2023-2024學(xué)年第二學(xué)期甘肅省秦安縣安伏中學(xué)聯(lián)片教研九年級(jí)數(shù)學(xué)第三次模擬考試試卷一、選擇題(共30分)1.下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A.-3和 B.2和-2 C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，任何非0的數(shù)的倒數(shù)是，據(jù)此即可判斷．【詳解】A.，則和不互為倒數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，則和不互為倒數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，則和互為倒數(shù)，故C選項(xiàng)正確；D.，則和不互為倒數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)的定義，根據(jù)乘積是否為1來判斷是解題的關(guān)鍵．2.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為與，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程，求出m的值即可．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為與,∴，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根的概念，熟知一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平行四邊形中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補(bǔ)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵∴，∴，故選：D．4.已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查求代數(shù)式的值．關(guān)鍵是把等式中含字母的項(xiàng)看成一個(gè)整體，得到這個(gè)整體的值．難點(diǎn)是把所給等式整理成和等式中含字母的項(xiàng)有關(guān)的式子．由，可得，把所給代數(shù)式整理成，把前兩項(xiàng)提取，得到含的式子，把整體代入后繼續(xù)整理，化簡，再整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵原式．故選：．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則弦的最小值是（）A. B. C. D.以上都不對【答案】C【解析】【分析】易知直線過定點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理可求出，由經(jīng)過點(diǎn)，可求出半徑，由于過圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．【詳解】解：對于直線，當(dāng)時(shí)，，故直線恒經(jīng)過點(diǎn)，記為點(diǎn)．由于過圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，即當(dāng)時(shí)，最短，連接，如圖所示，∵，∴，∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴弦的最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點(diǎn)以及運(yùn)用“過圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是解決該題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由已知可得的中位線，則，再由直角三角形的性質(zhì)求得，由及三角形外角的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，在中，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7.如圖，為的切線，B為切點(diǎn)，交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，先利用圓周角定理求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到．【詳解】解：∵，∴，又∵為的切線，∴，∴，故選B．8.如圖，在中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊中點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③若，為等邊三角形：④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（）A.①② B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①；再證明，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可判斷②；如果為等邊三角形求得，推出是等邊三角形，得到是等邊三角形，而不一定使等邊三角形，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由P為邊的中點(diǎn)，得出即可判斷④正確．【詳解】解：①∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊中點(diǎn)，，∴，∴，故結(jié)論①正確；②在與中，∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；③∵，，∴為等邊三角形，∴，如果為等邊三角形，則，∴，∴是等邊三角形，∴，則是等邊三角形，而不一定是等邊三角形，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，∵于點(diǎn)N，∴，∴，∵P為邊的中點(diǎn)，∴為等腰直角三角形∴，故結(jié)論④正確．綜上，①②④正確．故選：B．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．10.如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為M，若的面積等于4，則k的值等于（）A.8 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的求解，設(shè)點(diǎn)，表示出即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，∵的面積等于4，∴∴故故選：B二、填空題(共24分)11.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．12.方程在的解是________．【答案】x=-1【解析】【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程，注意分式方程的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)．【詳解】解：方程左右兩邊同時(shí)乘以（1-x），得：x2-1=0，解得：x=±1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，1-x=0，∴x=1是原分式方程的增根，當(dāng)x=-1時(shí)，1-x≠0，∴x=-1是原分式方程的解，故答案為：x=-1．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．13.如圖，在矩形中，對角線相交于點(diǎn)．若，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，先由矩形的性質(zhì)得到，，證明是等邊三角形，得到，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．14.如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點(diǎn)E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD=____．【答案】4【解析】【詳解】解：連結(jié)OD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∵CD⊥AB，∴DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，∵cos∠EOD=cos60°=，∴=，解得R=4，∴OE=4﹣2=2，∴DE=OE=2，∴CD=2DE=4故答案為4．考點(diǎn)：垂徑定理、解直角三角形15.如圖，在中，，按以下步驟作圖，①以點(diǎn)C為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接；②以點(diǎn)B為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，以的長為半徑作弧，在內(nèi)與前一條弧相交于點(diǎn)G；④連接并延長交AC于點(diǎn)H，若H恰好為的中點(diǎn)，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】連接，如圖所示，先證明得到，進(jìn)一步證明得到，再由H是的中點(diǎn)，得到，由此即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，由題意得，∴，∴，又∵，∴，∴，∵H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明得到，進(jìn)一步證明是解題的關(guān)鍵．16.已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則tanB為_____．【答案】【解析】【詳解】解：過A作AC⊥y軸，過B作BD⊥y軸，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的圖象上，∴S△AOC=1，S△OBD=4，∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，則在Rt△AOB中，tan∠ABO=．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)及銳角三角函數(shù)綜合題，正確添加輔助線，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．17.如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則這個(gè)六棱柱的一個(gè)側(cè)面面積是______．（單位：m）【答案】6【解析】【分析】本題考查了正六棱柱的三視圖，注意題目中的隱含條件及左視圖的特點(diǎn)，得出正六邊形的邊長是解題關(guān)鍵．由正六棱柱的主視圖和左視圖，可得到正六棱柱的邊長為2m，高為3m，進(jìn)而求出側(cè)面積．【詳解】解：如圖，由正六棱柱的主視圖和左視圖，可得到正六邊形的最長的對角線長是4，設(shè)O正多邊形中心，則，，，則為等邊三角形，則邊長，由左視圖可知，正六棱柱的高為3，一個(gè)側(cè)面的面積為，故答案為：6．18.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，連接，則的面積為______．【答案】3【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)中k的幾何意義．連接，由于同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，則，然后根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義有|，進(jìn)而即可求解．【詳解】連接，∵軸∴故答案為：3三、計(jì)算題(共8分)19.（1）．（2）【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）首先計(jì)算絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，然后計(jì)算加減；（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【詳解】（1）；（2）解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．四、作圖題(共6分)20.如圖，在由邊長為1的小正方形構(gòu)成的的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．請按要求完成作圖：①僅用無刻度直尺；②保留作圖痕跡并標(biāo)注相關(guān)字母．（1）如圖1，在線段上找一點(diǎn)D，使得．（2）如圖2，畫出的角平分線．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）取格點(diǎn)F和格點(diǎn)E，使得，連接交于點(diǎn)D即可；（2）取格點(diǎn)G，構(gòu)造等腰三角形，找到的中點(diǎn)H，連接并延長交于點(diǎn)E即可．【小問1詳解】（1）如圖所示，點(diǎn)D即為所求；如圖可知，，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D即可為所求；【小問2詳解】如圖所示，線段即為所求．取格點(diǎn)，連接、，相交于點(diǎn)H，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)可知，四邊形是矩形，∴，∵，∴是等腰三角形，∴平分，延長交于點(diǎn)E，則即為所求五、解答題(共52分)21.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求的取值范圍（2）若滿足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解一元二次方程；（1）由一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系得出不等式求解即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題中條件得出方程求解即可．【小問1詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：；【小問2詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，，，∵，∴，即，十字相乘因式分解得：，，∵，∴．22.如圖，在中，，邊的垂直平分線交和于點(diǎn)D，E，并且平分．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，由角平分線的概念得到，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理得到，進(jìn)而求解即可．【小問1詳解】∵的垂直平分∴∴．又∵平分，∴，而，又∵，∴．【小問2詳解】∵，，∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．23.如圖1，△ABC內(nèi)接于，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，且與點(diǎn)C位于AB的異側(cè)，CD交AB于點(diǎn)E.（1）求證：△ADE∽△CDA（2）如圖2，若的直徑AB，CE=2，求AD和CD的長.【答案】（1）詳見解析；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”證角相等，進(jìn)而可證三角形相似；（2）連接BD，先證三角形ADB為等腰直角三角形，求出AD的長，再根據(jù)（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.【詳解】（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴∴∠ACD=∠BAD∵∠ADE=∠CDA∴△ADE∽△CDA（2）連結(jié)BD，∵點(diǎn)D時(shí)的中點(diǎn)，∴AD=BD∵AB是的直徑，∴∠ADB=90°∴△ADB為等腰直角三角形，∴，由（1）得△ADE∽△CDA∴，即，∴，∴，解得CD=8或-6（負(fù)值舍去）∴CD=8.【點(diǎn)睛】本題是圓與相似三角形的綜合題，掌握圓周角定理及其推論，相似三角形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵.24.如圖，已知四邊形的外接圓的半徑為，弦與的交點(diǎn)為，與相交于點(diǎn)，.（1）求證：（2）若，求的面積.【答案】（1）見解析；（2）的面積為.【解析】【分析】（1）利用同弧所對的圓周角相等得到∠ABD=∠ACB，證出△ABE∽△ACB即可得證；（2）根據(jù)條件AE=EC，可知S△BAE=S△BCE，S△DAE=S△DCE，從而可得S△BCD=S△BAD，而△BAD的面積為×BD×AF即可．【詳解】（1）證明：∵∴∵∴又∵∴∴∴（2）連接.∵，∴，，，，∵，∴，，∴，，∴．答：的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓的相關(guān)性質(zhì)定理，在解決圓的問題中學(xué)會(huì)角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．25.在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種球共60個(gè)，它們除顏色不同外，其余都相同，王穎做摸球?qū)嶒?yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經(jīng)過大量重復(fù)上述摸球的過程，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率定于0.25．（1）請估計(jì)摸到白球的概率將會(huì)接近________；（2）計(jì)算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)？（3）如果要使摸到白球的概率為，需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑兩種顏色的球各有15個(gè)、45個(gè)；（3）15【解析】【分析】（1）根據(jù)摸到白球的頻率，可得“摸到白色球”的概率；（2）用總數(shù)乘以摸到白球的概率，得出白球的數(shù)量，進(jìn)而得到黑球的數(shù)量；（2）設(shè)需要往盒子里再放入x個(gè)白球，根據(jù)題意得出方程，解方程即可．【詳解】（1）∵摸到白球的頻率為0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25．（2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球?yàn)?5個(gè)，黑球45個(gè)；（3）設(shè)需要往盒子里再放入x個(gè)白球，根據(jù)題意得：解得：x＝15．答：需要往盒子里再放入15個(gè)白球．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率、概率公式的運(yùn)用．解題時(shí)注意：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．26.如圖，小麗瞭望遠(yuǎn)處的建筑物．已知小麗的高度為1.6米，在點(diǎn)M處測得建筑