃十行兩，所以

Z?b

即0<—<1,所以雙曲線漸近線斜率左=±‘￡(-1,0)口(0,1),故選A.

aa

11、B

【解析】

根據(jù)/(x)為偶函數(shù)便可求出帆=0,從而/GO=2兇-1，根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.

【詳解】

解：??1(X)為偶函數(shù)；

.?./(-x)=f(X)；

.?.一%一時-i=2k一時-1；

|-x-m\=\x-m|；

(-x-m)2=(x-m)2；

.\m=0；

-V(X)=2W-b

?V(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，并且〃=/(|log()53D=f(log23),

b=f(log25),c=f(2)；

V0<log23<2<log25；

a<c<b.

故選民

【點睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間［0,+00)

上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小.

12、A

【解析】

因為/(x+2e)=—/(%),所以/(x+4e)=/(x),即周期為4,因為/(九)為奇函數(shù)，所以可作一個周期［-2e,2e］

示意圖，如圖/(%)在(0,1)單調(diào)遞增，因為52<25;.5.<25,23<32,25<33.,.0<。<。<。<1，因此

/(/?)>/(?)>/(c),選A.

點睛：函數(shù)對稱性代數(shù)表示

(1)函數(shù)/■⑺為奇函數(shù)O/(%)=-/(—X),函數(shù)Ax)為偶函數(shù)0/(X)=/(—%)(定義域關(guān)于原點對稱)；

(2)函數(shù)/(X)關(guān)于點3〃)對稱0/(%)+f(-x+2a)=2b,函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=相對稱o/(x)=f(-x+2m),

⑶函數(shù)周期為T,則/⑴=f(x+T)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

c乃

13、2cos--

2n+1

【解析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第〃個等式即可.

【詳解】

解：因為：A/2=2cos—,5/2+A/2=2cos—,12+J'2+&=2cos2,

4816

1TC

等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列，公比為一，則角滿足：第〃個等式中的角f，

22

所以J2+...+J2+/=2c°s券;

〃個2

一、冗

故答案為：2cos2“+i.

【點睛】

本題主要考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

14、(f4]

【解析】

___________/+5

由三%eR,/?—。在11+5<0為假，可知VxeR,尤2—”,尤2+1+5<。為真,所以對任意實數(shù)x恒

%2+5%2+5

成立，求出I的最小值，令〃<（/）min即可?

V%+iG+i

【詳解】

因為Hr。eR,5?—a?^7i+5<0為假，則其否定為真,

%2+5+5

即VxeR,爐—ajf+1+520為真，所以

『對任意實數(shù)x恒成立，所以a<(,-)min.

V%_+1Vx+1

%2+5r-;~74，4「

又「—=V%+1+^^=>4,7=^下，即*=±括時，等號成立，所以aW4.

Jx2+1%2+

故答案為：（—8,4］.

【點睛】

本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用，利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

15、2

9

【解析】

總事件數(shù)為6義6=36,

目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有

（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8種；

當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以，則有2x6=12種；

205

所以目標(biāo)事件共20中，所以「二二二X。

369

16、121

【解析】

在所給的等式中令x=l,丁=1,令％=1,y=-l可得2個等式，再根據(jù)所得的2個等式即可解得所求.

【詳解】

令x=1,y=1得（1—2）=a。+q+/+/+4+。5=，令元=［，y=-］得

（1+2）=—q+a,—%+%—。5=243,兩式相加，得2（%）+/+%）=242,所以a。+a?+%=121.

故答案為：121.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題，難度較易.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3兀，八/兀\、g,/的最小值為竽.（3）e=W時，面積s取最小值為

17、⑴/=n2/3l7^-^-Tsin3=

sinOcos91124)

【解析】

(1)ZENM=ZMNB=0,ZEMA=2。,利用三角函數(shù)定義分別表示A?,MB,ME,AM,且AM+MB=6,即可得到

3

BN=——-——<12

sin9cos6

3

/關(guān)于。的解析式；BN<12,BM<6,^\BM=——<6，即可得到。的范圍;

cos0

O<0<-

2

（2）由（1），若求，的最小值即求sinOcos?。的最大值,即可求sidecos%的最大值，設(shè)為/2（e）=sin20cos4。,令

2

x=cos0，則/（6）=（1—%）一,即可設(shè)g（x）=（l-%）一,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g（%）的最大值，進(jìn)而

求解;

191

(3)由題,S=萬79sin6cos6=^2x'—外停吟，則八81x1

4sin20cos60"

t=cos2春ve<=（1—f）/，利用導(dǎo)函數(shù)求得力（。的最大值，即可求得S的最小值.

【詳解】

解：(1)ZENM=ZMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cos0,MB=ME=Isin0,AM=MEcos20=Isin6,cos26).

因為AM+MB=6,所以/sinecos28+/sin(9=6,,

63

所以；

sin9(cos20+1)sin0cos20'

3

BN=------------<12

sincos

37T7T

又3N<12,即/<6,則<BM=一0<6，所以

cos3124

0<0<-

2

3

所以/二—<e<—

sinOcos之外124

(2)記/(e)=sin8cos2aA

則尸(0=si/。cose,

5,「12+6],99

設(shè)X=以九2氏％￡―-一，則/(0)=(l-x)x,

記g(%)=(1一%)犬2，貝!I，(%)=2%—3x2,

21

令g'(%)=0,則％=-

一12122+\13

當(dāng).253時，當(dāng)代§，——時,g4x)<0,

~12~\22+/3

所以g(x)在-,j上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=cos2e=2時/取最小值，此時sine=且，/的最小值為述.

332

19](TCTC

(3)AEW的面積SM7LsinecosdM7x=二~y--<9<—

22smOcos。1124

所以T]，設(shè)…"臥耳，則苧,

sin2^cos60

設(shè)立?)=(1—/)/，則"⑴=3產(chǎn)—4/,令"⑺=o"=：eg,白

所以當(dāng)Ze|,|時,〃(，)>0；當(dāng)fe}2子時,〃(/)<0,

所以可。在上13單調(diào)遞增，在43，方2-4-J」3上單調(diào)遞減，

37T

故當(dāng)f==cos20,^0=-時，面積S取最小值為86

46

【點睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查運算能力.

18、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小

愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；

(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出K?，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人,

由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，

估計購買“小愛同學(xué)”的女性有/^x55=7150人.

估計購買“天貓精靈”的女性有一鵲x40=4800人.

貝(17150—4800=2350,

...估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.

⑵由題可知，—0x(45x40—60x55)15n>3.841，

105x95x100x100

...有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點睛】

本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應(yīng)用，考查計算能力.

19、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；(2)詳見解析.

【解析】

(1)計算得到左＞6.635,由此可得結(jié)論;

(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得X的所有可能取值所對應(yīng)的概率，由此

得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得期望.

【詳解】

⑴???。的觀測值叫160x(60x40-40x20)2=%

~10.667>6.635，

80x80x100x603

,有99%的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).

32

(2)根據(jù)分層抽樣方法得：男生有10x1=6人，女生有10義《=4人,

，選取的10人中，男生有6人，女生有4人.

則X的可能取值有0』,2,3,

-pfx-ol-c^-20-1prx-n-^-60-1

尸"=2）=管嗯磊，尸8A管/心

X的分布列為:

X0123

1j_31

P

621030

.?.E（X）=0x-+lx-+2x—+3x—=-

'/6210305

【點睛】

本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解；關(guān)鍵是能夠明確隨機變量服從于超幾何分

布，進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機變量每個取值所對應(yīng)的概率.

20、（1）見解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中點連接EM,SM,由SE=S5=2,進(jìn)而由SC=S￡>,得SMLCD.進(jìn)而

平面進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過//點作CD的平行線GH交于點G,以點〃為坐標(biāo)原點，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”-孫z,求得平面SBC,平面S3E的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點N,上的點P,使BP=2PC,連接HN,PN,PH,得

HNLBS,HP工BE,得二面角C—S5—E的平面角為NPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取CD的中點"，連接胸，SM,由已知得AE=A3=2,所以SE=SB=2,又點H是BE的中

點，所以SHLBE.

因為SC=SD,點〃是線段CD的中點，

所以SMLCD.

又因為所以從而CD,平面SHM,

所以CE>，S〃，又CD,跖不平行，

所以SH，平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，過H點作CD的平行線GH交于點G,以點”為坐標(biāo)原點，所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一孫z,則點3（1,—LO）,C（l,2,0）,E（-l,l,0）,

S（0,0,0）,

所以BC=(0,3,0),BE=(-2,2,0),BS=(-1,1,72).

設(shè)平面SBE的法向量為m=(%，x，zj,

由《，得｛r令弘=1,得加=(u,o).

BS=0[一芯+y1+，24=0

同理，設(shè)平面SBC的法向量為〃=(%，%，Z2)，

n-BC=0%=°

由