2024屆陜西省安康市高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學（理）模擬試題

（三模）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

7

1.已知復數(shù)z=2—i,則一=)

z-z

1.1.1.1.

A.——+1B.——1C.—I-iD.-------1

2222

.已知集合(w

2Z=3y=log22-x)J,B=j=2則zn3=()

A.(l,2)B.(l,2]C,[l,2)D,[l,2]

+*若

3.已知向量。

Il6JI6))

+gr+xB),則實數(shù)x的值是()

11

A.-2B.一一C.-D.2

22

4.已知4,l2,/是三條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，且'Utz,1^/3,aCl尸=I.

設甲：lx//l,乙：lA//l2,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入T的值為100,則輸出n的值為

A.4B.5C.6D.7

6.若函數(shù)/(x)=x---------,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

X+1

A./(x+l)-2B./(x-l)-2

C./(x-l)+2D./(x+l)+2

7.在化—在(x+v)6的展開式中，x2y4的系數(shù)為()

Vy)

A.-4B.4C.-8D.8

8.已知數(shù)列｛%｝對任意左eN*滿足%?為+[=2上，則％-陶^二()

A.21012B,21013C,22024D,22025

x+y-1>0

9.已知x,y滿足約束條件<2x-y+l<0,若z=/nx-y的最小值為-4,m的值為（

5x-4v+13>0

A.-2B.lC.2D.1或2

10.若函數(shù)了=/（x）在第一象限內的圖象如圖所示，則其解析式可能是（）

AJ(x)=:x+sinxB./(x)=Vx+sinx

C.f(x)=Vx+COSX-1D.f(x)=X+cosx-1

,2,2

11.已知雙曲線C：I—3=1（。〉0力〉0）的左、右焦點分別為四，8，點M是雙曲線C右支

上一點，直線片〃交雙曲線C的左支于N點.若區(qū)N|=2,囚M=3,pw|=4,且

△兒有心的外接圓交雙曲線C的一條漸近線于點P（Xo,h）,則僅o|的值為（）

3亞3下

B.----C.——D.3

22

12.已知圓錐的軸截面S45是一個正三角形，其中S是圓錐頂點，48是底面直徑.若C是底面圓

O上一點，P是母線SC上一點,48=6,AC=SP=2,則三棱錐?！?BC外接球的表面積是

()

107兀109兀1127r11671

A.----B.----C.----D.----

3333

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

x

13.已知函數(shù)f（Xyae-x,若曲線y=/（x）在點處的切線與直線

(1—2e)x+y+l=0平行，則實數(shù)a

14.已知函數(shù)/（%）=/0（%（0%+0）（/>0,0>0,0<0<2兀）的部分圖象如圖所示，且f（0）=-1,

5兀

0,則刃=

XV1

15.已知橢圓C：二+萬=l（a〉b〉0）的離心率為2,F是橢圓C的右焦點，P為橢圓C上任意

一點，|P川的最大值為30.設點幺^/），則忸旬+歸川的最小值為.

16.對于兩個實數(shù)a,b,定義運算aOb如下：若aNb,則若a<b,則=5.若

x,yeR,則—"。0―x|o|x+H的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

為促進中華戲曲文化的傳承與發(fā)展，某校開展了戲曲進校園文藝活動.該校學生會從全校學生中隨

機抽取60名男生和60名女生參加戲曲知識競賽，并按得分（）統(tǒng)計，分別繪制成頻率分布直方圖,

如圖所示.

男生得分頻率分布直方圖女生得分頻率分布直方圖

f蛀

4維

0.028......................................T-?

0.03()............................1一?O95

0.6O22

0.020L............................I—L-,

0.015.......................O

0.010..............................LJ-------0.01

4

0.005......................-^-1..........0.OO5

405060708090100成緬0405060708090100成紈

（1）現(xiàn)有10張某戲劇的演出票送給得分在80分以上（含80分）的同學，根據男生組和女生組得

分在80分以上（含80分）的人數(shù)，按分層抽樣比例分配，則男生組、女生組分別得多少張該戲劇

的演出票？

(2)假定學生競賽成績在80分以上(含80分)被認定為這名學生喜愛戲曲.將參加競賽的學生成

績及性別制成下列2x2列聯(lián)表(x表示參加競賽的學生成績)：

男生女生合計

x>80

x<80

合計

根據列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為學生喜愛戲曲與性別有關?

n(ad-bey

參考公式：K-=(其中〃=a+b+c+d).

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)

,且26sin[N+—2a=c.

已知△48C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c

(1)求B；

(2)若N4BC的平分線交ZC于點D,且BD=2,a=3,求△4BC的面積.

19.(12分)

如圖，在三棱錐S—4BC中，SCL平面48C,AB=BC=1,SA=2,SC=42,E為S4的

中點，CV，55于點F.

(1)求證：CFISA；

(2)求平面C￡尸與平面CEB所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)

已知拋物線C：/=272x(72>0),準線/與x軸交于點M,4。。，乂3為拋物線^:上一點，

40_1_/交y軸于點D.當%=4，^時，MA-MD+MF.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設直線4M與拋物線C的另一交點為B(點B在點A,M之間)，過點F且垂直于x軸的直

線交于點N.是否存在實數(shù)幾，使得MM忸N|=X忸MMM?若存在，求出4的值；若不存

在，請說明理由.

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=xln(x+l)-x2+ax(aeR).

(1)若/(x)在定義域內是單調函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若/(X)有兩個極值點X1,工2，求證.X］+X2〉0

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計

分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

x=a+/cos—

已知直線/的參數(shù)方程為14

。為參數(shù)，aeR).以坐標原點0為極點，x軸正半軸

.兀

y=Zsm—

I4

為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為0=2cos。+2sina

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程;

JT

(2)設4,B是曲線C上的兩點，且［48|=2.若直線/上存在點P,使得N4PB=］,求。的取

值范圍

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

設函數(shù)f(x)=2|x+l|-|x-a|+eR).

(1)若/(—3)〉/(l),求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當a=5時，函數(shù)/(x)有兩個零點X］,%(玉＜%),且滿足西+》2=-4,求實數(shù)b的值.

理科數(shù)學?全解全析及評分標準

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

12345678910112

1

ACABDCDADBDC

1.A因為z=2-i,所以z=2+i,所以

；_2+i_2+i_(2+i>i_-l+2i=-，+i.故選A.

z-z2—i—(2+i)-2i(-2i)-i22

2.C因為/=(—oo,2),5=[l,+oo),所以/口8=[1,2).故選C.

3.A由題意，得卜|=W=1,a=0.因為ga@+口)，所以ga+征)+0,所

以2M+x|5|=0,所以x=-2.故選A.

4.B當4〃/時，取4為平面廠內一條與/垂直的直線，得/』，充分性不成立；當/i〃，2時，因

為bu/3，4仁/，所以4〃萬.結合口口尸=/,所以/〃/,必要性成立.綜上可知，甲是乙的

必要不充分條件.故選B.

5.D逐步運行程序，得〃=0,

S=0<100；〃=1,S=1<100；n=2fS=5vl00；〃=3,S=14<100；〃=4,

S=30<100；n=5,S=55<100；n=6,S=91<100；〃=7,5=140>100,止匕時輸

出〃=7.故選D.

rY_i_1_111

6.C因為f(x)=x-----=x+1---------------1=x+l+---------2,所以/(x-l)+2=x+—為奇

X+1x+1x+1X

函數(shù).故選C.

7.D因為在(x+y)6的展開式中，,初5的系數(shù)分別為c：,C；,所以在［上—至］(x+y)6的

展開式中，的系數(shù)為c：—2c：=8.故選D.

8.A因為%?%+]=2j所以%+/％+2=2*+1，所以生包=2,所以

ak

詠?詠?詠??…幺=2碇，即詠=>”①.又因為％。=2,①②兩式相乘，

^2022。2020。2018^^6^^4^^2^^2

得生々2024=吸"2,故選A.

x+y-1>Q

9.D作出不等式組12x-y+IWO表示的可行域如圖中陰影部分所示（包含邊界），其中4（0,1）,

5x-4j+13>0

8（—1,2）,C（3,7）,所以z=mx—y的最小值為-4等價于直線y=%x+（—z）的縱截距—2的最大

值為4,所以直線y=ZMX+（-Z）經過點（0,4）.結合圖象，知直線y=mx+（-z）經過點

8（-1,2）或C（3,7）時滿足題意，所以m的值為1或2.故選D.

10.B對于A,/（x）=gx+sinx,點（0,/（0））,（兀,/（兀）），（2兀,/（2兀）），（3兀,/（3兀））在同

一條直線y=上，與圖象不符，舍去；

對于C,/（x）=Vx+cosx-l,/（兀）=6一2<0,與圖象不符，舍去；

對于D,f（x）=x+cosx-l,/r（x）=1-sinx>0,所以/（x）在（0,+8）上單調遞增，與圖象

不符，舍去.故選B.

11.D因為點M,N分別在雙曲線C的右支和左支上，所以闿-=刃-|八圜=2〃.

又用N|=2,怩M=3,|ACV|=4,

所以a=:|叫|=5,所以1M

所以NNM乙是直角.

在放與中，陽心『=|丹兒/f+l兒啊\所以（24=62+32,

所以/=c2—a2=6+3——=9,即6=3.

44

又△兒用石的外接圓交雙曲線。的一條漸近線于點P（x0,%）,

2

%+》0c

所以|。尸|=c,所以點Pa,比）的坐標滿足＜

0

db2

x=a

解得40,故選D.

Jo=b

12.C如圖，設點。在母線S4上且SD=SP=2,

因為△/C3是直角三角形，所以三棱錐P-/BC外接球的球心E在SO上，所以EP=ED,

即三棱錐P-ABC外接球的球心E也是三棱錐D-ABC外接球的球心，且兩個外接球的表面積相

等.

由NO=CO=80,得AABD的外心即為三棱錐A-BCD外接球的球心E.

在△AB。中，BD=j4L)2+而—24D-4BcosND4B=,+6?—2x4x6xg=2月,

所以AABD的外接圓的直徑2R=BD2774VH

smZDABsin6003

["IC

所以三棱錐P-4BC外接球的表面積是MR?=兀（2幻2=笠.故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2因為/'(%)=ae"—1,所以(1)=ae—1=2e—1,所以a=2.故填2.

14.—由題意，知4=2,最小正周期丁二」①.注意到一②.

5(D46

912

結合①②，解得

將點(0,-1)代入/(%)=2cos(cox+cp),得cos0=—；.

2IT471

因為0<"<2兀，所以9=7或？

得。?=左兀+烏（左）

依題意,2+0EZ.

62

當"二g時，。二號°&02),取尢=2,得。=￡,滿足題意；

47r6kQI?

當夕二1-時，G=不存在使成立的整數(shù)左2,舍去?

故填一.

5

15.4夜—3設橢圓。的半焦距為c,由題意，得￡=!，Q+C=3M,

a2

所以c=J^,a=2V2.

設橢圓C的左焦點為歹'，則尸'3,0）

所以歸H+|PF|=陷+（2a_附1）=2a+附-附［＞2a-\AF'\=4^/2-3.

故填4夜-3.

16.一依題意，得aOb=max{a,b},所以|a+4一.=max加+耳,,一同}.

M>\a+b

設max{a+b|,|"4}=M

M>\a-b

所以2M>|a+￡>|+|a-b\>2|a|,則|a+Z>|o|a-Z>|>同,

3

所以min{|x-j|o|3-x|o|x+j||=minj|o|x+j|o|3-x||=min^x|o|3-x||=—,

2

33

當且僅當》=—,歹=0取等號.故填一.

22

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個

試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

（1）由頻率分布直方圖，

知男生組得分在80分以上（含80分）的有（0.010+0.005）x10x60=9（人）,

女生組得分在80分以上（含80分）的有（0.025+0.010）x10x60=21（人），

921

男生占比為,女生占比為

9+219+21

-9

所以男生組分得票數(shù)為-----xlO=3,

9+21

女生組分得票數(shù)為xl0=7,

9+21

所以男生組、女生組分別得3張和7張該戲劇的演出票.

（2）由（1）,知男生組得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生組得

分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人，

所以得如下2x2列聯(lián)表:

男生女生合計

x>8092130

x<80513990

合計6060120

,120x（9x39-21x51）32

根據列聯(lián)表中數(shù)據計算，得力=-------------------L=一=6.4<6.635.

60x60x30x905

根據臨界值表，知沒有99%的把握認為學生喜愛戲曲與性別有關.

18.（12分）

（1）由正弦定理及2bsin[/+tJ—2〃=c,f#2sin5sin^24+-^j-2siny4=sinC,

所以sinB（y/3sinA+cos2sin4=sin（4+B）,

整理，WV3sinsin5-2sinA=sinAcosB.

因為sin/wO,所以Gsin3—cosB=2,即

八兀（兀5兀\ll」「2〃

因為3——G—一,——,所以5=——.

6166J3

（2）因為8。為N4B。的平分線，所以S=SBCD+SBAD，

即一acsinZ.ABC=一x2csin-------F—x2tzsin------

22222

化簡，得QC=2（Q+C）,

由Q=3,得C=6,

=-acsin5=-x3x6xsin—=-^

所以S^ABC

2232

19.（12分）

（1）因為SC，平面48C,/Cu平面4BC,所以SCLNC.

因為￡4=2,SC=42,所以ZC=也.

結合N5=5C=1,得4B_LBC.

因為SC,平面4BC,48u平面4BC,所以4BLSC.

又SC,BCu平面SBC,且SCn5C=C,所以48,平面SBC.

又C尸u平面SBC,所以48，。尸.

又CF1SB,8民45匚平面545,且58口48=8,所以。尸，平面S4g.

又￡4u平面￡45,所以CEL”.

（2）如圖，以點C為坐標原點，過點C且平行于45的直線為x軸,CB,CS所在的直線分別

為y軸、z軸建立空間直角坐標系,

/11后、/n2^2、

則/（1,1,0）,5（0,1,0）,C（0,0,0）,S9,0,Ji）rU,—,----

233

J7

所以9=1（1、、

CF=

77

設平面CE尸的法向量為加=（工1，%，4）,

1141

二0

CE-m=0/+/+丁】

所以《一一，即

CF-m=02V2_n

取必=1,則$=1,Z]=-，所以加二

設平面CEB的法向量為M=（x2,j2,z2）,

CE-n=0

所以4_____，即"『I。

CB-n=0*=o

6血,0」）是平面CEB的一個法向量,

取z2=1,貝ij%=0,x2=-V2,所以〃=

-2A/2_V6

所以cos（加=\-\\-\二

\m\\n\74x73—3

所以平面CEF與平面CEB所成銳二面角的余弦值為—.

3

或另解：如圖，以點B為坐標原點，BC,切所在的直線分別為x軸、y軸,

過點B且平行于CS的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

仕J也）

則4(0』,0),5(0,0,0),C(1,0,0),51,0,行),EFfP105TV2

廿527

所以?。郏?，亨

,C5=(-1,0,0),CF=

33

<7

設平面CE尸的法向量為加=（百,％/1）,

11V2_

_萬/+］必+^-zi=0

CE-m=0

所以《一一，即

CF-m=026c

nXi+TZi=0

取Z［=J5,則西=1,必=-1,所以機=1,-1,虛）是平面CE尸的一個法向量.

設平面CEB的法向量為n=（x2,y2,z2\

CE-n=0

所以4_____，即

CB-n=Q

_%2二0

取22=1,貝|%2=0，%=-后，所以〃=。,一行,1）是平面C￡3的一個法向量,

2A/2_V6

所以cos(m,n)=二

HHA/4x>/33

所以平面CEF與平面CEB所成銳二面角的余弦值為—.

3

20.(12分)

(1)因為當為=4虛時，MA=MD+MF,所以四邊形〃72。為平行四邊形,

所以|4D|=|〃F|=p,即x0=p,所以/Q,4后)

將幺[,4后)代入「=2px,得32=2p2,

解得夕=4,

所以拋物線C的方程為V=8x.

(2)如圖，由題意，得M(-2,0).設直線的方程為x=“V-2(7%w0),BQ],%),

則N(2,

km

p2_Qy

由＜,得/—8叼+16=0,△=64m2-64>0,

x=my-2

所以％)+M=8m‘yoyi=16.

|皿網

假設存在實數(shù)九，使得|/叫忸N|=X忸MHM，即^~_=2.

|w||^|

由題意，知陷=阻.網=生日=包二4

BM

\\|%|'|訓|/-2|\my0-4\!

忸N|_尻|Ml_4|_Mo%-4%|

\BM\\AN\|JJ\my0-4\|明弘-4城

又先+必=8陽，％必=16，

所以以M忸N=|"%-儀=|16加-4yoi=|16二-4%,|=1

\BM\\AN加比必-4必|16掰-4(8掰-打)14yo-16時

即存在實數(shù)2=1,使得\AM\\BN\^A\BM^AN\成立.

21.(12分)

(1)由已知，得函數(shù)/(x)的定義域是(—1,+oo),/'(x)=ln(x+l)——1——2x+l+a.

JC+1

①若/(x)在定義域內是單調遞增函數(shù)，則/'(x)=ln(x+l)-一1——2x+l+a20在

X+1

(-1,+00)上恒成立.

注意到ln(x+l)<x,當且僅當x=0時取等號，

所以/,(x)=ln(x+l)————2%+1+Q<X—2%+1+Q=~X+1+Q

X+1

若1+aZ—1,即當—2時，取玉)>1+a,則f(玉))<-x0+1+a<0；

若l+a<-l,即當。<一2時，取玉〉一1,則/+l+a<0,

所以/,(x)=ln(x+l)-----2x+l+a?0在(-l,+oo)上不可能恒成立，舍去.

X+1

②若/(x)在定義域內是單調遞減函數(shù)，則/'(x)=ln(x+l)——-——2x+l+aW0在

X+1

(T+co)上恒成立.

令g(x)=ln(x+l)---2x+l+〃,

x+1

11c-2x2-3x-x(2x+3)

-2=------▽=—~~^-(zx>-1)A,

則g'(x)---------1-------------722

x+1(X+1)(X+1)(x+1)I)

所以當—l<x<0時，g'(x)〉O,g(x)在(—1,0)上單調遞增;

當x>0時，g'(x)<0,g(x)在(0,+oo)上單調遞減,

所以g(x)max=g(0)=*所以由/'(x)<0恒成立，得a<(E

即當/(x)在(-1,+oo)上單調遞減時，a的取值范圍是(-8,0].

綜上，當/(x)在定義域內是單調函數(shù)時，a的取值范圍是(-8,0].

(2)由(1),知/(x)在定義域內是單調函數(shù)時，必有a<0,所以/(x)有兩個極值點X],x2,

必須a>0,X],&是g(x)=ln(x+l)---2x+l+a=0的兩個根,

X+1

所以g(玉)=g(%2)=0，Q=—ln(x+l)H-----F2x—1.

X+1

由(1),知g(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,+00)上單調遞減.

不妨設-1<Xj<0<x2.

要證須+%2〉0，即證>—西?

因為一王〉0,x2>0,所以亦即證g(%)<g(-Xj),所以要證0<g(-再).

1

注意到g(-X1)=In(一石+1)-+2X]+1+Q

~Xy+1

=ln(f+l