第五章四邊形第26課正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊__________且有一個(gè)角__________的平行四邊形是正方形．一、考點(diǎn)知識(shí)，

2．正方形的性質(zhì)：正方形既是__________________的矩形，又是__________________的菱形，因此，它既有__________的性質(zhì)，又有________的性質(zhì)．相等是直角有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角矩形菱形3．正方形的判定：(1)有__________________的矩形是正方形．(2)有________________的菱形是正方形．(3)對(duì)角線______________________的四邊形是正方形．(4)對(duì)角線________________的矩形是正方形．(5)對(duì)角線__________________的菱形是正方形．一組鄰邊相等一個(gè)角是直角互相垂直平分且相等互相垂直相等【例1】如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，AF平分∠DAE，求證：BE＋DF＝AE.【考點(diǎn)1】正方形的性質(zhì)二、例題與變式證明：延長CB到G，使GB=DF，連接AG，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB.∴△ADF≌△ABG.∴∠AFD=∠G，∠GAB=∠DAF=∠EAF.又∵AB∥CD,∴∠AFD=∠EAF+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠GAE.∴∠G=∠GAE.∴AE=GE=GB+BE=DF+BE.【變式1】如圖，已知點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DG⊥AE，垂足為G，延長DG交AB于點(diǎn)F，求證：BF＝CE.證明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°.又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB.在Rt△DAF與Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，∴Rt△DAF≌Rt△ABE.∴AF=BE.又AB=BC，∴BF=CE.【考點(diǎn)2】正方形的判定【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A，C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l2于點(diǎn)M，DN⊥l2于點(diǎn)N，直線MB，DN分別交l1于G，P點(diǎn)，求證：四邊形PGMN是正方形．證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠GMN=∠P=∠N=90°，∴四邊形PGMN為矩形.∵AB=AD，∠M=∠N=90°,∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM.又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），∴AM=DN.同理AN=DP.∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四邊形PGMN是正方形．【變式2】已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：四邊形CFDE是正方形．證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°.又∵∠ACB=90°，∴四邊形DECF是矩形.∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．【考點(diǎn)3】正方形的綜合應(yīng)用【例3】如圖，BF平行于正方形ABCD的對(duì)角線AC,點(diǎn)E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，求∠BCF的度數(shù)．解：過點(diǎn)A作AO⊥FB的延長線于點(diǎn)O，連接BD，交AC于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC.∵BF∥AC，∴AO∥BQ,且∠QAB=∠QBA=45°.∴AO=BQ=AQ=AC，∵AE=AC，∴AO=AE.∴∠AEO=30°.∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°.∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°.∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°.∴∠BCF=180°－∠CBF－∠CFE=180°－45°－30°=105°.【變式3】已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG交OA于點(diǎn)F，求證：OE＝OF.證明：在正方形ABCD中，對(duì)角線是垂直平分的，所以AO=OD，AC垂直BD,∠AFG=∠OFD（對(duì)頂角），DG垂直AE，所以∠AFG+∠GAF=∠AEO+∠GAF,得∠OFD=∠AEO，△DOF≌△AOE.所以O(shè)E=OF.A組

1．順次連接正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形三、過關(guān)訓(xùn)練

3．如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFGH的周長為()

2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是()A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形D．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形ADBB組4．如圖，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D(5，3)在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)．解：∵點(diǎn)D（5，3）在邊AB上，