2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題十一概率與統(tǒng)計11.1隨機事件及概率五年高考考點1隨機事件的概率1.(2019課標(biāo)Ⅱ文,4,5分,易)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標(biāo).若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A.23C.2答案B2.(2018課標(biāo)Ⅲ文,5,5分,易)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B3.(2021全國甲理,10,5分,中)將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為()A.1答案C考點2古典概型1.(2022全國甲文,6,5分,易)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.1答案C2.(2020課標(biāo)Ⅰ文,4,5分,易)設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點,則取到的3點共線的概率為()A.1答案A3.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A.1答案D4.(2019課標(biāo)Ⅰ理,6,5分,中)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”,下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.5答案A5.(2022全國乙理,13,5分,易)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為.

答案36.(2022全國甲理,15,5分,中)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為.

答案6考點3事件的相互獨立性1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立答案B2.(2022全國乙理,10,5分,中)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大答案D3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,12,5分,難)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立,發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案ABD4.(2020天津,13,5分,中)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為12和13.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為答案16;5.(2019課標(biāo)Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

答案0.186.(2019課標(biāo)Ⅱ,18,12分,中)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.解析(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.名師點撥由于先多得兩分的一方獲勝,10∶10平后,又打X球該局比賽結(jié)束,故X=2和X=4分別表示打2球和4球后有一方比對方多得2分.考點4條件概率與全概率公式1.(2023全國甲理,6,5分,中)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案A2.(2023天津,13,5分,中)甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球,取到的三個球都是黑球的概率為;將三個盒子中的球混合后任取一個球,是白球的概率為.

答案120;3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,P(B|A)P(i)證明:R=P((ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|B)的估計值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計值.附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)由題中數(shù)據(jù)可知K2=200×(40×90?10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以有99(2)(i)證明:因為R=P(注意P(且P(所以R=P((ii)由題表中數(shù)據(jù)可知P(A|B)=40100=25,P(A|B)=10100=110,P(A|B)=60所以R=P(A|B三年模擬綜合基礎(chǔ)練1.(2024屆四川眉山青神中學(xué)期中,2)從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書,那么互斥而不對立的兩個事件是()A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有一本政治與恰有兩本政治答案D2.(2024屆重慶八中適應(yīng)性月考(一),3)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選6只小白鼠,隨機地將其中3只分配到試驗組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,另外3只分配到對照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g),則指定的兩只小白鼠分配到不同組的概率為()A.3答案D3.(2024屆四川達州育才外國語學(xué)校月考,9)從1,2,3,4,5中隨機選取三個不同的數(shù),若這三個數(shù)之積為偶數(shù),則它們之和大于8的概率為()A.1答案D4.(2023山東濰坊二模,5)已知事件A、B滿足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,則()A.P(A∩B)=0.3B.P(B|A)=0.3C.事件A,B相互獨立D.事件A,B互斥答案C5.(2024屆湖南名校聯(lián)合體第三次聯(lián)考,5)為慶祝我國第39個教師節(jié),某校舉辦教師聯(lián)誼會,甲、乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽,每輪比賽由甲、乙兩人各猜一個成語,已知甲每輪猜對的概率為45,乙每輪猜對的概率為34.在每輪比賽中,甲和乙猜對與否互不影響,則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為(A.3答案B6.(2024屆湖北四市聯(lián)考,5)長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約30%的人近視,而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機超過1小時,這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,則他近視的概率為()A.5答案B7.(2023河北衡水二模,5)某校有演講社團、籃球社團、乒乓球社團、羽毛球社團、獨唱社團共五個社團,甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)分別從五個社團中選擇一個報名,記事件A為“五名同學(xué)所選項目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)選籃球”,則P(A|B)=()A.3答案A8.(2024屆安徽蚌埠二中期中,7)已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.3,則P(A)=()A.3答案D9.(2024屆浙江寧波一模,15)第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準(zhǔn)備參加100米、200米兩項比賽,根據(jù)以往賽事分析,該運動員100米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為12,200米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為310,兩項比賽都未能站上領(lǐng)獎臺的概率為110,若該運動員在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺,答案3綜合拔高練1.(2023陜西寶雞三模,8)已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球,從中任意摸出一球,摸出的球是紅球或白球的概率為0.4,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球是黃球或白球的概率為()A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6答案A2.(多選)(2024屆江蘇常州前黃中學(xué)期中,9)已知事件A,B滿足P(A)=0.5,P(B)=0.2,則()A.若B?A,則P(AB)=0.5B.若A與B互斥,則P(A∪B)=0.7C.若A與B相互獨立,則P(AB)=0.9D.若P(B|A)=0.2,則A與B相互獨立答案BD3.(多選)(2023廣東廣州二模)有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為8%,第2臺加工的次品率為3%,第3臺加工的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個零件,則下列結(jié)論正確的是()A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的,那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品,那么它不是第3臺車床加工出來的概率為1答案BC4.(2023湖北十堰四調(diào),16)甲、乙兩位同學(xué)玩游戲:給定實數(shù)a1=3,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù),由甲擲一枚骰子,若朝上的點數(shù)為1,2,3,則a2=2a1-4,若朝上的點數(shù)為4,則a2=a1,若朝上的點數(shù)為5,6,則a2=a1+2.對實數(shù)a2重復(fù)上述操作,得到新的實數(shù)a3,若a3>a1,則甲獲勝,否則乙獲勝,那么甲獲勝的概率為.

答案55.(2023江蘇南京二模,15)一個袋子中有n(n∈N*)個紅球和5個白球,每次從袋子中隨機摸出2個球.若摸出的兩個球顏色不相同發(fā)生的概率記為p(n),則p(n)的最大值為.

答案56.(2023山東菏澤一模,18)為了促進學(xué)生德、智、體、美、勞全面發(fā)展,某校成立了生物科技小組,在同一塊試驗田內(nèi)交替種植A、B、C三種農(nóng)作物(該試驗田每次只能種植一種農(nóng)作物),為了保持土壤肥度,每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植,共種植三次.在每次種植A后會有13的可能性種植B,23的可能性種植C;在每次種植B的前提下再種植A的概率為14,種植C的概率為34;在每次種植C的前提下再種植A的概率為25,(1)在第一次種植B的前提下,求第三次種植A的概率;(2)在第一次種植A的前提下,求種植A作物次數(shù)X的分布列及期望.解析設(shè)Ai,Bi,Ci表示第i次種植農(nóng)作物A,B,C的事件,其中i=1,2,3.(1)在第一次種