2011高考數(shù)學復習必修3

第一章基本初等函數(shù)II

一、基礎知識（理解去記）

定義1角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若

旋朝方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。

定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做

一弧度。360度=2n弧度。若圓心角的弧長為L則其弧度數(shù)的絕對值|a|='，其中r是圓的半徑。

定義3三角函數(shù)，在直角坐標平面內(nèi)，把角a的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊

上任意取一個不同于原點的點P,設它的坐標為（x,y）,到原點的距離為r,則正弦函數(shù)s加a=』,余弦函數(shù)

r

YA?YVF,

cosa二一，正切函數(shù)柩〃。=J,余切函數(shù)cofa二一，正割函數(shù)seca,余割函數(shù)escQ.

rxyxy

定理］同角三，本關系式：

倒數(shù)關系:tana=-----,si〃a=------，cosa=------；

cotacscaseca

sinacosa

商數(shù)關系:tana=------,cotcr=-------；

cosasina

乘積關系:tanaXCOS?=sina,cotaXsina=cosa；

平方關系:sin2Q+CY7S2a=1,tan2a+l=sec2a,cot2a+I=csc2a

定理2（I）szn（a+n）=-sma,cos（兀+a尸-cosa,tan（n+a）=tana,cot（Tt+a）=cota;（II）SZH（-

Q）=-sina,cos（-a）=cosa,tan{-a）=-tana,cot（-a）=cota;（III）s譏（兀-a）=sina,cos（兀-a尸-cosQ,tan=（it-

Q）=-勿〃a,CW（兀-a）=-caa；（IV）s譏（楙-a］=cosQ,cos（5—a］=si〃Q,相一a）;cofQ（t己法：奇

變偶不變，符號看象限）。

定理：（根據(jù)圖像去記）正弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得尸si/u（X￡R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)

間2%〃一生TT,2%乃+—TT上為增函數(shù)，在區(qū)間2女萬+上7T,2左乃+—3萬上為減函數(shù)，最小正周期為2%.奇偶

_22jL22_

TTTT

數(shù).有界性：當且僅當x=2fcr+—時，y取最大值1,當且僅當x=3Z%-—時,y取最小值-1。對稱性：直線

22

TT

產(chǎn)上）+—均為其對稱軸，點《4，0）均為其對稱中心，值域為［-1,1］。這里氏￡Z.

2

定理4（根據(jù)圖像去記）余弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得產(chǎn)c（xGR）的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間［2E,2也+兀］

上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2E』,2E］上單調(diào)遞增。最小正周期為2兀。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線FE均

為其對稱軸，點U萬+均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2E時，y取最大值1；當且僅當x=2E-兀

時，y取最小值-1。值域為［-1,1］。這里AWZ.

ITTTTT

定理5（根據(jù)圖像去記）正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)產(chǎn)5x（xHE+,）在開區(qū)間（E-,,E+彳）

TT

上為增函數(shù)，最小正周期為兀，值域為（-8,+8）,點（E,0）,（E+—，0）均為其對稱中心。

______2

定理6兩角和與差的基本關系式：cos（。±B）=cosacosB+sinQsinB,sin（a±B）=sinacosB土cosQsin

B/（a±B）=吁a±ta”）

（1+tanatan/7）

定理7和差化積與積化和差公式：

a+1a+P

sina+sinP=2sin,sina-sinB=2sin

22

°(a+(a-。a+J3\(a-(3\

cosa+cosp=2cos------cos\------,cosa-cosp=-2sin\------sin]------,

I2JI2JI2JI2J

sinacos0=—[szn(a+B)+si〃(a-B)],cosasin6=—[szn(a+B)-si〃(Q-B)],

22

cosacosB=—[cos(a+P)+cos(a-P)],s/z?asinP="—[cos(a+B卜cos(a-P)].

__________22

口訣記憶：

積化和差：L前系數(shù)：“有余為正，無余為負”“前和后差”''同名皆余，異名皆正”“余后為和，正后

2

為差”和差化積：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差負正弦

定理8a=2s/nacosa,cosla=cr?s2a-sz/?2a=2cos2a-l=l-2s/>i2a,

2tana

tan!a=--------------

(1-tan'a)

定理半角公式:si〃

(a)l(l-cosa)sina_(1-coscr)

tan

12Jy(l+coscr)(1+cosa)sina

2七)5國

定理10萬能公式：sinofcosa=---------2~\

ltan2W

+"I力

2tan（C

tana---------

1-tan~2l

uJ____

定理11****【必考】如果a,b是實數(shù)且層+/力0,則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點3,

力）的一個角為B,則si〃B=/":,cosB=/",對任意的角a.

yla2+b2yla2+b2

asina+bcosa=+Z?2）siw（a+B）.

定理12正弦定理：在任意△ABC中有上-=一2—=」一=2R,其中a,b,c分別是角A,B,C的

sinAsin8sinC

對邊，R為△ABC外接圓半徑。

定理13余弦定理：在任意aABC中有“2=/+°2_2^^,其中分別是角A,B,C的對邊。

定理14圖象之間的關系：尸sinx的圖象經(jīng)上下平移得產(chǎn)sinr+&的圖象；經(jīng)左右平移得產(chǎn)si〃（x+0）的圖象

（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?，得到?$打3（0>0）的圖象（周期變換）；橫坐標

CD

不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到產(chǎn)As,冠的圖象（振幅變換）；產(chǎn)As%（ox+0）（①>0）的圖象（周期變

換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到產(chǎn)4s山x的圖象（振幅變換）；y=Asi〃（①x+0）（①，°>0）（HI

叫作振幅）的圖象向右平移？個單位得到產(chǎn)Asi〃/x的圖象。

CD

定義4函數(shù)產(chǎn)si心[xc的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作)=〃rcs譏r(x￡[-l,1]),函數(shù)產(chǎn)cosx(x￡[0,

K])的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作產(chǎn)arccgr(xW[-l,1]).函數(shù)y=s〃x(xe―金^])的反函數(shù)叫反正切函

數(shù)。記作y=arctanx(x^[-°°,+°°]).尸cosx(x￡[0,兀])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x^[-°°,+°°]).

定理15三角方程的解集，如果?！?-1』)，方程simz的解集是｛小=mi+(-l)"arcs山a,〃eZ｝。方程cosx=a

的解集是｛小=2fc￥±〃rccos〃，代Z｝.如果i￡R,方程3LV=。的解集是｛小=也+而7即〃,k￡Z｝。恒等式：

7T7C

arcsina+arccosa=—；arctana+arccota=—.

二、基礎例題(必會)

1.結合圖象解題。

例1求方程si7u=/g|x|的解的個數(shù)。

【解】在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=si〃x與y=/g|x|的圖象(見圖)，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有

6個解。

2.三角函數(shù)性質(zhì)的應用。

例2設x@(0,7t),試比較cos(sinx)與s加(cosx)的大小。

【解】若—.71,則cosxW1且COSQ-1,所以COSXE—2,0,

L2)I2」

所以s加(cosx)W0,又0<sinxWl,所以cos(sior)>0,

所以COS(S〃7X)>S加(cosx).

(正叵、兀兀兀

若X￡(o,——,則因為sinx+cosx=V2---sinxH----cosx=V2(sinxcos—+sin—cosx)=V2szn(x+—)

22444

2

LLt<In

所以0<sinx<--cosx<一,

22

uu1n

所以cos(si〃x)>cos(--cosx)=sin(cosx).

2

綜上，當x￡(0,兀)時，總有cos(si/u)<si〃(cosx).

7Tcosa

例3已知Q,B為銳角，且廠(a+B--)>0,求證:<2.

2sin(3

TTTTTT

【證明】若a+B>—,貝lJx>0,由a>--B>0得cosa<cos(--B)=si〃B,

222

所以0<c°s0<],又s%a>s%(三-8)=cosB,所以0<<1,

sin(32sina

若a+B<一,貝ijx<0,由0<a<一-P<一得cosa>cos(--B)=s山B>0,

2222

所以cos。>]。又0<si，7avs山(工-B)=cosB,所以>],

sin/?2sina

00

所以〔訴J+〔彳哥＜［漏J+UfJ=2,得證。

注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

3.最小正周期的確定。

例4求函數(shù)產(chǎn)s%(2cos|x|)的最小正周期。

TF

【解】首先，7=2兀是函數(shù)的周期(事實上，因為cos(㈤=cosx,所以cobl二cosi)；其次，當且僅當x=E+—

2

時、y=0(因為|2(:。*|＜2＜兀),

所以若最小正周期為7b，則7b=mn,m￡N+,又si〃(2cos0)二s加2Wsi〃(2cos7c),所以7b=2兀。

4.三角最值問題。

例5已知函數(shù)產(chǎn)s%x+J1+COS?+,求函數(shù)的最大值與最小值。

［解法一］令sinx=V2cos夕,Vl+cos2x-＜0W

則有y=V5cose+V5sin。=2sin(6+?).

7T371

因為一2萬，所以一4。+—4萬，

4424

TT

所以0?sin(6?+w)Wl,

3JI

所以當即x=2kn-萬(％￡⑥時、ym加=0,

JIJI

當。=%"，即x=2ht+'(keZ)時，ynu?=2.

例6設0＜。＜兀，求si":(1+COS。)的最大值。

【解】因為0＜。＜兀，所以0＜曰＜工，所以si”2＞0,cos2＞0.

2222

當且僅當2s，7?2=cos2g,即fa〃且8=2arcfa〃時，si"2(l+cos。)取得最大值生叵。

2222229

例7若A,B,C為△ABC三個內(nèi)角，試求si〃A+si〃3+si〃C的最大值。

_._A+BA—B.A+B

【解】因為sinA+sinB=2sin-----cos-----<2sin-----,①

222

C+-C--C+-

JI22a

sinC+sin--2sin----cos-----<2sin-----,②

3222

jrTC7T

C+—A+B+C+-A+B—C——

又因為sin---+sin----=2sin------------cos------------<2sin工，③

22443

JI

由①，②，③得smA+sinB+sinC+sin-W4s加一,

33

Q/Q

所以sinA+sinB+sinC^：3sin—=——,

32

JI_3V|

當A=B=C=—時，(sinA+sinB+sinC)mar=~~~~

32

注：三角函數(shù)的有界性、原加|<1、|cosx|Wl、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)

的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。

5.換元法的使用。

...,,sinxcosx,._

例8求）=--------------的值域。

1+sinx+cosx

(也s1nA立cos]

【解】設t=sinx+cosx=A/2V2sin(x+^).

I22

7

TT

因為一1Wsin(x+—)<1,

4

所以一直<f?Ji

又因為?=1+2sinxcosx,

x2-\

產(chǎn)一]ot—1

所以sMrcosx=----,所以y=，一=——,

2l+t2

-

rcrIV2—1V2—1

所以--------<y<------.

22

I

因為/。?1,所以；w—1,所以

所以函數(shù)值域為yw-嚀工,一1U一1，書二

Jl+ci12—171

例9已知如=1,斯二-----------(72GN+)f求證:斯>尹

【證明】由題設斯>（）,令斯=37?！?“"qog），則

1+tarT%]-1_seca〃]-1_l-cosatJ}a.

an=tan—=tanan.

tan-tan%sin%2〃

71所以〃〃=ga〃_i，所以斯=（；）劭

因為不,2”

7T

又因為〃0=，的〃尸1，所以t7o=—，所以a.7

又因為當0<r<一時，tanx>x,所以Q〃=tan——>——.

2n2〃+22〃+2

注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。

另外當時，有S"X>X>si〃X,這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數(shù)后，證明是很容易的。

6.圖象變換【?？肌浚菏瑂i〃x(x￡R)與尸As山(Ox+e)(A,①，(p>0).

由產(chǎn)si位的圖象向左平移。個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不

變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?，得到產(chǎn)Asi〃(0x+°)的圖象；也可以由y=s,7tv的圖象先保持橫坐標不變，縱坐

CD

標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?，最后向左平?個單位，得到

0)co

y=Asin(0%+°)的圖象。

例10例10已知於尸S%(GX+0)(①>0,0<OWTC)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點A/1,,。］對稱，

7T

且在區(qū)間0,-上是單調(diào)函數(shù)，求。和。的值。

【解】由y(x)是偶函數(shù)，所以,所以Si"(o+夕)=$”7(-。犬+0),所以cos0sinx=o,對任意xCR

成立。

7F

又解得W=5，

因為段)圖象關于M(與,()］對稱，所以/(1萬一尤)+/(：萬+%)=0。

取x=o,得/(彳乃)=o,所以版彳①+耳=o.

r-Ltvt3兀_7C宜,，2

所以一。=左乃+一(%￡Z),即①二一(2攵+1)伏￡Z).

423

nn

又。>0,取ko時，此時yu)=s譏(2%+萬)在［0,萬］上是減函數(shù)；

ji冗

取代1時，0)=2,止匕時/(x)=si〃(2x+5)在［0,彳］上是減函數(shù)；

107171

取上2時，,此時危)=5加(oX+萬)在［0,萬］上不是單調(diào)函數(shù)，

2

綜上，。二一或2。

3

7.三角公式的應用。

例11已知si〃(a-0)=R,s加(a+B)=-—,且a-0e15，?J,a+pe15-,2乃J,求si〃2a,cos2。的值。

【解】因為蛇0金(］,)),所以cos(a?p尸-J1—sin2(a—(3)——.

又因為a+g1修,2"J,所以cos(a+B)=—sin?(a+.)=—.

120

所以s%2a=si〃［(a+B)+(a-B)］=s%(a+B)cos(a-B)+cos(a+B)si〃(a-B)=-----,

169

c0s2p=cos［(a+p)?(a?P)］=cos(a+B)cos(a-P)+s加(a+p)s加(a-(J)=-l.

例12已知△A8C的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，且一1—+」一=—二反，試求cosd二G的值。

cosAcosCcos62

【解】因為4=120°-C,所以cos=3(60°-。，

“T1111cos(120°-C)4-cosC

又由于-----+------=-------7------d--------

cosAcosCcosQ20-C)cosCcosCcos(1200一C)

2cos600cos(60°-C)_2cos(600-C)

1[cosl20°+cosa200-2C)]cosQ20。-2C)-1

22

所以4后cos2+2cos-3V2=0。

22

.田A-CV2?A-C3V2

角不得cos-------=——或cos--------=--------。

2228

寸A-C八.A-CV2

Xcos------->0,所rr以rcos-------=——o

222

例13求證：tan20°+4cos70.

■/八oosin20o

【解】tan20+4cos70=----------+4sin20

cos20

sin200+4sin20cos20_sin20+2sin40

cos20°cos20°

sin20°+sin400+sin40°2sin30°coslO。+sin40"

3=3

cos20cos20

sin80+sin402sin60cos20

3=c

cos20cos20

三、趨近高考（必懂）

1.(四川省成都市2010屆高三第三次診斷理科)計算cW15°—/劭15。的結果是()

(A也向亞

(A)23)2(Q3G(D)2G

【答案】D

【解析】解法一，8”戶一1初15°

=30°)—30?)解法二*8”]一

_1-Htan60,tan45°tan60'-tan45’=coslf'sinl5,

tan60"-tan45*1+tan60'tan45Vsinlf'coslS'

_1+抬6-1

sinI5cosl5'

=(2+y/3)—(2-^3)

=]不

2.(成都2010屆高三第三次診斷文科)計算8$45。8$15。一5%45%0575。的結果是()

(A停(喈(C)|(01

【答案】C

【解析】cos45°cos\5°—sin45ocosl50=cos450cos150—sin450sin15°=cos(450+15°)

=cos60°

2

3.(成都2010屆高三第三次診斷文科)先把函數(shù)外)=$加一6cosx的圖象按向量@=號，0)平移得到曲

線尸檢)，再把曲線產(chǎn)g(x)上所有點的縱坐標縮短到原來的;倍，橫坐標保持不變，得到曲線尸貼)，

則曲線y=〃(x)的函數(shù)表達式為()

2兀2兀

(A)/I(X)=5ZJ?(X——)(B)h(x)=sinx(C)h(x)=4sin(x——)(D)h(x)=4sinx

【答案】A

【解析】《x)=2si〃(x—，)，

按向量0=百，0)平移后，得到曲線產(chǎn)g(x)=2w?(x-y)

再把縱坐標縮短到原來的1倍，橫坐標保持不變，得到曲線y=/z(x)=si〃(x-金)

2J

4.(成都2010屆高三第三次診斷理科)已知sin(a'p)cosa—cos(a'p)sina=,則cos2fi的值為

【答案4

旦

【解析】因為sin(a+P)cosa-cos{a+P)sina=sin[(a+p)-a]=sin[i=V

21

于是cos20=1-Isirrlp^l--=-

6.(綿陽2010年4月高三三診理科試題)(本小題滿分12分)已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別

為a,b,c,若4、B、C成等差數(shù)列，b=],記角A=x,a+c=f(x).

(I)當xd[工，-J0t,求f(x)的取值范圍；

63

TT

(II)若/(X-----)=—，求sin2x的值.

65

解：⑴由已知A、B、C成等差數(shù)列，得28=A+C,

在△ABC中，A+B+C=n,于是解得8=工，A+C=—.

33

在△ABC中，—^-=—^―=—^,b=\,

sinAsinBsinC

?1?41.「2石....2TT

a+c=--------sinA+--------sinC=------[sin4+sin(-------A)]

=2^-[sinA+sin—cosA-cos—sinA]=V3sinA+cosA=2sin(A+-)，

3336

即fW=2sin(x+—)............................................................................................6分

6

由工WxW工得工Wx+^W王,于是指W/(x)W2,

63362

即/(X)的取值范圍為[Vi,2]......................................8分

(II)V)=2sin(x--+—)=~,KPsinx=-.

66655

，8sx=±71-sin2x=..........................................9分

若8S4—M此時由一±<一也知Q紅，這與4+。=女矛盾.

55243

4

:.%為銳角，故COSX=一?.........................................11分

5

sin2x=2sinxcosx=—..........................................12分

25

7.(雅安2010屆高三第三次診斷性考試理科)

(本題滿分12分)

三角形的三內(nèi)角A比C所對邊的長分別為。力,c，設向量由n=

(a+Z?,c),若mHn。

（1）求角B的大??；

（2）求sin/1+sinC的取值范圍。

17、（本題描分12分）

(I)丫initn.tic-o)?'[a?b)(,ha)

一b

uc=（4分）

oc

cos8=—,B（6分）

3

2)?;4+8+。=開??47分）

sin.4+sinC=sin/+SiiM-.4>

2方?不

=sinJ*sin-cosA-cos-sin*/（9分）

33

3^3it

?yiinJ?cosA-43vn(A（10分）

三</?《“分

66

所以<Kin(A?sinA>sinC*《12分）

26

8.（自貢2010屆高三三診理科試題）（本小題滿分12分）

如圖4,已知AABC中，|AC|=1,ZABC=120°,ZBAC=6>,記f(6)=池?反。

B

（I）求/（。）關于。的表達式;

120

（II）求/（。）的值域。

（圖4,第17題圖）

解：（i）,由正弦定理有：L"：1

sinPsill26

IAB|

(2分)

sin(60°—8)

|J5C|：sin氏(4分)

sin120°

-7T?！薚V5%

(ITTI)0z<0<—=>一<2。+一<?—,

3666

二/(6>)w(0,J...........(12分)

9.(南充2010屆高三4月月考理科試題)(本小題滿分12分)在ZAABC中，角A、B、C的對邊分別為

a、b、c,4sin'-cos2c=N,a+b=5,c=?

22

(1)求角C的大?。?/p>

(2)求/ABC的面積.

解：⑴由4sin?上空"os2c=2,得4cos2C-cos2cz

2222

二4COS2C~4COSC+1=0

解得cosC=-/.C=60°

2

(2)由余弦定理得duaZ+AZ—2〃/?cosC即l=a2+h2—ah①

又。+匕=5a2+ft2+lab=25②

由①②得ab=6

.&_1,.3V3

??OAABC——absuiC=---

22

10.(資陽2009—2010學年度高三第三次高考模擬理)(本小題滿分12分)

在直角坐標系xQy中，若角。的始邊為無軸的非負半軸，終邊為射線/:y=2x(x<0).

(I)求tan2a的值；

a.

2cos2—2sin(a—zr)—1

(II)求-----Z--------------的值.

&cos(a———)

4

解：(I)在終邊/上取一點P(-l,-2),貝hana===2,.................................................2分

—1

c2x24)八

1-223

2cos2--2sin(a--1,.

/“、7coscr+zosincrcosa+2osmer

(II)-------------------z--------=-----------------=------------:..........................................8分

及cos(a-馬0cos(a+馬cosa-sma

44

1+2tana1+2x2「八

=-------=------=-5.12分

1-tana1-2

11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）（12分）在AABC中,

.,a~+c2—h~——etc

角A,6D,C所對的邊分別是a,。,c,2.

,9A+C個

sin------+cos2B

⑴求2的值；

（II）若b=2,求AABC面積的最大值.

口1

cosB=—

解：（I）由余弦定理：4

222-B?1+cos5_2)i1

sin"+。+cos23=sin(---)+2cosB-1cos2—+2cos2B-l=-------+2cos2Br-\

2、2T224

cos5=—,WsinB-也Xa2+(?一82=J_〃c

(II)由44?：b=2.2

118

ci~2+c2=—cic+b~2=—etc+422acetcW—

22，從而3

SAABC=JacsinBW-^

故23（當且僅當"=c時取等號）

12.（成都石室中學2010屆高三三診模擬理科）

（12分）

已知AA3c中，sinA（sinB+VSeosB）=V3sinC.

（I）求角A的大??；

（II）若BC=3,求AA8C周長的取值范圍。

解：（DA+B+C=7T

得sinC=sin（A+3）代入已知條件得

sinAsinB=V3cossinB

vsinB^O,由此得tanA=百,4=工6分

3

227r

(II)由上可知：B+C^-,:.C^--B

33

由正弦定理得：

AB+AC=2R(sin8+sinC)=26(sinB+sin(^-B))

即得：AB+AC=2百—sinB+—cosB)=6sin(B+-)

226

0<B<—W-<sin(B+-)<l

326

:.3<AB+AC<6,

A4BC周長的取值范圍為(6,9]

................12分

第二章平面向量

一、基礎知識(理解去記)

定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量

的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示

向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為

單位向量【最近幾年?？肌俊?/p>

定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量(或共線向量)，規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結

合桎。

定理1向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合

律。

定理2非零向量a,b共線的充要條件是存在實數(shù)4W0,使得a=；lAf

定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c,存在唯一一對實

數(shù)x,y,使得c=xa+yb,其中a,b稱為一組基底。

定義3向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底，任取一個

向量c,由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x,y,使得c=xi+yi,則(x,y)叫做c坐標。

定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a,b的夾角為8,則a,b的數(shù)量積記作a?b二|a|?|b|cos9=|a|?|b|cos〈a,

絲_烏稱內(nèi)積，其中|b|cos6叫做b在a上的投影(注：投影可能為負值)。

定理4平面向量的坐標運算：若a=(xi,yi),b=(X2,y2)，

1?a+b=(xi+x2,yi+y2),a-b=(xi-X2,y「y2)，

2.^a=(Xxi,Xyi),a?(b+c)=a?b+a?c,

x,x9+y,y7

3.a,b=xix2+yiy2,cos(a,b)=/一bW0),

4.a//bOxiy2=X2yi,a±b<=>x1x2+yiy2=0.

定義5若點P是直線P】P2上異于pi,P2的一點，則存在唯一實數(shù)入，使討7=2瓦，入叫P分用石所

。仁。由此可得若p”p,P2的坐標分別為(xi,yi),(x,

成的比，若O為平面內(nèi)任意一點，則。尸=

1+A

x,+Ar,

x=----------

y),3,y2)，則<1+22=xf=y-M

_凹+向2，%一8%一丁

—；：-■

y-i+x

定義6設F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=J〃2+%2個單

位得到圖形尸'，這一過程叫做平移。設p(x,y)是F上任意一點，平移到廣上對應的點為p'(x',y'),則

\x'=x-\-h稱為平移公式。

y'=y+Z

定理5對于任意向量a=(xi,yi),b=(x2,ya),|a,b|<|a|?|b|,并且|a+b|W|a|+|b|.

【證明】因為|aF,|b|2-|a?b|2=(x；+-(xiX2+yiy2)2=(xiy2-X2yi)2>0>又|a,b|>0,|a|?|b|>0,

所以|a|?|b|>|a?b|.

由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|W|a|+|b|.

注：本定理的兩個結論均可推廣。1)對n維向量，a=(xi,X2,…,Xn),b=(yi,y2,—,yn)>同樣有|a?b|W|a|?|b|,

+2

化簡即為柯西不等式：(x；H---------------------------------(xiyi+x2y2+xnyn)>0,又|a?b|NO,

|a|?|b|>0,

所以|a|?|b|>|a?b|.

由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|W|a|+|b|.

注:本定理的兩個結論均可推廣。1)對n維向量，a=(xi,X2,…,xj,b=(yi,丫2,…，yn)，同樣有|a,b|<|a|?|b|,

化簡即為柯西不等式：(X：+…+X；)(y；+y；+...+y；)N(X|yi+x2y2+…+Xnyn)2。

2)對于任意n個向量,a1,a2