數(shù)學(xué)文化第7章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法與意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究與揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科，它的起源與博弈現(xiàn)象有關(guān)。

在16世紀(jì)，意大利的一些學(xué)者開(kāi)始研究賭博中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；

到了17世紀(jì)中葉，法國(guó)與荷蘭的一些數(shù)學(xué)家基于排列組合方法，解決了一些較復(fù)雜的賭博問(wèn)題。1812年，拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出了《概率的分析理論》，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論的發(fā)展推向一個(gè)新的階段。

19世紀(jì)末，俄國(guó)數(shù)學(xué)家們用分析方法科學(xué)地建立了實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布的理論，給出了概率的公理化定義，發(fā)展起了現(xiàn)代概率理論。數(shù)理統(tǒng)計(jì)雖然源于古代，但它的正式誕生應(yīng)當(dāng)是19世紀(jì)后期的事情。

概率論的建立為數(shù)理統(tǒng)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展又為概率論的應(yīng)用提供了用武之地。兩者互相推動(dòng)，迅速發(fā)展。目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域，它在經(jīng)濟(jì)、管理、工程、技術(shù)、教育、語(yǔ)言、生物、環(huán)保、國(guó)防等許多領(lǐng)域中的作用愈益顯著。章節(jié)目錄7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史7.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的文化意義

首先提到的是文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家J·卡當(dāng)，他才華橫溢，對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)巨大，但卻熱衷于賭博。他不希望把時(shí)間花在不能獲利的事情上，因此，他認(rèn)真地研究牌技以及在一副牌中獲得“A”的概率。他把自己的研究成果編成了一本手冊(cè)，題為《賭博的游戲》。這是世界上第一部研究概率論的著作。他的研究除了賭博外還與當(dāng)時(shí)的人口、保險(xiǎn)業(yè)等有關(guān)，但由于卡當(dāng)?shù)乃枷胛匆鹬匾暎怕矢拍畹囊家膊幻鞔_，于是很快被人淡忘了。7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史7.1.1概率論發(fā)展簡(jiǎn)史

大約100年以后，另一位賭徒梅累繼續(xù)研究概率問(wèn)題?？墒撬痪哂邢窨ó?dāng)那樣的數(shù)學(xué)天分，所以不得不就這一問(wèn)題去請(qǐng)教數(shù)學(xué)奇才帕斯卡。帕斯卡就梅累的問(wèn)題與費(fèi)馬通了信，由此，帕斯卡和費(fèi)馬創(chuàng)立了概率論的一些基本結(jié)果。他們往來(lái)的信函中討論了如下的“合理分配賭注問(wèn)題”：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙得一點(diǎn)。先積滿(mǎn)3點(diǎn)者贏取全部賭注。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于某種原因中止了，問(wèn)應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理？

當(dāng)費(fèi)馬和帕斯卡通信討論的問(wèn)題被數(shù)學(xué)家惠更斯知曉后，他對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了較為深入的研究。1657年，惠更斯的名著《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)出版。此書(shū)是概率論的第一部成形的著作，書(shū)中提出了數(shù)學(xué)期望、概率的加法與乘法定理等基本概念。

1677年，法國(guó)數(shù)學(xué)家浦豐利用有名的浦豐投針問(wèn)題給出了幾何概率的概念。

使概率論成為一個(gè)獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布

伯努利。1713年出版了他的遺作《猜度術(shù)》，書(shū)中提出了現(xiàn)在稱(chēng)之為伯努利大數(shù)定律的概率論的第一個(gè)極限定律，起到了概率的理論奠基作用。

1812年，拉普拉斯的名著《概率的分析理論》出版，書(shū)中系統(tǒng)總結(jié)了前人關(guān)于概率的研究成果，使以前零星的概率知識(shí)系統(tǒng)化，而且明確給出了概率的古典定義，并引入分析方法，把概率論提高到一個(gè)新的階段。

1733年，1809年棣莫佛與高斯分別獨(dú)立地引進(jìn)了正態(tài)分布的概念。1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松發(fā)表著名論文《關(guān)于判斷的概率之研究》，提出泊松分布。

1866年，俄國(guó)的切比雪夫建立了獨(dú)立隨機(jī)變量的大數(shù)定律，使伯努利與泊松的大數(shù)定律成為特例，并把棣莫佛與拉普拉斯的極限定理推廣為一般的中心極限定理。

由于拉普拉斯的概率定義存在模糊的意義，1899年，法國(guó)科學(xué)家貝朗特提出了所謂的“貝朗特悖論”：在半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)地選擇弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。由于對(duì)“隨機(jī)地選擇”的不同理解，使得結(jié)果不唯一。概率論陷入危機(jī)之中。

為了克服古典概率的缺陷，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始創(chuàng)建概率的公理系統(tǒng)。俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦、奧地利數(shù)學(xué)家馮米西斯都提出了一些概率公理，但都不甚理想。1905年，法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾用他創(chuàng)立的“測(cè)度論”語(yǔ)言來(lái)表述概率，為現(xiàn)代概率打開(kāi)了大門(mén)。

1929年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸虬l(fā)表論文《概率論與測(cè)度論的一般理論》，首次給出了以測(cè)度論為基礎(chǔ)的概率論公理結(jié)構(gòu)；1930年，他的《概率論中的解析方法》開(kāi)創(chuàng)了隨機(jī)工程的一般理論（即馬爾科夫過(guò)程）；1933年，他出版了名著《概率論基礎(chǔ)》，建立了柯?tīng)柲缏宸蚬砘怕收摗?/p>

1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽提出“平穩(wěn)理論”，建立了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程理論。1942年。日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)微分方程，為隨機(jī)分析理論奠定了基礎(chǔ)。

1949年，柯?tīng)柲缏宸蚺c格涅堅(jiān)科合作寫(xiě)出《獨(dú)立隨機(jī)變量與極限分布》，建立了弱極限理論。7.1.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史1763年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家貝葉斯（T.Bayes）發(fā)表《論機(jī)會(huì)學(xué)說(shuō)問(wèn)題的求解》，提出“貝葉斯定理”，也就是從結(jié)果去對(duì)原因進(jìn)行后驗(yàn)概率的計(jì)算方法。

近代統(tǒng)計(jì)學(xué)是在概率論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。1662年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家J.格蘭特組織調(diào)查倫敦的人口死亡率，并發(fā)表《從自然和政治方面觀察死亡統(tǒng)計(jì)表》的專(zhuān)著，提出了“大數(shù)恒靜定律”。

19世紀(jì)中葉，比利時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)家A.凱特勒把統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于天文、氣象、物理、生物與社會(huì)學(xué)，并強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布的用途，為統(tǒng)計(jì)方法的推廣做了大量工作。同一時(shí)期，愛(ài)爾蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家E埃奇沃斯引入了方差的概念。

1889年，英國(guó)生物學(xué)家高爾頓出版其著作《自然的遺傳》，引入回歸分析方法，給出了回歸直線與相關(guān)系數(shù)等重要概念。高爾頓是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的奠基人，他用統(tǒng)計(jì)方法研究遺傳進(jìn)化問(wèn)題，第一次將概率統(tǒng)計(jì)原理應(yīng)用于生物科學(xué)，明確提出“生物統(tǒng)計(jì)學(xué)”。

從19世紀(jì)末到二次世界大戰(zhàn)結(jié)束，數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到蓬勃發(fā)展并日臻成熟。這一時(shí)期，英國(guó)數(shù)學(xué)家皮爾遜發(fā)展了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)與社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本法則，發(fā)展了回歸分析及相關(guān)理論，并于1900年提出了卡方統(tǒng)計(jì)量與卡方分布，建立了卡方檢驗(yàn)法。1908年，皮爾遜的學(xué)生，英國(guó)科學(xué)家W.S.戈塞特導(dǎo)出大統(tǒng)計(jì)量及其精確分布，建立了t檢驗(yàn)法（也就是學(xué)生分布）。

現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人應(yīng)該是英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾（FisherRonaldAylmer，1890-1962）。1929年，他出版了《理論統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)系數(shù)、樣本分布、多元分析以及統(tǒng)計(jì)方法在遺傳與優(yōu)生方面的應(yīng)用都進(jìn)行了研究，成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基性著作，在估計(jì)理論、假設(shè)檢驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、方差分析等方面都作出了貢獻(xiàn)。

1940年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默（H.Cramer）發(fā)表《統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法》，運(yùn)用測(cè)度論方法總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的成果，使現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)趣于成熟。

我國(guó)數(shù)學(xué)家許寶祿在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論這兩個(gè)數(shù)學(xué)分支都有重要貢獻(xiàn)。他的重要成績(jī)有：1938年至1945年間，他在多元統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)推測(cè)方面發(fā)表了一系列論文，給出了樣本協(xié)方差矩陣等概念，推進(jìn)了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用；他對(duì)高斯-馬爾科夫模型中方差的最優(yōu)預(yù)計(jì)的研究是其后關(guān)于方差分量和方差的最佳二次預(yù)計(jì)的眾多研究的出發(fā)點(diǎn)；他推動(dòng)了人們對(duì)全部相似檢驗(yàn)進(jìn)行研究等。7.2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想

所謂概率，通俗地說(shuō)：就是一件事情發(fā)生的可能性的大小。在日常生活中，我們所使用的概率思想，主要是滿(mǎn)足于估計(jì)一件事情發(fā)生的概率是大還是小，從而為我們的決策提供一種理性的支持。

我們來(lái)看看在古典概率中如何利用數(shù)學(xué)得到精確的概率值。例如，單獨(dú)拋一枚骰子，出現(xiàn)“2”的概率是多少?解決這個(gè)問(wèn)題的一種方法是，擲100000次骰子，然后計(jì)算出現(xiàn)“2”的次數(shù)。出現(xiàn)“2”的次數(shù)與100000的比就是所求的答案，或者差不多會(huì)接近真實(shí)的答案。但是，數(shù)學(xué)家們一般不會(huì)采用這種方法，而是靜坐默思去找出解決這個(gè)問(wèn)題的方法。

我們來(lái)看看帕斯卡和費(fèi)馬如何考慮這個(gè)問(wèn)題的：一個(gè)骰子有6個(gè)面，由于在骰子的形狀上或者在扔骰子的方式中，沒(méi)有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出現(xiàn)的可能性相同，而僅僅只有一面也就是出現(xiàn)“2”的一面是有利情形，因?yàn)檫@就是我們所要求的那一面。因此出現(xiàn)“2”的概率就是1/6。如果我們對(duì)出現(xiàn)4或5這兩面都感興趣，我們則得到其概率為2/6，即6種可能性中的兩種對(duì)我們有利；如果我們對(duì)出現(xiàn)4或5不感興趣，那么將有4種有利的可能性，因此概率應(yīng)該為4/6。

在古典概率中，一般地，計(jì)算概率值的定義是，如果有n種等可能性，而有利于一定事件發(fā)生的情形是m，那么這個(gè)事件發(fā)生的概率是m/n，而該事件不發(fā)生的概率是（n-m）/n。在這個(gè)概率的一般定義之下，如果沒(méi)有有利的可能性發(fā)生，也就是說(shuō)，如果事件是不可能的，則事件的概率為0；而如果n種可能性都是有利的，也就是說(shuō)，如果事件是完全確定的，則概率為1。因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。

作為這個(gè)定義的一個(gè)例子，我們考慮從52張普通的一副撲克牌中，選取一張牌“A”的可能性。這里有52種等可能選擇，其中有4種是有利的，因此，這個(gè)概率是4/52，即為1/13。

從52張一副的撲克牌中選取“A”的概率是1/13。圍繞著這一命題的意義，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些疑問(wèn)。這個(gè)命題是否意味著，如果一人在這副撲克牌中取了13次(每一次都重復(fù)取牌，即將取過(guò)的牌又放回)，那么將一定會(huì)選中一張“A”呢?事實(shí)并不是這樣，他可能取了30次或40次，也沒(méi)有得到一張“A”。不過(guò)，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會(huì)趨近于1比13。

這是個(gè)合理的期望，因?yàn)檫x取的數(shù)目越大，每一張牌被取出的次數(shù)就會(huì)越相等。一個(gè)相關(guān)的錯(cuò)誤想法是，假定如果一人取了一張“A”，比如說(shuō)正好是在第一次取得的，那么下一次取出一張“A”的概率就必定小于1/13。實(shí)際上，概率依然是相同的，即為1/13，即使當(dāng)3張“A”被連續(xù)抽中時(shí)也是如此。一副牌或一枚硬幣，它們既沒(méi)有記憶也沒(méi)有意識(shí)，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會(huì)影響未來(lái)。

注意，我們這里所討論的問(wèn)題要具有等可能性。例如，假定我們斷說(shuō)，一個(gè)人安全過(guò)街頭的概率是1/2，因?yàn)橹挥袃煞N可能性：安全通過(guò)或沒(méi)有安全通過(guò)。如果這個(gè)命題成立，那我們就什么事情也別干了，只有坐在家里。這個(gè)命題的錯(cuò)誤在于“安全通過(guò)或沒(méi)有安全通過(guò)”這兩種可能性不是等可能的。例1彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

以某省福利彩票為例做說(shuō)明。這種彩票玩法比較簡(jiǎn)單：2元一注，每注填寫(xiě)一張彩票；每張彩票由一個(gè)6位數(shù)和一個(gè)特別號(hào)碼組成。每個(gè)數(shù)字均可填寫(xiě)0，1，……，9這十個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)；特別號(hào)碼可以填寫(xiě)0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)。每期開(kāi)獎(jiǎng)，開(kāi)出一個(gè)6位數(shù)和一個(gè)特別號(hào)碼作為中獎(jiǎng)號(hào)碼。設(shè)六個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)：特等獎(jiǎng)——獎(jiǎng)券上寫(xiě)的6個(gè)數(shù)字與一個(gè)特別號(hào)碼全部相同；一等獎(jiǎng)——有6個(gè)連續(xù)數(shù)字相同；二等獎(jiǎng)——有5個(gè)連續(xù)數(shù)字相同；三等獎(jiǎng)——有4個(gè)連續(xù)數(shù)字相同；四等獎(jiǎng)——有3個(gè)連續(xù)數(shù)字相同；五等獎(jiǎng)——有2個(gè)相鄰數(shù)字相同。每一期彩票以收入的50%作為獎(jiǎng)金。三、四、五等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金固定；一、二、特等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金浮動(dòng)。假如，中獎(jiǎng)號(hào)碼是123456，特別號(hào)碼是0，那么，各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)號(hào)碼和每注獎(jiǎng)金如表7-1所示。表7-1某省福利彩票各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)號(hào)碼和每注獎(jiǎng)金獎(jiǎng)級(jí)中獎(jiǎng)號(hào)碼每注獎(jiǎng)金特等獎(jiǎng)123456+0（獎(jiǎng)金總額-固定獎(jiǎng)金）

65%/注數(shù)88萬(wàn)元（保底），500萬(wàn)元（封頂）一等獎(jiǎng)123456（獎(jiǎng)金總額-固定獎(jiǎng)金）

15%/注數(shù)二等獎(jiǎng)12345,23456,…共2組20個(gè)（獎(jiǎng)金總額-固定獎(jiǎng)金）

20%/注數(shù)三等獎(jiǎng)1234,2345,3456,…共3組300個(gè)300元四等獎(jiǎng)123,234,…共4組4000個(gè)20元五等獎(jiǎng)12,23,34,…共5組50000個(gè)5元(1)中獎(jiǎng)概率：以一注為單位，計(jì)算一注彩票的中獎(jiǎng)率特等獎(jiǎng)———張彩票上前6個(gè)號(hào)碼有種可能選擇，特別號(hào)碼有5種選擇，故一張獎(jiǎng)券上的號(hào)碼共有5×種不同的填法。因此一注特等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為P0=l/(5×)=2×=0.0000002；

一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為：P1=1/=0.000001；

二等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為：P2=20/1000000=0.00002；

三等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為：P3=300/1000000=0.0003；

四等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為：P4=4000/1000000=0.004；

五等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為：P5=50000/1000000=0.05。

合起來(lái)，一注彩票的總的中獎(jiǎng)率為上述之和：

P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212≈5.4%。這就是說(shuō)，每10000張彩票大約有540張得獎(jiǎng)(包括從特等獎(jiǎng)到五等獎(jiǎng))。

(2)彩票的期望值因?yàn)椴势钡姆颠€率一般是50%，所以從總體上說(shuō)，每注2元一張的彩票，其期望值應(yīng)該是1元。下面來(lái)實(shí)際計(jì)算一下，看是否如此。決定彩票的期望值有兩個(gè)因素，一是各個(gè)獎(jiǎng)級(jí)的中獎(jiǎng)率，二是各個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)級(jí)別獎(jiǎng)金多少。三、四、五等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金已經(jīng)給出，中獎(jiǎng)的概率也已知道，其他三個(gè)等級(jí)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金則可以計(jì)算出來(lái)。

根據(jù)規(guī)定，這三種獎(jiǎng)級(jí)的獎(jiǎng)金與三個(gè)因素有關(guān)：一是當(dāng)期獎(jiǎng)金總額，決定于銷(xiāo)售的彩票總注數(shù)；二是上期“獎(jiǎng)池”中的累積獎(jiǎng)金；三是滯留到下期“獎(jiǎng)池”的獎(jiǎng)金。綜合這幾種因素，再結(jié)合對(duì)2001年2——4月發(fā)行的20期獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)的平均值，可以作如下假定：

第一，每一期售出100萬(wàn)注，獎(jiǎng)金總額為100萬(wàn)；

第二，每期前三個(gè)獎(jiǎng)級(jí)獎(jiǎng)金取平均值；

第三，獎(jiǎng)池的累積獎(jiǎng)金以平均值計(jì)算。結(jié)果如下表7-2：表7-2某省福利彩票各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率和獎(jiǎng)金

獎(jiǎng)級(jí)

概率

獎(jiǎng)金（元）

特等獎(jiǎng)0.000000220000001等獎(jiǎng)0.000001500002等獎(jiǎng)0.0000250003等獎(jiǎng)0.00033004等獎(jiǎng)0.004205等獎(jiǎng)0.055從而算得期望值E=0.0000002×2000000+0.000001×50000+0.00002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5=0.4+0.05+0.l+0.09+0.08+0.25=0.97(元)即每一注彩票中獎(jiǎng)的期望值約為0.97元，這與理論值（l元）非常接近。

(3)彩票同列號(hào)現(xiàn)象此福利彩票，每一期中獎(jiǎng)號(hào)碼是從01,02，…，33這33個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)搖出7個(gè)數(shù)字（不計(jì)順序）以及一個(gè)特別數(shù)字組成的。所謂“同列號(hào)”，是指中獎(jiǎng)號(hào)碼除了特別數(shù)字以外的7個(gè)數(shù)字中個(gè)位數(shù)相同者。例如，在總第98、第99兩期的中獎(jiǎng)號(hào)碼：總第98期為02,10,18,25,27,28,30總第99期為04,11,13,14,15,17,19中，前者的18,28為同列號(hào)，后者的04,14為同列號(hào)。這種“同列號(hào)”現(xiàn)象較為普遍，有人甚至說(shuō)，每期中獎(jiǎng)號(hào)碼都有同列號(hào)的出現(xiàn)。這個(gè)說(shuō)法是不對(duì)的。那么出現(xiàn)同列號(hào)的機(jī)會(huì)究竟有多么大呢？下面我們來(lái)研究這個(gè)有趣的問(wèn)題。我們把01-33這33個(gè)數(shù)字作如下排列，如表7-3所示。表7-3

某省福利彩票數(shù)字排列1234567890010203040506070809101112131415161718192021222324252627282930313233A區(qū)B區(qū)

為方便起見(jiàn)，我們從反面來(lái)考慮，一期中獎(jiǎng)號(hào)碼里不出現(xiàn)同列號(hào)的概率是多少？要想一期中獎(jiǎng)號(hào)碼里不出現(xiàn)同列號(hào)，那么，需且僅需這7個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在上述10列中不同的7列。因?yàn)锳區(qū)與B區(qū)列中的數(shù)字個(gè)數(shù)不同，所以要按照在A區(qū)中所取數(shù)字個(gè)數(shù)，分以下4中情況來(lái)討論。1）0個(gè)數(shù)字在A區(qū)（即7個(gè)數(shù)字都在B區(qū)）。這時(shí)中獎(jiǎng)號(hào)碼里的7個(gè)數(shù)字都在B區(qū)，因?yàn)锽區(qū)只有7列，所以恰好每列取1個(gè)數(shù)字。而在每一列取1個(gè)數(shù)字有3種可能，故不同的取法應(yīng)有37=2187種。2）1個(gè)數(shù)字在A區(qū)（6個(gè)數(shù)字都在B區(qū)）。首先，考慮A區(qū)的1個(gè)數(shù)字。因?yàn)锳區(qū)有3列，在這3列中選出1列，有3種選法；在這一列中選1個(gè)數(shù)字，又有4中選法，故有12種選法。其次，考慮在B區(qū)的6個(gè)數(shù)字。先在7列中選出6列，再在每列中選出1個(gè)數(shù)字，故有種選法。合起來(lái)應(yīng)有種不同取法。3）2個(gè)數(shù)字在A區(qū)（即5個(gè)數(shù)字都在B區(qū)）。先考慮A區(qū)的2個(gè)數(shù)字。這兩個(gè)數(shù)字的取法有種。再考慮B區(qū)取的5個(gè)數(shù)字，應(yīng)有種選法。合起來(lái)應(yīng)有種不同選法。4）3個(gè)數(shù)字在A區(qū)（4個(gè)數(shù)字都在B區(qū)）。3個(gè)數(shù)字在A區(qū)，有種取法，4個(gè)數(shù)字在B區(qū)，有種取法。合起來(lái)應(yīng)有種取法。綜上所述，從01-33這33個(gè)數(shù)字中取出7個(gè)不同列的數(shù)字組成一個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼的不同取法，共有從33個(gè)數(shù)字中取7個(gè)數(shù)字的取法，總共有種。故中獎(jiǎng)號(hào)碼沒(méi)有同列號(hào)的概率為因此，中獎(jiǎng)號(hào)碼有同列號(hào)的概率為。對(duì)此福利彩票自發(fā)行以來(lái)共99期和4個(gè)幸運(yùn)獎(jiǎng)的統(tǒng)計(jì)，在103個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼中，沒(méi)有同列號(hào)現(xiàn)象的有12次（總期號(hào)分別為15，31，42，48，49，53，61，68，86，91，95，100），占11.65%，這與理論值非常接近。

彩票中還有其他一些現(xiàn)象和問(wèn)題，都可以用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋。例如，在當(dāng)代，隨著數(shù)學(xué)在更大范圍和更廣泛領(lǐng)域內(nèi)被應(yīng)用于各門(mén)學(xué)科，數(shù)學(xué)在獲得越來(lái)越多應(yīng)用價(jià)值的同時(shí)，也存在著被誤用和濫用的現(xiàn)象。在某些情況下，數(shù)學(xué)化雖然具有貌似的合理性，但卻并非客觀和全面的量性刻畫(huà)，進(jìn)而容易造成貌似數(shù)學(xué)化的偽科學(xué)性。例如，在電視等媒體上，對(duì)體育彩票和福利彩票搖獎(jiǎng)之后對(duì)近期中獎(jiǎng)號(hào)碼重復(fù)頻率進(jìn)行的所謂統(tǒng)計(jì)分析純粹是一種誤導(dǎo)和欺騙彩民的偽數(shù)學(xué)行為，既是對(duì)數(shù)學(xué)的褻瀆，也是對(duì)彩票公正性的歪曲，因此是極不負(fù)責(zé)任的。例2.色盲的遺傳問(wèn)題

色盲雖然不是什么嚴(yán)重疾病，但卻也是一種生理缺陷。大約在上世紀(jì)初葉，有人發(fā)現(xiàn)色盲是可以遺傳的。于是人們提出了一個(gè)驚人的問(wèn)題：色盲既然是能遺傳給下一代，那么將來(lái)會(huì)不會(huì)有一天使全世界的人都成為色盲?

要弄清色盲是怎么回事，先得明白我們?yōu)槭裁茨芸吹筋伾?，又得研究視網(wǎng)膜的復(fù)雜的構(gòu)造和性質(zhì)，還得了解不同的光波所能引起的光化學(xué)反應(yīng)，等等。

因?yàn)檠劬κ侨梭w很復(fù)雜的器官，要從解剖學(xué)的角度來(lái)考慮，就已經(jīng)十分困難，何況還與遺傳因素有關(guān)。當(dāng)時(shí)，人們還不了解遺傳基因的結(jié)構(gòu)，根本沒(méi)法了解色盲在遺傳基因上的原因。所以，對(duì)于生理學(xué)來(lái)講這是個(gè)當(dāng)時(shí)無(wú)法解決的難題。這個(gè)問(wèn)題被提到了哈代(1877-1947)的面前。哈代是英國(guó)大數(shù)學(xué)家，自稱(chēng)是純粹數(shù)學(xué)家，對(duì)實(shí)際問(wèn)題不感興趣。但是，這回是個(gè)例外，他對(duì)這個(gè)問(wèn)題不但有興趣、而且以概率統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)、僅用初等代數(shù)知識(shí)，就巧妙地、徹底地解決了這個(gè)難題。分析：他首先從大量臨床統(tǒng)計(jì)資料得知以下情況：（1）色盲中男性遠(yuǎn)多于女性；（2）色盲父親與正常母親不會(huì)有色盲孩子；（3）正常父親和色盲母親的兒子是色盲，女兒則不是。

因此，他判斷：色盲的遺傳與性別有關(guān)。男女性別的差異，與遺傳基因中的性染色體有關(guān)。每個(gè)人的體內(nèi)有23對(duì)染色體，一半來(lái)自父親，一半來(lái)自母親；其中有一對(duì)特殊的染色體——性染色體，決定人的性別。男性性染色體是XY，女性的性染色體是XX。在遺傳給下一代時(shí)，母親賦予XX，給予子女的總是X，父親賦予XY，隨機(jī)地選擇一X或者Y給予子女，其概率是21∶22。若前者，則是女性，若后者，則是男性。所以男、女出生的概率是22∶21。這實(shí)際上已經(jīng)回答了統(tǒng)計(jì)中為什么男性比例略高于女性的問(wèn)題。

既然色盲與性別有關(guān)，所以色盲者一定是性染色體出了毛病。那么，究竟是X出了毛病，還是Y出了毛病呢？一定是X，而且這個(gè)異常染色體會(huì)世代遺傳下去。

為什么能肯定病態(tài)染色體是X呢？這可用反證法來(lái)證明：假如病態(tài)染色體是Y，女性就不會(huì)有色盲，因?yàn)榕孕匀旧w中沒(méi)有Y。但是，女性有色盲存在，只是比男性色盲少而已。那么，為什么男性色盲比女性多呢？這是因?yàn)榕杂袃蓚€(gè)X，如果其中有一個(gè)異常、一個(gè)正常，仍然可以維持正常視力。這種女性，我們不妨稱(chēng)之為“次正常”。這樣，男性分為兩類(lèi)：正常和色盲；女性分為三類(lèi)：正常、次正常和色盲。

根據(jù)這些分析，我們可以利用數(shù)學(xué)方法，來(lái)估計(jì)下一代人中的色盲比例。我們首先如下的假設(shè)：1.在兩類(lèi)男子和三類(lèi)女子之間，夫婦配對(duì)是隨機(jī)的；2．異常染色體(記作“”)，在所有染色體X中所占比例為p，在男、女染色體中保持不變；3.父、母和子女中男女出生比例均為1：1。以下建立數(shù)學(xué)模型和計(jì)算：男性中正常和色盲兩類(lèi)，以F、S表示；女性中正常、次正常和色盲三類(lèi)，分別以Z、C、Κ表示。則F、S在男性中所占比例分別為q、p(q=l-p)；Z、C、Κ在女性中的比例，分別為。男、女配對(duì)有6種夫婦類(lèi)型，在夫婦總數(shù)中各占比例如下：

第一類(lèi)(F，Z)——父、母均正常，其概率為，子女中不會(huì)有色盲。如表7-4所示。表7-4正常丈夫與正常妻子

男女X

Y

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子第二類(lèi)(F，C)——父正常、母次正常，其概率為；其子女的四種情況中有一種是色盲（如表7-5），即這類(lèi)夫婦的子女中有1/4是色盲，在下一代人口中所占的比例是。

表7-5正常丈夫與次正常妻子

男女

X

Y（

，X）次色盲女兒（，Y）色盲兒子

X

（X，X）正常女兒

（X，Y）正常兒子第三類(lèi)(F，Κ)——父正常、母色盲，其概率為；其子女的四種情況中有兩種是色盲（如表6-6），故這類(lèi)夫婦的子女中有l(wèi)/2是色盲，在下代人口中所占比例是/2。表7-6正常丈夫與色盲妻子

男女

X

Y

（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子第四類(lèi)(S，Z)——父色盲、母正常，其概率為；其子女不會(huì)有色盲（如表7-7）表7-7色盲丈夫與正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（X，）次色盲女兒（，Y）正常兒子X(jué)XXX第五類(lèi)(S，C)——父色盲、母次正常，其概率為；這類(lèi)夫婦的子女中有一半是色盲（如表7-8），在下代人口中所占比例是表7-8

色盲丈夫與次正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子X(jué)X第六類(lèi)(S，K)——父母均色盲，其概率為；其子女全部為色盲（如表7-9）表7-9色盲丈夫與色盲妻子

男女

Y

（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子

將以上6類(lèi)(實(shí)際只有4類(lèi))夫婦的子女中色盲的比例相加得：在例2中我們提到了男、女出生的概率是22∶21。在17世紀(jì)時(shí)，蘇格蘭的一位雜貨商人格蘭特，作為消遣，研究了當(dāng)時(shí)英國(guó)城市的各種死亡記錄，他注意到，男孩與女孩的出生比例差不多，而男孩稍多（當(dāng)時(shí)他還不知道概率事實(shí)）。例3身高和智力遺傳問(wèn)題

英國(guó)的高爾頓與他的學(xué)生皮爾遜（KarlPearson）對(duì)人類(lèi)身高與智力的遺傳問(wèn)題所做的研究。皮爾遜選取了1078個(gè)父親，測(cè)量了他們的身高，然后測(cè)量他們已是成人的兒子的身高。皮爾遜發(fā)現(xiàn)，一般來(lái)說(shuō)，父親高，兒子也高。皮爾遜對(duì)他的數(shù)據(jù)作了仔細(xì)分析，其中兩組數(shù)據(jù)是

父親平均身高約68英寸，兒子平均身高約69英寸；父親平均身高約72英寸，兒子平均身高約71英寸。

這兩組數(shù)據(jù)說(shuō)明什么問(wèn)題呢？高爾頓發(fā)現(xiàn)，父親的身高與兒子的身高有一種正相關(guān)的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，高個(gè)的父親會(huì)有高個(gè)的兒子；但是，兒子與中等個(gè)的父親的偏差??；也就是說(shuō)，兒子的身高有向中等個(gè)退化的傾向。