關(guān)于高等數(shù)學(xué)上3.7平面曲線的曲率一、弧微分設(shè)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為

AB,弧長第2頁,共27頁，星期六，2024年，5月則弧長微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:第3頁,共27頁，星期六，2024年，5月二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．))弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1、曲率的定義)弧段彎曲程度與有關(guān).轉(zhuǎn)角、弧段長度第4頁,共27頁，星期六，2024年，5月)yxo（設(shè)曲線C是光滑的，（定義曲線C在點(diǎn)M處的曲率第5頁,共27頁，星期六，2024年，5月2、曲率的計(jì)算公式注意:(1)直線的曲率處處為零;(2)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.（課本P170）)yxo第6頁,共27頁，星期六，2024年，5月例1(P171-2)解顯然,第7頁,共27頁，星期六，2024年，5月三、曲率圓與曲率半徑定義第8頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.有共同的切線，亦即圓與曲線在點(diǎn)M處相切.曲率圓與曲線在點(diǎn)M處有以下關(guān)系：2.有相同的曲率.3.因此，圓和曲線在點(diǎn)M處一階導(dǎo)數(shù)相同、二階導(dǎo)數(shù)同號.第9頁,共27頁，星期六，2024年，5月例2

解如圖,受力分析視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動,O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑

第10頁,共27頁，星期六，2024年，5月得曲率為曲率半徑為即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.第11頁,共27頁，星期六，2024年，5月運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支——微分幾何學(xué).小結(jié)1.弧長微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑第12頁,共27頁，星期六，2024年，5月思考題

橢圓上哪些點(diǎn)處曲率最大？思考題解答要使最大，必有最小，此時(shí)最大，第13頁,共27頁，星期六，2024年，5月補(bǔ)充:參數(shù)方程曲率公式第14頁,共27頁，星期六，2024年，5月作業(yè):P177:2,5,8第15頁,共27頁，星期六，2024年，5月選講：曲率圓與曲率半徑設(shè)M

為曲線C

上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點(diǎn)M

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D

使第16頁,共27頁，星期六，2024年，5月設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式.第17頁,共27頁，星期六，2024年，5月由此可得曲率中心公式(注意與異號)當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿曲線移動時(shí),的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停第18頁,共27頁，星期六，2024年，5月例4.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過時(shí),才不會產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.第19頁,共27頁，星期六，2024年，5月(仍為擺線)例5.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得第20頁,共27頁，星期六，2024年，5月擺線半徑為a

的圓周沿直線無滑動地滾動時(shí),點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停其上定點(diǎn)M的軌跡即為擺線.參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停第21頁,共27頁，星期六，2024年，5月內(nèi)容小結(jié)曲率中心第22頁,共27頁，星期六，2024年，5月點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例2第23頁,共27頁，星期六，2024年，5月第24頁,共27頁，星期六，2024年，5月證如圖