第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助長(zhǎng)方體,在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義,了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理.2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【必備知識(shí)精歸納】1.四個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)1:過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.符號(hào):A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).符號(hào):A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α.基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào):P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號(hào):a∥b,b∥c?a∥c.2.基本事實(shí)的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.3.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系項(xiàng)目直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l其他關(guān)系圖形語(yǔ)言-符號(hào)語(yǔ)言a,b是異面直線a?α-點(diǎn)睛(1)直線不在平面內(nèi)包括直線與平面平行和直線與平面相交.(2)兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)包括平行和異面兩種位置關(guān)系.4.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).點(diǎn)睛若兩角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或都相反,則這兩個(gè)角相等;若兩角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且一邊方向相同而另一邊方向相反,則這兩個(gè)角互補(bǔ).5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:.【常用結(jié)論】1.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.2.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.3.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.4.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.【基礎(chǔ)小題固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,2341.(教材變式)(多選題)若直線l∥平面α,直線a?α,則l與a的位置關(guān)系可以是()A.l與a相交 B.l⊥aC.l∥a D.l與a異面解析：選BCD.因?yàn)橹本€l∥平面α,所以直線l與平面α無(wú)公共點(diǎn),又因?yàn)橹本€a?α,所以直線l與直線a無(wú)公共點(diǎn),所以由線與線的位置關(guān)系可知,直線l與直線a平行或者異面,也可能異面垂直.2.(教材提升)(多選題)如圖,是正方體的平面展開(kāi)圖,則在這個(gè)正方體中,以下命題中,正確的是()A.BM與ED平行B.CN與BM成60°角C.CN與BE是異面直線D.DM與BN是異面直線解析：選BD.正方體的直觀圖如圖所示:很顯然,BM與ED不平行,A錯(cuò)誤;連接AN,AC,易知△ACN是等邊三角形,CN與BM的夾角即為∠ANC=60°,B正確;很顯然,CN∥BE,C錯(cuò)誤;連接DM,BN,DM與BN是異面直線,D正確.3.(結(jié)論2)下列命題中正確的是()A.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這條直線平行B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直C.過(guò)已知平面外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直D.過(guò)已知平面外一條直線,必能作出與已知平面平行的平面解析：選B.對(duì)于A,如圖在正方體中,過(guò)直線AB外一點(diǎn)D1有兩個(gè)平面,平面A1B1C1D1,平面DCC1D1都與直線AB平行,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,由于垂直同一條直線的兩個(gè)平面平行,故過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直,故正確;對(duì)于C,如圖在正方體中,過(guò)平面ABCD外一點(diǎn)D1有兩個(gè)平面,平面DCC1D1,平面A1ADD1都與平面ABCD垂直,故錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)直線與平面相交時(shí),過(guò)該直線,不能作出與已知平面平行的平面,故錯(cuò)誤.4.(漏解)已知四面體ABCD中,E,F,G分別為BC,AD,BD的中點(diǎn),且異面直線AB與CD所成的角為π3,則∠FGE=________解析：如圖,因?yàn)镋,F,G分別為BC,AD,BD的中點(diǎn),故AB∥FG,CD∥GE,故AB與CD所成的角即FG與GE所成的角為π3,且與∠FGE相等或者互補(bǔ),故∠FGE=π3或答案:π3或題型一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用角度1證明點(diǎn)、線共面[典例1](1)(2023·濰坊模擬)下列四個(gè)命題中的真命題是()A.如果一條直線與另兩條直線都相交,那么這三條直線必共面B.如果三條直線兩兩都相交,那么它們能確定一個(gè)平面C.如果三條直線相互平行,那么這三條直線在同一個(gè)平面上D.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個(gè)平面解析：選D.對(duì)于A,B,當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí),三條直線可能不共面,故A,B錯(cuò)誤,對(duì)于C,當(dāng)三條直線相互平行時(shí),三條直線可能不共面,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個(gè)平面,故D正確.(2)(2022·聊城模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn).求證:B,E,D1,F四點(diǎn)共面.【證明】如圖所示:連接BE,BF,D1E,D1F,取BB1的中點(diǎn)為M,連接MC1,ME,因?yàn)镋為AA1的中點(diǎn),所以EM∥A1B1∥C1D1,且EM=A1B1=C1D1,所以四邊形EMC1D1為平行四邊形,所以D1E∥MC1,又因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn),所以BM∥C1F,且BM=C1F,所以四邊形BMC1F為平行四邊形,所以BF∥MC1,所以BF∥D1E,所以B,E,D1,F四點(diǎn)共面.【方法提煉】點(diǎn)、線共面的常用判定方法(1)納入平面法:要證明“點(diǎn)共面”或“線共面”,可先由部分點(diǎn)或直線確定一個(gè)平面,再證其余點(diǎn)或直線也在這個(gè)平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.(3)證明四點(diǎn)共面常通過(guò)證明四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形或梯形來(lái)解決.角度2證明三線共點(diǎn)[典例2]如圖,ABCD為空間四邊形,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G,H分別在CD,AD上,且DH=13AD,DG=13(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)EH,FG必相交且交點(diǎn)在直線BD上.【證明】(1)連接AC,因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn),DH=13AD,DG=13所以EF∥AC,HG∥AC,所以EF∥HG,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)易知HG=13AC,又EF=12AC,所以HG≠結(jié)合(1)的結(jié)論可知,四邊形EFGH是梯形,因此直線EH,FG不平行.設(shè)它們交點(diǎn)為P,則P∈EH,所以P∈平面ABD,同理P∈FG,所以P∈平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,因此P∈BD,即EH,FG必相交且交點(diǎn)在直線BD上.【方法提煉】證明三線共點(diǎn)的思路先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn),把問(wèn)題化歸為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題,通常是先證兩條直線的交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上,而第三條直線恰好是兩個(gè)平面的交線.角度3證明三點(diǎn)共線[典例3](2023·六安模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn).求證:C1,O,M三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)锳1C∩平面BDC1=O,所以O(shè)∈A1C,O∈平面BDC1;又因?yàn)锳1C?平面ACC1A1,所以O(shè)∈平面ACC1A1;因?yàn)锳C,BD交于點(diǎn)M,所以M∈AC,M∈BD;又AC?平面ACC1A1,BD?平面BDC1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1;又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1;所以C1,O,M三點(diǎn)在平面ACC1A1與平面BDC1的交線上,所以C1,O,M三點(diǎn)共線.【方法提煉】證明三點(diǎn)共線的兩種方法(1)首先找出兩個(gè)平面,然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),則這三點(diǎn)都在交線上,即三點(diǎn)共線.(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明另一點(diǎn)也在這條直線上,從而得三點(diǎn)共線.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱D1C1的中點(diǎn).設(shè)AM與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O,則()A.D1,O,B三點(diǎn)共線,且OB=2OD1B.D1,O,B三點(diǎn)不共線,且OB=2OD1C.D1,O,B三點(diǎn)共線,且OB=OD1D.D1,O,B三點(diǎn)不共線,且OB=OD1解析：選A.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接AD1,BC1,如圖,因?yàn)镃1D1∥CD∥AB,故A,B,C1,D1四點(diǎn)共面,連接BD1,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,因?yàn)镸為棱D1C1的中點(diǎn),則M∈平面ABC1D1,而A∈平面ABC1D1,即AM?平面ABC1D1,又O∈AM,則O∈平面ABC1D1,因?yàn)锳M與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O,則O∈平面BB1D1D,于是得O∈BD1,即D1,O,B三點(diǎn)共線,由C1D1∥CD∥AB,M為棱D1C1的中點(diǎn),可得D1M∥AB且D1M=12D1C1=12故△OMD1∽△OAB,于是得OD1=12OB即OB=2OD1,所以D1,O,B三點(diǎn)共線,且OB=2OD1.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn).(1)求證:CE,D1F,DA三線交于點(diǎn)P;(2)在(1)的結(jié)論中,G是D1E上一點(diǎn),若FG交平面ABCD于點(diǎn)H,求證:P,E,H三點(diǎn)共線.【證明】(1)連接A1B,CD1,EF,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),所以EF∥A1B且EF≠A1B,因?yàn)镃D1∥A1B且CD1=A1B,所以EF∥CD1且EF≠CD1,所以EC與D1F相交,設(shè)交點(diǎn)為P,因?yàn)镻∈EC,EC?平面ABCD,所以P∈平面ABCD;又因?yàn)镻∈FD1,FD1?平面ADD1A1,所以P∈平面ADD1A1,所以P為兩平面的公共點(diǎn),因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三線交于點(diǎn)P;(2)在(1)的結(jié)論中,G是D1E上一點(diǎn),FG交平面ABCD于點(diǎn)H,則FH?平面PCD1,所以H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,所以H∈平面PCD1∩平面ABCD,同理,P∈平面PCD1∩平面ABCD,E∈平面PCD1∩平面ABCD,所以P,E,H都在平面PCD1與平面ABCD的交線上,所以P,E,H三點(diǎn)共線.題型二空間線面位置關(guān)系角度1空間位置關(guān)系的判斷[典例4](1)(多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),則以下四個(gè)結(jié)論中,正確的有()A.直線AM與CC1是相交直線B.直線BN與MB1是異面直線C.AM與BN平行D.直線A1M與BN共面解析：選BD.A選項(xiàng),因?yàn)锳,M,C,C1四點(diǎn)不共面,所以根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),因?yàn)锽,N,M,B1四點(diǎn)不共面,所以根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線,故B正確;C選項(xiàng),取DD1的中點(diǎn)E,連接AE,EN,則有AB∥EN,AB=EN,所以四邊形ABNE是平行四邊形,所以AE∥BN,因?yàn)锳M與AE交于點(diǎn)A,所以AM與AE不平行,則AM與BN不平行,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),連接A1M,MN,BA1,CD1,因?yàn)镸,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),所以MN∥D1C,由正方體的性質(zhì)可知:BA1∥D1C,所以MN∥A1B,所以A1,B,M,N四點(diǎn)共面,所以直線A1M與BN共面,故D正確.(2)(2022·濰坊模擬)a,b,c是空間中互不重合的三條直線,下面給出四個(gè)命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線;上述命題中正確的是________(只填序號(hào)).

解析：①根據(jù)空間直線平行的平行公理可知,若a∥b,b∥c,則a∥c,所以①正確;②在空間中,若a⊥b,b⊥c時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,所以②錯(cuò)誤;③在空間中,若a與b相交,b與c相交,a與c可以相交、平行,也可以異面,所以③錯(cuò)誤;④若a?平面α,b?平面β,并不能說(shuō)明a與b不在同一個(gè)平面內(nèi),a與b可以平行、相交,也可能是異面直線,所以④錯(cuò)誤.答案:①【方法提煉】?jī)芍本€位置關(guān)系的判斷方法(1)異面直線的判斷:①反證法;②判定定理法.(2)平行直線的判斷:①平面圖形的性質(zhì)(三角形、梯形的中位線,平行四邊形等);②基本事實(shí)4平行線的傳遞性;③線面平行和線面垂直的定理.角度2異面直線所成角[典例5](1)如圖,在五棱錐S-ABCDE中,SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,BC=DE=3,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.求異面直線CD與SB所成的角的余弦值.解析：連接BE,延長(zhǎng)BC,ED交于點(diǎn)F,則∠DCF=∠CDF=60°,所以△CDF為等邊三角形,CF=DF,因?yàn)锽C=DE,所以BF=EF,因此△BEF也是等邊三角形,所以∠FBE=∠FCD=60°,所以BE∥CD,所以∠SBE(或其補(bǔ)角)就是異面直線CD與SB所成的角,因?yàn)镾A⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,由勾股定理可得:SB=SE=4+4=22,因?yàn)椤螧AE=120°,由余弦定理得:BE=AB2+AE故cos∠SBE=SB2+BE(2)(2023·重慶模擬)如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD=8,M,N分別是BC,AD的中點(diǎn).若異面直線AB與CD所成的角為60°,求MN的長(zhǎng).解析：如圖所示:取BD的中點(diǎn)E,連接ME,NE.因?yàn)镸,N分別是BC,AD的中點(diǎn),所以ME∥CD且ME=12CD=4,NE∥AB且NE=12從而∠MEN(或其補(bǔ)角)即為AB與CD所成的角.又異面直線AB與CD所成的角為60°,所以∠MEN=60°或120°,當(dāng)∠MEN=60°時(shí),△MNE為等邊三角形,MN=4.當(dāng)∠MEN=120°時(shí),由余弦定理可知MN=EN2+【方法提煉】1.綜合法求異面直線所成角的步驟(1)作:通過(guò)作平行線得到相交直線.(2)證:證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法:利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·濟(jì)南模擬)如圖,點(diǎn)P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點(diǎn),則直線PQ與RS不是共面直線的是()解析：選C.對(duì)于A.根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知:PQ∥RS,故PQ,RS共面,故不符合題意;對(duì)于B.根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知:PQ∥RS,故PQ,RS共面,故不符合題意;對(duì)于C.根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知:PQ?平面BCC1B1,RS?平面BCC1B1,RS∩平面BCC1B1=E,E?PQ,所以PQ,RS是異面直線,則直線PQ與RS不是共面直線,符合題意;對(duì)于D.根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知:RP∥A1C1∥SQ,且RP=12SQ所以PQ,RS相交,故PQ,RS共面,故不符合題意.2.(2022·濰坊模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,且AB=BC=AA1,D為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱BC上,且BC=4BE,則異面直線AC與DE所成角的余弦值是()A.3417 B.3434 C.105 解析：選B.如圖所示,在棱BC上取點(diǎn)F,使CF=BE,連接C1F,AF,A1F,因?yàn)锳B=BC=AA1,D為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱BC上,且BC=4BE,設(shè)AB=