高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市浦城縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)沖刺卷試題（四）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以.故選：A.2.已知，，，則的形狀是（）．A直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形〖答案〗A〖解析〗根據(jù)已知，有，，，因?yàn)椋?，即，故為直角三角形．故選：A.3.如圖所示，在等腰梯形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交BC于點(diǎn)N，則在以，，為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，相等向量有（）A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)〖答案〗B〖解析〗由題，故相等向量有兩對(duì).故選：B.4.已知是銳角，，，且，則為（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵，，且，∴，求得，，由是銳角，所以.故選：B.5.在中，下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理有，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，由余弦定理，得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項(xiàng)D正確.故選：D.6.已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過(guò)作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，．故選：C.8.如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱錐的體積為：.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A.共線 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四邊形ABCD是矩形，，所以共線，模相等，故A、D正確；∵矩形的對(duì)角線相等，∴|AC|=|BD|，模相等，但的方向不同，故B不正確；|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.故選：ACD.10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，其中正確的是（）A.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，時(shí)，才是純虛數(shù)．A正確，B錯(cuò)誤；，則，所以是實(shí)數(shù)，C正確；當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，其共軛復(fù)數(shù)是它本身，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是同一點(diǎn)，不關(guān)于虛軸對(duì)稱，D錯(cuò)．故選：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為B.無(wú)論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng)，都有⊥C.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為Q，且D.無(wú)論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng)，直線與AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中，，選項(xiàng)A中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，有E為的中點(diǎn)，連接、，如下圖示：即有面，∴直線與平面所成的角的正切值：，∵，，∴，故A正確；選項(xiàng)B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示：由題意知，為正方形，即有，而且為直三棱柱，有面，面，∴，又，∴面，面，故，同理可證：，又，∴面，又面，即有，故B正確；選項(xiàng)C中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，即在△中、均為中位線，∴Q為中位線的交點(diǎn)，∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，由于，直線與所成角即為與所成角：，結(jié)合下圖分析知：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)在或上時(shí)，最大為45°，當(dāng)在中點(diǎn)上時(shí)，最小為，∴不可能是30°，故D正確.故選：ABD.12.拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由題意，拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，可得：，由，故A是錯(cuò)誤的；由，故B是錯(cuò)誤的；由，故C是正確的；由，故D是正確的.故選：CD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在△ABC中，其外接圓半徑R＝2，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)正弦定理可知，所以，，，所以是等腰三角形，且，.故〖答案〗為：.14.設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗：.15.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故〖答案〗為：.16.如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，E是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面經(jīng)過(guò)直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，所以是菱形，連接，，且，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，連接交與，所以，且是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設(shè)，則直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，由，所以，，且，由余弦定理得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分.）17.已知、、且.（1）證明：是等腰直角三角形；（2）求．解：（1）證明：由題意得，，因?yàn)椋?，所以是直角三角形，又，，，是等腰直角三角?（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，，，且，解得，，，，，，，，．18.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.解：（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨(dú)立，由題意可知，所以.（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥，所以.19.成都七中為了解班級(jí)衛(wèi)生教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校40個(gè)班級(jí)進(jìn)行了一次突擊班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評(píng)定為“優(yōu)”，獎(jiǎng)勵(lì)3面小紅旗；得分在評(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗；得分在評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗；得分在評(píng)定為“差”，不獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗.已知統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“良”、“中”的班級(jí)中抽取6個(gè)班級(jí)，再?gòu)倪@6個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)進(jìn)行抽樣復(fù)核，求所抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3的概率.解：（1）得分的頻率為；得分的頻率為；得分的頻率為；所以得分的頻率為，設(shè)班級(jí)得分的中位數(shù)為分，于是，解得，所以班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為分.（2）由（1）知題意“良”、“中”的頻率分別為又班級(jí)總數(shù)為，于是“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為，分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為，因?yàn)樵u(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗，評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗，所以抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3為兩個(gè)評(píng)定為“良”的班級(jí)或一個(gè)評(píng)定為“良”與一個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí).記這個(gè)事件為，則為兩個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí)，把4個(gè)評(píng)定為“良”的班級(jí)標(biāo)記為2個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí)標(biāo)記為，從這6個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)用點(diǎn)表示，其中，這些點(diǎn)恰好為方格格點(diǎn)上半部分（不含對(duì)角線上的點(diǎn)），于是有種，事件僅有一個(gè)基本事件.所以，所抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3的概率為.20.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)平面向量，且.（1）求；（2）若，求中邊上的高.解：（1）因?yàn)?，所以，即，即，根?jù)正弦定理得，所以，所以.（2）由余弦定理，又，所以，根據(jù)△的面積，即，解得，所以中邊上的高．21.將棱長(zhǎng)為2的正方體沿平面截去一半（如圖1所示）得到如圖2所示的幾何體，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.解：（1）如圖所示：連接，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以平面.（2）∵平面，∴是三棱錐在平面上的高，且，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，∴.22.如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值．解：（1）取CE中點(diǎn)G