第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)（2+i）2的實(shí)部是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣103．（5分）在△ABC中，A=π4，cosB=A．210 B．-210 C．724．（5分）為了得到函數(shù)y=3sin(2x-πA．向右平行移動(dòng)π5個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平行移動(dòng)π5個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)2π5個(gè)D．向左平行移動(dòng)2π55．（5分）從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A＝“抽到的兩人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生與1名女生”，則（）A．在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，P(B．在不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，P(C．在按性別等比例分層抽樣方式下，P(D．在按性別等比例分層抽樣方式下，P（B）＝16．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為3 B．平均數(shù)為3，中位數(shù)為3 C．中位數(shù)為2，極差為2 D．平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為27．（5分）三棱錐A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，則該三棱錐體積的最大值為（）A．3 B．4 C．6 D．128．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面PAB內(nèi)任意一條直線都不與CD平行 B．平面PCD內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAB平行 C．平面PCD和平面PAB的交線不與底面ABCD平行 D．平面PBC和平面PAD的交線不與底面ABCD平行二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.（多選）9．（5分）一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設(shè)事件A＝“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2”，事件B＝“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)為3”，事件C＝“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為4”，事件D＝“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（）A．事件A與B互斥 B．事件A與C相互獨(dú)立 C．事件C與D互斥 D．事件B與D相互獨(dú)立（多選）10．（5分）已知函數(shù)f(A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2C．|f（x）|的圖象關(guān)于直線x=πD．f（x）在區(qū)間(-（多選）11．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．若z-z=0，則z∈B．若z（1+i）＝2，則z=C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，則|zD．若復(fù)數(shù)z滿足1＜|z|＜2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為π（多選）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，將△ABC分別繞邊BC，AC，AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的側(cè)面積分別記為Sa，Sb，Sc，體積分別記為Va，Vb，Vc，則（）A．Sa+Sb≥2Sc B．Va+Vb≥2Vc C．1SD．1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量a→=(1，-3)，b→=(λ，5)，且(14．（5分）某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生100名和女生60名，測(cè)量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生10017218女生6016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計(jì)算出該校高中學(xué)生身高的總樣本方差s2＝．15．（5分）如圖，在扇形OPO中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，矩形ABCD內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為16．（5分）已知四邊形ABCD是正方形，將△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，點(diǎn)G為△D1AC的重心，點(diǎn)E在線段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，則λ＝，直線GB與平面D1AC所成角的正切值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出．某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一個(gè)合理的居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)a（單位：t），使得用戶月均用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)a的部分按議價(jià)收費(fèi)．通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了該市100戶居民生活月均用水量（單位：t）的數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布直方圖．（1）求這100戶居民生活月均用水量在區(qū)間[1.5，2）內(nèi)的頻率；（2）若該市政府希望85%的居民生活月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)at，試估計(jì)a的值，并說(shuō)明理由．18．（12分）如圖是函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一個(gè)周期上的圖象，點(diǎn)A是函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，C分別是函數(shù)f（x）圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，且AB→（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(419．（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩人進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.6，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，乙先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求事件“X＝2”的概率；（2）求事件“X＝4且乙獲勝”的概率．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．（1）證明：平面ABC1⊥平面BCC1；（2）若直線AC與平面ABC1所成的角為θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3sinB（1）求A；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．22．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A，D1，E三點(diǎn)的平面記為平面α，點(diǎn)P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1P∥α．（1）設(shè)平面BCC1B1∩α＝l，求證：AD1∥l；（2）平面α將正方體ABCD﹣A1B1C1D1分成兩部分，求這兩部分的體積之比V1V2（其中V1≤（3）當(dāng)A1P最小時(shí)，求三棱錐P﹣AA1D1的外接球的表面積．

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)（2+i）2的實(shí)部是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：（2+i）2＝3+2i，實(shí)部為3．故選：B．2．（5分）已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣10【解答】解：∵|a→|=2，|∴|2a→-b∴a→故選：A．3．（5分）在△ABC中，A=π4，cosB=A．210 B．-210 C．72【解答】解：在△ABC中，cosB=則sinB=又A=則sinC=2=2故選：C．4．（5分）為了得到函數(shù)y=3sin(2x-πA．向右平行移動(dòng)π5個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平行移動(dòng)π5個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)2π5個(gè)D．向左平行移動(dòng)2π5【解答】解：為了得到函數(shù)y=3sin(2x-π5)=3sin故選：A．5．（5分）從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A＝“抽到的兩人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生與1名女生”，則（）A．在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，P(B．在不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下，P(C．在按性別等比例分層抽樣方式下，P(D．在按性別等比例分層抽樣方式下，P（B）＝1【解答】解：記3名男生為1，2，3，3名女生為a，b，c．對(duì)于A，有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω1為：123abc1（1，1）（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，a）（3，b）（3，c）a（a，1）（a，2）（a，3）（a，a）（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）（b，b）（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）（c，c）共36個(gè)樣本點(diǎn)，事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}，有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)=對(duì)于B，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω2為：123abc1×（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）×（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）×（3，a）（3，b）（3，c）a（a，1）（a，2）（a，3）×（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）×（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）×共30個(gè)樣本點(diǎn)，事件B＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3）}，有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)=對(duì)于C，在按性別等比例分層抽樣方式下，從男生中抽取一人，從女生中抽取一人，所以P（A）＝0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在按性別等比例分層抽樣方式下，先從男生中抽取一人，再?gòu)呐谐槿∫蝗?，其樣本空間Ω3＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c）}，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，事件B＝Ω3，所以P(B)=故選：D．6．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為3 B．平均數(shù)為3，中位數(shù)為3 C．中位數(shù)為2，極差為2 D．平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，不能判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于B，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，不能判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于C，若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2，極差為2，則數(shù)據(jù)的最小值小于2，又由極差為2，則數(shù)據(jù)的最大值小于4，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，1，1，6時(shí)，滿足平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2，不能判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；故選：C．7．（5分）三棱錐A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，則該三棱錐體積的最大值為（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：因?yàn)锳B⊥BD，AB⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD?平面BCD，所以AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AB⊥BC，則AC2＝AB2+BC2，所以BC＝4，又BD⊥CD，所以S△所以S△當(dāng)且僅當(dāng)BD=所以VA當(dāng)且僅當(dāng)BD=故選：B．8．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面PAB內(nèi)任意一條直線都不與CD平行 B．平面PCD內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAB平行 C．平面PCD和平面PAB的交線不與底面ABCD平行 D．平面PBC和平面PAD的交線不與底面ABCD平行【解答】解：如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∵AD∥BC，AD＝2BC，∴AB與DC相交，設(shè)交點(diǎn)為F，則CD與平面PAB相交于F，可知平面PAB內(nèi)任意一條直線都不與CD平行，故A正確；∵AB∩DC＝F，∴平面PAB∩平面PDC＝PF，則平面PCD內(nèi)與PF平行的直線都與平面PAB平行，故B正確；平面PCD和平面PAB的交線為PF，與底面ABCD相交，不與底面ABCD平行，故C正確；∵AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，可得BC∥l，則l∥平面ABCD，故D錯(cuò)誤．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.（多選）9．（5分）一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設(shè)事件A＝“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2”，事件B＝“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)為3”，事件C＝“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為4”，事件D＝“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（）A．事件A與B互斥 B．事件A與C相互獨(dú)立 C．事件C與D互斥 D．事件B與D相互獨(dú)立【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，兩次摸球中，第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2．二次摸出球的標(biāo)號(hào)為3，即事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則事件A、B不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若事件A發(fā)生，即第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為2，則事件C一定不會(huì)發(fā)生，則A、C不是相互獨(dú)立事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件C、D不會(huì)同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，C正確；對(duì)于D，P（B）=14，P（D）=2×2A42=有P（B）P（D）＝P（BD），則B、D是相互獨(dú)立事件，D正確．故選：CD．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f(A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2C．|f（x）|的圖象關(guān)于直線x=πD．f（x）在區(qū)間(-【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=tan(12x-π4)，所以fx=π2時(shí)，12×π2-π4=0，所以f（x）＝tan（因?yàn)閨f（π2-x）|＝|tan（-12x）|＝|tan12x|，|f（π2+x）|＝|tan12x|，所以|f（π2-x）|f（x）|的圖象關(guān)于直線x=π2x∈（-π2，π2）時(shí)，12x-π4∈（-π2，0），所以f（x）＝tan（故選：BCD．（多選）11．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．若z-z=0，則z∈B．若z（1+i）＝2，則z=C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，則|zD．若復(fù)數(shù)z滿足1＜|z|＜2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為π【解答】解：對(duì)于A，z-z=則z=z故z∈R，故A正確；對(duì)于B，z（1+i）＝2，則z=22cos7π對(duì)于C，設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為a→，b則|a→|=|故|a(a→+故|a→-b→對(duì)于D，設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），∵1＜|z|＜2，∴1＜x2+y2＜4，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為π×22﹣π×12＝3π，故D錯(cuò)誤．故選：AC．（多選）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，將△ABC分別繞邊BC，AC，AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的側(cè)面積分別記為Sa，Sb，Sc，體積分別記為Va，Vb，Vc，則（）A．Sa+Sb≥2Sc B．Va+Vb≥2Vc C．1SD．1【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝h，則h=abc，c2＝a2+b側(cè)面積Sa＝πbc，Sb＝πac，Sc=πabSa+Sb﹣2Sc＝π[bc+ac-2ab(a+b)c由題意可得：Va=13×πb2×a，Vb=13πa2b，Vc=13∴Va+Vb﹣2Vc=π3ab（a+b-2aba2+b2）≥π3ab（2ab-1Sa2+1Sb2=1π2c1Sa2+1S1Va2+1Vb∴1Va2故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量a→=(1，-3)，b→=(λ，5)，且(a→【解答】解：∵向量a→=(1，-3)，b→=(λ又∵(a∴1+λ﹣6＝0，解得λ＝5．∴b→=（5，∴a→?b→=1×5﹣3×5＝﹣10，∴b→在a→方向上的投影向量的坐標(biāo)為b→?a故答案為：（﹣1，3）．14．（5分）某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生100名和女生60名，測(cè)量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生10017218女生6016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計(jì)算出該校高中學(xué)生身高的總樣本方差s2＝37.5．【解答】解：已知在樣本中，男生有100人，女生有60人，所以該校高中學(xué)生身高的平均數(shù)x=100160×172+則該校高中學(xué)生身高的總樣本方差s2=100160×[18+（172﹣169）2]+60160×[30+（164﹣169故答案為：37.5．15．（5分）如圖，在扇形OPO中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，矩形ABCD內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為【解答】解：連接OB，OC，過(guò)BN⊥OP于N，可得OB＝OC，可得∠OCB＝∠OBC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以∠OCD＝∠OBA，由題意可得DC＝AB，可得△ODC≌△OAB，可得OD＝OA，而∠AOD=π所以△OAD為等邊三角形，所以AD＝OA，設(shè)∠BON＝α，則∠BAN=π2-π3=π6，在Rt△ABN中，則ON＝OBcosα＝cosα，BNAB=BNsinπ6=2?sinα，AN＝ABcosπ6=3sinα，AD＝OA＝ON﹣所以S矩形ABCD＝AB?AD＝2sinα（cosα-3sinα）＝2sinαcosα﹣23sin2α＝sin2α-3（1﹣cos2α）＝2sin（2α+π3）當(dāng)且僅當(dāng)2α+π3=π所以矩形ABCD的面積的最大值為2-3故答案案為：2-316．（5分）已知四邊形ABCD是正方形，將△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，點(diǎn)G為△D1AC的重心，點(diǎn)E在線段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，則λ＝2，直線GB與平面D1AC所成角的正切值為3．【解答】解：如圖所示：空1：延長(zhǎng)CG交AD1于點(diǎn)F，連接BF，則F為AD1中點(diǎn)，如下圖所示，因?yàn)镚E∥平面D1AB，GE?平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，所以GE∥BF，因?yàn)辄c(diǎn)G為△D1AC的重心，所以CG＝2GF，所以CE＝2EB，即λ＝2；空2：取CA中點(diǎn)O，連接OB，GB，GO，OD1，則OB⊥AC，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，因?yàn)镚E∥BF，GE⊥D1A，所以BF⊥D1A，又F為AD1中點(diǎn)，所以AB＝D1B＝2，Rt△ABC中，AC=22，OB=因?yàn)镈1O2+OB2=D1B2，所以O(shè)B⊥所以O(shè)B⊥平面D1AC，則GO為GB在平面D1AC內(nèi)的投影，所以∠OGB或其補(bǔ)角為直線GB與平面D1AC所成角，Rt△OGB中，GO=13故答案為：2；3．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出．某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一個(gè)合理的居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)a（單位：t），使得用戶月均用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)a的部分按議價(jià)收費(fèi)．通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了該市100戶居民生活月均用水量（單位：t）的數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布直方圖．（1）求這100戶居民生活月均用水量在區(qū)間[1.5，2）內(nèi)的頻率；（2）若該市政府希望85%的居民生活月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)at，試估計(jì)a的值，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知[1.5，2）內(nèi)的頻率為1﹣（0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.21．（2）因?yàn)?.21÷0.5＝0.42，又（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）×0.5＝0.73，（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3）×0.5＝0.88＞0.85，則a∈[2.5，3），依題意可得0.73+（a﹣2.5）×0.3＝0.85，解得a＝2.9．所以要使85%的居民生活月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，則居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9t．18．（12分）如圖是函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一個(gè)周期上的圖象，點(diǎn)A是函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，C分別是函數(shù)f（x）圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，且AB→（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(4【解答】解：（1）設(shè)f（x）的最小正周期為T(mén)，依題意設(shè)A（a，0），則B(a+所以AB→=(T4，即T2＝16，解得T＝4或T＝﹣4（舍去）；（2）由（1）可得T=2πω=4又f(2)即-cosφ即-12cosφ所以φ-π6又0＜φ＜π，所以φ=2π19．（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩人進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.6，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，乙先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求事件“X＝2”的概率；（2）求事件“X＝4且乙獲勝”的概率．【解答】解：（1）又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，有兩種情況，甲連贏2個(gè)球或乙連贏2個(gè)球，所以P（X＝2）＝0.4×0.6+（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.48；（2）設(shè)事件A為“X＝4且乙獲勝”，則事件A發(fā)生表示前2個(gè)球甲乙各贏1個(gè)球，第3個(gè)球和第4個(gè)球都是乙贏，所以P（A）＝[0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.4）×0.6]×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.1248．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．（1）證明：平面ABC1⊥平面BCC1；（2）若直線AC與平面ABC1所成的角為θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，易知AB⊥BB1，又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，且兩直線在平面內(nèi)，所以AB⊥平面BCC1，又AB?平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1．（2）過(guò)C作CD垂直BC于D點(diǎn)，連接AD，由（1）可知平面ABC1⊥平面BCC1，又平面ABC1∩平面BCC1＝BC1，所以CD⊥平面ABC1，垂足為D，則∠CAD是直線AC與平面ABC1所成的角，即∠CAD＝θ，由（1）可知AB⊥平面BCC1，所以AB⊥BC1，又AB⊥BC，所以∠CBC1是二面角C1﹣AB﹣C的平面角，即∠CBC1＝φ，在Rt△ADC中，sinθ=CDAC，在Rt△CDB又BC＜AC，得sinθ＜sinφ，又θ∈（0，π2），φ∈（0，π所以θ＜φ．21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3sinB（1）求A；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．【解答】解：（1）由題意及正弦定理可得3sinB+cosB=sinB即3sinBsinA+cosBsinA＝sinB+sinC＝sinB+sin（B+A），即3sinBsinA+cosBsinA＝sinB+sinBcosA+cosBsinA，整理可得3sinBsinA＝sinB+sinBcosA，在△ABC中，sinB≠0，所以3sinA﹣cosA＝1，即sin（A-π6）因?yàn)锳∈（0，π），可得A-π解得A=π（2）在△ABC，A=π3，AD＝BD＝3，CD＝2，BC＝BD+CD＝3+2＝由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC，即25＝AB2+AC2﹣AB?AC，①因?yàn)閏os∠ADC＝﹣cos∠ADB，在△ABD中，AB2＝BD2+AD2﹣2AD?BDcos∠ADB＝9+9﹣2×3×3cos∠ADB＝18﹣18cos∠ADB，②在△ACD中，AC2＝CD2+AD2﹣2