第03講圓的方程

目錄

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考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)理解確定圓的幾何要素，高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考

在平面直角坐標系中，掌握圓2023年乙卷(文)第11題，5分查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，

的標準方程與一般方程.2023年上海卷第7題，5分備考時應(yīng)熟練掌握圓的標準方程與一

(2)能根據(jù)圓的方程解決一2022年甲卷(文)第14題，5分般方程的求法，除了待定系數(shù)法外，

些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問2022年乙卷(文)第15題，5分要特別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓的

題.方程.

平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓

圓的標準方程：(c—a)2+?—b)2=/

*2

圓的方程圓的一般方程："+1/2+_Da；+Ey+F=0(。2+E-4F>0)

圓外

圓上

點與圓的位置關(guān)系

圓內(nèi)

?夯基?必備甚礎(chǔ)知識輔理

知識點一：基本概念

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓.

知識點二：基本性質(zhì)、定理與公式

1、圓的四種方程

(1)圓的標準方程：(x-a)2+{y-b'y=r2,圓心坐標為(a,b),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0),圓心坐標為［，半徑

^D2+E2-4F

r=-------------

2

(3)圓的直徑式方程：若4&%),8(尤2，%)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-%1)(x-x2)+(j-371)(y-y2)=0

(4)圓的參數(shù)方程：

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①Y+丁=/（廠>0）的參數(shù)方程為[尤=rcos"為參數(shù)）；

[y=rsmO

②（x-a>+（y-b）2=r2（r>0）的參數(shù)方程為[“一"十江。'"（?為參數(shù)）.

[y=b+rsm3

注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為（a+rcosab+rsin。）（夕為

參數(shù)，（a,6）為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,

然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.

2、點與圓的位置關(guān)系判斷

⑴點P（x0,%）與圓（x-4+。一6）2=戶的位置關(guān)系：

①（尤-a）?+（y-b）2>,o點尸在圓外；

②（無一°）2+0-6）2=產(chǎn)0點尸在圓上；

③（無一。）2+。-6）2</0點尸在圓內(nèi).

（2）點P（x。,%）與圓好+產(chǎn)+小+或+尸=0的位置關(guān)系：

①考+y；+Dx0+Ey0+尸>00點P在圓外；

②X;+y；+￡>修+E%+/=0=點P在圓上；

③片+y；+￡>Xo+￡y（）+尸<Oo點P在圓內(nèi).

.提升?必考題型歸納

題型一：求圓多種方程的形式

例1.（2023?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測）過4（0,1）、8（0,3）兩點，且與直線>=工-1相切的圓的方程可以是

A.(^+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)+(y—2)=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(尤+2『+(y-2)2=5

【答案】C

【解析】因為4（0,1）、3（0,3）,則線段AB的垂直平分線所在直線的方程為y=2,

設(shè)圓心為C&2）,則圓c的半徑為7=七￡3=號，

又因為7=|陽=』2+（2一1）2=爐門，所以，=#TT,

72

整理可得』+6，-7=0,解得，=1或，=—7,

當(dāng)f=l時，r=\AC\=y/2,此時圓的方程為（彳—1）2+（，-2）2=2；

當(dāng)/=-7時,r=\AC\=5s/2,此時圓的方程為(x+71+(y-2)2=50.

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綜上所述，滿足條件的圓的方程為(》一1)2+(＞一2)2=2或(尤+7)2+(、-2)2=50.

故選：C.

例2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則

這個圓的方程是()

A.x2+y2+4x-2y=0B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y-5=0D.x2+y2-4x+2y=0

【答案】A

【解析】設(shè)直徑的兩個端點分別A(〃,0),5(。力)，

圓心C為點(-2,1),由中點坐標公式，得二2=一2，上心=1,解得。=T,6=2.

22

22

半徑r=^(-2+4)+(1-0)=&,

圓的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y~+4x—2y=0.

故選：A.

例3.(2023嚏國?高三專題練習(xí))己知圓心為(-2,3)的圓與直線x-y+l=0相切，則該圓的標準方程是()

A.(x+2『+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

【答案】A

【解析】因為圓心為(-2,3)的圓與直線彳-、+1=。相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即

r="J”+1|=2近,

V2

所以該圓的標準方程是(x+2)2+(y-3)2=8.

故選：A

變式1.(2023?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末)已知圓C:尤?+丁=25與直線/:3x-4y+租=0(冽＞0)相切，則

圓C關(guān)于直線/對稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y-8)2=16D.(%+6)2+(y-8)2=25

【答案】D

【解析】由圓C:f+V=25的圓心為原點。，半徑為5,

又圓C與直線/相切，

則。到直線/的距離為d=5,

貝而WT=5，解得m=25,

設(shè)過。且與/垂直的直線為4,

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貝l"o：4%+3y=0,

4x+3y=0x=-3

聯(lián)立

3x-”+25=00y=4

得直線/與4的交點為(-3,4),

設(shè)圓心0(。，0)關(guān)于點(-3,4)的對稱點為(p,〃),

0+p

p=-6

由中點公式有2n

4=業(yè)〃二8

2

所以圓心0(。,。)關(guān)于點(-3,4)的對稱點為(-6,8),

因此圓C關(guān)于直線/對稱的圓的方程為：(x+6)2+(y-8)2=25,

故選：D.

變式2.(2023?山東東營?高三廣饒一中?？茧A段練習(xí))過拋物線＞2=4x的焦點/的直線交拋物線于A、

B兩點，分別過&、3兩點作準線的垂線，垂足分別為A，4兩點，以線段Ag為直徑的圓C過點(-2,3),則

圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(^+l)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(X+1)2+(J+2)2=26

【答案】B

準線44：x=-l,設(shè)A(X1,%),B(尤2，%)，令弦AB的中點為E,

而圓心C是線段44的中點，又明，44,8月，A4，即有EC〃/里//8與，ECIA^B,,

x=ty+lc

顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線A8:x="+1,由j消去X得：li。，

則%+%=4,y1%=-4,|%%|=+%)2-4乂%=4〃+1，點E的縱坐標為X+%=2t,

2

于是得圓C的半徑〃=與1=5%-%1=2獷71,圓心C(—l,2。，而圓C過點”(—2,3),

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則有|MC|=r,即J(-l+2)2+(2-2ET,解得t=g,

因此圓C的圓心C(-M),半徑r=百，圓C的方程為(x+l)2+(y-l)2=5.

故選：B

變式3.(2023?全國?高三專題練習(xí))求過兩點4(0,4),3(4,6),且圓心在直線彳-2〉-2=0上的圓的標準

方程是()

A.(x+4)2+(y+1)2=25B.(尤+4y+(>-1)?=25

C.-4)2+(>+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【解析】設(shè)圓心坐標為C(2b+2,b),由圓過兩點A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

HP[(2Z?+2)-0]2+(Z?-4)2=[(2Z?+2)-4]2+(Z?-6)2,解得2=1,

可得圓心為(4,1),半徑為5,則所求圓的方程為(x-4)2+(y-l)2=25.

故選：D.

變式4.(2023?吉林四平?高三四平市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線(3+2㈤尤+(3X-2)y+5Y=0

恒過定點尸，則與圓C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圓心且過點尸的圓的標準方程為()

A.(尤-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(j+3)2=25

C.(無一2>+(y+3)2=18D.(%-2)2+(y+3)2=9

【答案】B

【解析】直線(3+24)x+(34-2)y+5-/l=0,即(2x+3y-l)4+(3x-2y+5)=0,

[2x+3y-l=0,fx=-l.、

由c/u八解得I，即尸(Tl)，圓c(%—2)2+(y+3)2=16的圓心C(2,—3)，\PC\=5,

[3x-2y+5=0[y=l

所以所求圓的標準方程為(％-2/+(y+3>=25.

故選：B

變式5.(2023?全國?高三專題練習(xí))圓C：(》-1)2+。-2)2=2關(guān)于直線》-了=。對稱的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

【答案】C

【解析】由圓C：(Aiy+(y-2)2=2,可知圓心坐標：(1,2),半徑為近，

因為點d，2)關(guān)于直線>=x的對稱點為(2,1),

所以圓C：(彳-1)2+。-2)2=2關(guān)于直線尤-尸。對稱的圓的方程是

(x-2)2+(y-l)2=2,

故選：C

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變式6.(2023?重慶?高三重慶一中校考階段練習(xí))德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”(也

稱“米勒定理”)：若點A,8是NMON的邊上的兩個定點，C是ON邊上的一個動點，當(dāng)且僅當(dāng)ABC的

外接圓與邊ON相切于點C時，-4CB最大.在平面直角坐標系中，已知點0(2,0),磯4,0),點尸是y軸

負半軸的一個動點，當(dāng)"EE最大時，QM的外接圓的方程是().

A.(x-3)2+(y+2^)2=9B.(x-Sj+卜一2何=9

C.(尤+2&『+"3『=8D.(x_20『+(y_3)2=8

【答案】A

【解析】由米勒定理知當(dāng)NDEE最大時，砂的外接圓與＞軸負半軸相切，此時圓心位于第四象限，

因為點0(2,0),￡(4,0),

所以圓心在直線x=3上，

又圓與〉軸負半軸相切，

所以圓的半徑為3,

設(shè)圓心為P(3,))，bvO,

則|尸。|="萬=3,解得人=±20,

又bV。，

所以b=-2近，

所以_DEF的外接圓的方程是3)?+(y+2應(yīng)＞=9，

變式7.(2023?陜西西安?高三?？茧A段練習(xí))過點*4,2)作圓/+丁=4的兩條切線，切點分別為A,B,

則的外接圓方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(%+2)2+(y+l)2=5D.(%+4)2+(y+2)2=20

【答案】A

【解析】由圓尤2+y2=4,得到圓心0(0,0),由題意知。、48、P四點共圓，加的外接圓即四邊形

的外接圓，又尸(4,2),從而O尸的中點坐標(2,1)為所求圓的圓心，：|0尸|=石為所求圓的半徑，所以所求

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圓的方程為0-2產(chǎn)+0-1）2=5.

故選:A

變式8.（2023?四川成都?高三成都?？奸_學(xué)考試）已知君,0）,8（石,0）,C（0,3）,貝IABC外接圓

的方程為（）

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.X2+(J-1)2=4

【答案】D

【解析】設(shè)：ABC外接圓的方程為（尤-4+（y4丫=產(chǎn)

222

(-V3-o)+(0-Z?)=ra=0

則有〈(百-a)2+(O-b)2=,,解之得.b=l

(0-o)2+(3-Z?)2=r2r=2

則ABC外接圓的方程為/+（丫-1）2=4

故選：D

【解題方法總結(jié)】

（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標（a,6）

和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半

徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

題型二：直線系方程和圓系方程

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0

的交點的圓的方程為（）

A.N+y2_%+7y-32=0B.x2+y2-x+ly-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.N+y2-4x+4y-8=0

【答案】A

【解析】根據(jù)題意知，所求圓經(jīng)過圓入2+產(chǎn)+6%-4=0和圓x2+y2+6y-28=0的交點,

設(shè)其方程為a2+y2+6x_4)+Z(x2+y2+6y_28)=0,

即(1+2)/+(1+A)y2+6x+6Ay-4-28A=0,其圓心坐標為1+lJ

-3-32

又由圓心在直線x-y-4=0上，所以-4=0,

1+A11+4

解得2=-7,

所以所求圓的方程為：（-6）/+（-6）>2+6工-42>+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0,

故選：A.

例5.（2023?高二課時練習(xí)）過圓/+丁―2丁—4=0與爐+,2一4%+2y=0的交點，且圓心在直線

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/:2%+4y—1=0上的圓的方程是.

【答案】f+,2_3%+,—1=。

【解析】設(shè)圓的方程為d+丁—4x+2y+X（f+y2—2^—4）=0（丸?！?,

貝1］（1+小2_4%+（1+a2+（2_2小_4；1=0,

即f+y2_\x+=—爭廣4；=0,所以圓心坐標為（"j,

1+Z1+Z1+411+21+zJ

把圓心坐標［三，烏］代入2x+4y-l=0,可得2=

所以所求圓的方程為/+9一3尤+y-l=0.

故答案為：Y+y2-3尤+y-l=0.

例6.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）曲線3/_必=3與y=尤2-2工一8的四個交點所在圓的方程是.

【答案】4）2+（>-2）2=49

222

【解析】根據(jù)題意得到：3x-/-4（x-2x-8）=3-4y,化簡得到答案.3/_/=3,y=x-2x-8,故

3x2-y2-4（x2-2x-8）=3-4y,

化簡整理得到：一+丁-8尤-4y-29=0,即（工-療+（,-2）?=49.

故答案為：（x-4）2+（y-2>=49.

變式9.（2023?安徽銅陵?高二銅陵一中?？计谥校┙?jīng)過直線x-2y=0與圓尤2+,2-4x+2y-4=0的交點，

且過點（1,0）的圓的方程為.

【答案】尤2+/+312、-4=0

【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點的圓系方程為：

x~+y~—4x+2y-4+2（x—2y）=0

???所求圓過點（1,0）

-7+2=0

解得4=7

所以圓的方程為爐+/-4x+2y-4+7（x-2y）=0,化簡得尤2+丁+3了_12丫一4=0.

故答案為：尤2+y2+3x-i2y-4=0.

變式10.（2023?高二?？颊n時練習(xí)）過兩圓V+V一x-y-2=0與爐+V+4工-4y-8=0的交點和點（3,1）

的圓的方程是.

13

【答案】X2+y^--,r+y+2=0

【解析】設(shè)所求圓的方程為：（爐+/一x-y-2）+2（/+/+4工一4、-8）=。

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將(3,1)代入得：2=-1

13

二所求圓的方程為：尤2+/_］尤+/+2=0

13

本題正確結(jié)果：尤2+>~——x+y+2=0

變式11.(2023?浙江杭州?高二?？计谀?已知一個圓經(jīng)過直線，：2x+y+4=。與圓C：/+y2+2x-4y=0

的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為.

［答案］+y+—x-■—y+—=0

【解析】可設(shè)圓的方程為f+y2+2%-4y+/l(2x+y+4=0)=0,

即％2+/+2(1+團》+(2-4)7+4/1=0,

(4-2^

此時圓心坐標為卜1-%—--I,

當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，從而面積最小，

4-2

/.2(-l-2)+-y^+4=0,

Q

解得a'.

貝U所求圓的方程為f+V+gx—9>+弓=0，

故答案為『+y2+-^--x--^-y+-^-=^-

變式12.(2023?江西九江?高一統(tǒng)考期中)經(jīng)過兩圓/+/+6X-4=0和/+；/+6,-28=0的交點，且

圓心在直線X-y-4=o上的圓的方程為

【答案】x2+/-x+7y-32=0

【解析】由題可先設(shè)出圓系方程；X2+/+6%-4+2(x2+y2+6y-28)=0,則圓心坐標為；(一：；-~~~-),

1+21+2

又圓心在直線x—y—4=0上，可得；—二+二—4=0,解得之=—7.

1+21+2

所以圓的方程為：x2+y2-x+ly-32=0.

故答案為：尤2+/—x+7y—32=0.

變式13.(2023?浙江紹興?高二統(tǒng)考期中)己知圓C過直線2x+y+4=0和圓/+9+2工一4、+1=0的交

點，且原點在圓C上.則圓C的方程為.

317

【答案】x2+y2+—X---y=0

24

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【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓C的方程為：x2+/+2x-4y+l+2（2x+y+4）=0,因為原點在圓C上，故彳=-：

所以所求圓的方程為爐+丁+三a元-1：7y=0.

24

考點：直線與圓的位置關(guān)系，圓的標準方程.

【解題方法總結(jié)】

求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用

它們的直線系方程（圓系方程）.

（1）直線系方程：若直線4：Ax+耳y+G=o與直線/2：4x+B2y+C2=o相交于點p，則過點尸的直

線系方程為：4（A尤+y+Cj）+A,（4x+與〉+C?）=0（4~+石w0）

簡記為：第+44=。（看+若力。）

當(dāng)4wo時，簡記為：4+勿2=0（不含4）

（2）圓系方程：若圓C1：x2+y2+Rx+￡；y+耳=0與圓C2：x2+y2+4x+E2y+&=0相交于A,2兩

點，則過A,8兩點的圓系方程為：f+丁+。/+￡^+月+2（無2+^+3無+￡2丫+工）=。（2#一1）

簡記為：￡+力。2=0（力力一1），不含G

當(dāng)4=—1時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）I:（2一DJx+（4—E?）y+4一F?=0

注意：與圓C共根軸/的圓系Q:C+〃=O

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

例7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）點P（LO）,點。是圓/+/=4上的一個動點，則線段尸。的中點/的

軌跡方程是（）

【答案】A

【解析】設(shè)點/的坐標為〃（x,y）,因為/點是線段PQ的中點，

可得。（2x-l,2y）,點。在圓上，

貝lj（2x-l）2+（2y）2=4,即］無一￡|+y2=l-

故選：A.

例8.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A,B是C：（尤-2）2+（y-4『=25上的兩個動點，尸是線

段的中點，若|AB|=6,則點尸的軌跡方程為（）

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A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(A:-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

【答案】C

【解析】因為A3中點為尸，所以又|AB|=6,所以|”|=(5-[12=4,

所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為(x-2)2+(y-4)2=16.

故選：C.

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另

一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點距離之比值為常數(shù)九(九＞0，九*1)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧

斯圓.已知點P到4(-2,0)的距離是點尸到8(1,0)的距離的2倍.求點尸的軌跡方程；

【解析】設(shè)點P(%y),

點P到A(-2,0)的距離是點P到8(1,0)的距離的2倍，可得|上4|=2|PB|,

即J(x+2『+y2=2ax-l)”,整理得(左一2)2+V=4,

所以點尸的軌跡方程為(尤-2)2+9=4；

變式14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知尸(4,0)是圓/+/=36內(nèi)的一點,A,B是圓上兩動點，且滿足

ZAPB=90°，求矩形APBQ頂點Q的軌跡方程.

【解析】連接AB,PQ,設(shè)A2與交于點如圖所示.

因為四邊形AP8。為矩形，所以M為43,PQ的中點，連接。

由垂徑定理可知。知，4氏

設(shè)加0",加)，

由此可得|AM「=1-1OM『=36-(扁+/).①

又在RtAP3中，

有|側(cè)=|PM|=7（^-4）2+^.②

由①②得4+yj-4如T0=0,

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故點M的軌跡是圓.

因為點M是尸。的中點，設(shè)QO,y),

niIx+4y

則XM=--%二萬,

代入點M的軌跡方程中得，

(空2+(/4X啜1。=0,

整理得d+V=56,即為所求點。的軌跡方程.

變式15.(1977?福建?高考真題)動點尸(x,y)到兩定點A(-3,0)和8(3,0)的距離的比等于2,求動點尸的軌

跡方程，并說明這軌跡是什么圖形.

到一2

【解析】由題意可知：

PB\'

又P(x,y),A(-3,0)和5(3,0),

J(尤+3丫+了,2

所以==2，

,2

化簡得Y-10x+丁+9=。即(*-5)2+/=16,

所以動點P的軌跡是以(5,0)為圓心，半徑是4的圓

變式16.(2023?安徽合肥?高三合肥一中?？茧A段練習(xí))已知圓C：x2+/+2x-4y+3=0.

(1)若不過原點的直線/與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線/的一般式方程；

(2)從圓C外一點尸(x,y)向圓引一條切線，切點為。為坐標原點，且有1PMi=|尸。］,求點尸的軌跡方程.

【解析】(1)由爐+/+2工一4、+3=0配方得(x+lf+Q-2>=2,所以圓C的圓心。(一1,2),半徑為近，

因為直線/在x軸，y軸上的截距相等，所以設(shè)直線/為尤+y=6,即x+y-6=0,

卜1+2

則由直線/與圓C相切得解得6=-1或6=3,

7T+T=C,

二直線/的方程為x+y+l=0或x+y-3=0.

(2)由圓上切點的性質(zhì)知1PMf=|PC.

又因為1PM=歸。］,所以|尸O「=|PC「_/,

所以尤2+/=a+l)2+(y-2)2—2,整理得2x-4y+3=0,

故點P的軌跡方程為2x-4y+3=0.

變式17.(2023?全國?高三專題練習(xí))由圓/+/=9外一點c5,12)引圓的割線交圓于A3兩點，求弦

A8的中點M的軌跡方程.

【解析】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】直接法

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設(shè)弦AB的中點A/的坐標為M(x,>),連接OP、OM，則OM±AB.

在中，由勾股定理有無2+產(chǎn)+0：-5)2+。-12)2=169,而"(3)在圓內(nèi),

所以弦的中點M的軌跡方程為犬+V-5x-12y=0(-3<x<3).

［方法2］：定義法

因為M是"的中點，所以加，血,所以點M的軌跡是以O(shè)尸為直徑的圓，圓心為6)半徑為=￡,

所以該圓的方程為:，一￡［+(y-4=1￡j,化簡得Y+V一5x-12y=0(-3<x<3)

［方法3］：交軌法

易知過尸點的割線的斜率必然存在，設(shè)過P點的割線的斜率為七

則過尸點的割線方程為:y-12=-x-5).

OA/_LAB且過原點,，OM的方程為>=x

k

這兩條直線的交點就是M點的軌跡.兩方程相乘消去上化簡，得：V+V-5x-12y=0,

其中—3<x<3.

［方法4］：參數(shù)法

設(shè)過P點的割線方程為:了-12=左(》-5),它與圓/+)?=9的兩個交點為人、B,

AB的中點為A/,設(shè)M(龍,丫),4(芯,另),3(尤2，%).

由1:可得，(1+公卜2+2%。2-5人)》+。2-5左丫-9=0,所以，士+%=-當(dāng)也，即有

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%（12-5左）12-5k

"=一]+Ly=^e消去上,

可求得M點的軌跡方程為：x2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：點差法

設(shè)”(工,丫),人(%,%),3(巧,%),則占+%=2羽%+%=2〉.

1=9,考+￡=9.兩式相減，整理得伍-3)(%+%)=。.

x

所以%二-』Vi=-%七」=一一,即為A3的斜率，

x2-xxyY+y2y

2222

而AB的斜率又可表示為=,??-==--，化簡并整理，得x+y-5x-ny=0.

5-x5-xy

其中-3<x<3.

【整體點評】方法一：直接根據(jù)軌跡的求法，建系、設(shè)點、列式、化簡、檢驗即可解出，是該類型題的常

規(guī)方法，也是最優(yōu)解；

方法二：根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程；

方法三：將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點軌跡問題；

方法四：將動點坐標表示成某一中間變量(參數(shù))的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)；

方法五：根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，點在曲線上則點的坐標滿足方程，用點差法思想，設(shè)而不求.

變式18.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知圓6:爐+/-4了=0,平面上一動點尸滿足：PM2+PN2^6^.

M(-l,0),N(l,0).求動點尸的軌跡方程；

【解析】設(shè)P(x,y),由尸”+尸儲=6,

所以(X+1)2+/+(X-1)2+V=6,整理得尤2+y2=2,

即動點尸的軌跡方程f+y2=2.

變式19.(2023?全國?高三專題練習(xí))在邊長為1的正方形ABC。中，邊AB、8C上分別有一個動點Q、

R,且忸0=|CR］.求直線AR與QQ的交點P的軌跡方程.

【解析】分別以AB，邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系.

如圖所示，則點40,0)、8(1,0)、C(l,l)、0(0,1),

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設(shè)動點p(x,y),ea,o)(o<z<i),

由忸Q|=|CR|知：闡=網(wǎng),則R(1J).

xx

當(dāng)時，直線AR：y=比①，直線。。：-+y=l,則1一>=—②，

tt

①x②得：y(l-y)=tt—,化簡得/+/_'=0.

當(dāng)f=0時，點P與原點重合，坐標(0,0)也滿足上述方程.

故點尸的軌跡方程為+=

變式20.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知RtABC的斜邊為A3,且A(-l,0),B(3,0).求:

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

【解析】(1)設(shè)因為A,B,C三點不共線，所以y*0,

因為AC13C,所以KC-&C=T，

又因為Kc=忘，凝c=告'所以后,號=T

整理得一2X—3=0,即(尤一1)2+;/=4,

所以直角頂點C的軌跡方程為(x-lf+y?=4(y片0).

(2)設(shè)Af設(shè),以以無。,％),

因為8(3,0),M是線段2C的中點,

由中點坐標公式得X=三》=若衛(wèi)，所以x°=2x-3,%=2y,

由(1)知，點C的軌跡方程為(x-l)2+y2=4(ywO),

將升=2x-3,%=2y代入得(2x-4)2+(2y>=4,即(*-2)、/2=1

所以動點A/的軌跡方程為(尤-2)2

變式21.(2023?高二課時練習(xí))如圖，已知點A(-l,0)與點3(1,0),C是圓N+y2=l上異于A,2兩點的

動點，連接BC并延長至。，使得|C0=|2C|,求線段AC與。。的交點尸的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點尸(x,>),由題意可知尸是△A3。的重心，由A(-l,0),B(l,0),

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令動點C(xo,yo),則O(2xo-1,2yd),

—1+1+2JVQ—1

x=

3

由重心坐標公式得，

2%

y二

3x+l

xo=—%一

則代入f+y2=l,

Jo=y(>,0*°)

整理得,++y2=1(yw0)

故所求軌跡方程為(x+gj+y=箝力0).

變式22.(2023?高二課時練習(xí))已知點A(2,o)是圓V+y2=4上的定點，點3(1,1)是圓內(nèi)一點，P、。為

圓上的動點.

(1)求線段A尸的中點〃的軌跡方程.

⑵若NP8Q=90。，求線段尸。中點N的軌跡方程.

【解析】(1)設(shè)"中點為"(x，y),

由中點坐標公式可知，尸點坐標為(2x-2,2y)

：尸點在圓V+丁=4上，(2%-2)2+(2y>=4.

故線段AP中點的軌跡方程為(%-1)2+/=1.

(2)設(shè)PQ的中點為N(x,y),在RtAPB。中，|PN|=|3N|,

設(shè)O為坐標原點,則ONJ.PQ,所以|OP|2=|ON/+|PN|2=|ON|2+|8N『,

^fiy,x2+/+(x-l)2+(y-l)?=4.

故線段PQ中點的軌跡方程為Y+/一x-y-l=0.

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【解題方法總結(jié)】

要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標X,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或

轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

例10.(2023?河南?高三階段練習(xí))"a<1”是“方程2/+2y2+2ax+6y+5a=0表示圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為方程2/+2/+2ax+6y+5a=0,即Y+y?+依+3>+￥=。表示圓，

等價于/+9-10。>0,解得。>9或av1.

故“a<1”是“方程21+2/+2辦+6y+5。=0表示圓”的充分不必要條件.

故選：A

例11.(2023?上海奉賢?高三校考階段練習(xí))已知：圓C的方程為/Q,y)=0,點不在圓C上，

也不在圓C的圓心上，方程C，:/(x,y)-/(x°,%)=0,則下面判斷正確的是()

A.方程。表示的曲線不存在

B.方程。表示與C同心且半徑不同的圓

C.方程。表示與C相交的圓

D.當(dāng)點P在圓C外時，方程。表示與C相離的圓

【答案】B

【解析】因為C為圓，設(shè)f(x,y)=/+y2T=o,點尸(1,1),其圓心為(0,0),半徑為1,

而C的方程為了(羽丁)-/(%%)=。，gpx2+j2-l-l=O,x2+y2-2=0

因此上述方程中，圓心亦為(0,0),半徑為虛，所以C與圓C是同心且半徑不同的圓.

故選：B.

例12.(2023?高三課時練習(xí))關(guān)于x、y的方程砂+。2+6+或+尸=0表示一個圓的充要條件是

A.B=0,且4=。片0

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B.B=l,RD2+E2-4AF>0

C.B=0,且4=。工0,D2+E2-4AF>0

D.B=0,MA=C^O,D2+E2-4AF>0

【答案】D

【解析】關(guān)于尤、y的方程瓜2+3盯+Cy2+Dx+Ey+//=0表示一個圓的充要條件是

即8=0,且A=cwo,D2+E2-4AF>0-

變式23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若方程f+丁+依+2?+2=0表示圓，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<-2B.a>2

C.av—2或a>2D.a<-2^a>2

【答案】C

【解析】若方程龍2+丁+。％+2>+2=0表示圓，貝IJ〃2+22—4X2>0,

解得：〃>2或"-2.

故選：C

變式24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知方程/+丁+J贏+2y+2=0表示圓，則實數(shù)相的取值范圍

為（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（3,+oo）D.(4,+oo)

【答案】D

【解析】因為方程Y+9+忻工+2丁+2=0表示圓，

所以（而Y+22-4X2>0,解得相>4.

故選：D

變式25.（2023?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若圓C：

工2+〉2-2（〃2-1）了+2（機一1）〉+2加2-6機+4=0過坐標原點，則實數(shù)加的值為（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

【答案】C

【解析】X?+y~—2（機一l）x+2（機一1）y+2祖~—6〃?+4—。表不圓,

—1)丁+[2(〃z—1)丁-4(2m2—6m+4^>0

m>1.

第19頁共38頁

又圓。過原點，

***2m2—6m+4=0,

m=2^m=l(舍去)；

m=2.

故選:C.

變式26.(2023?全國?高三專題練習(xí))若方程N+y2+2&+2?+2〃T+i=o表示圓，則2的取值范圍

是()

「1「

A.(1,+oo)B.-J

C.(1,+oo)u(-°0.1)D.R

【答案】A

【解析】因為方程N+y2+22x+2初+2/1?—2+1=0表小圓，所以沙十岳—4/>0,

即4M+4丸2—4(2"—2+1)>0,解不等式得2>1,即A的取值范圍是(1,+oo).

故選：A.

變式27.(2023?高二課時練習(xí))若二￡(0,2?),使曲線/cosa+Vsina+xcosa+ysini+luO是圓，則

【答案】A

【解析】由題意，cosa=sinaf

因為(ze(O,2;r),所以a=?或tz=7，

當(dāng)夕=工時，方程為立/+立產(chǎn)+變x+立y+l=0,

422-22

化簡得工+/+了+丫+0二。,

止匕時+爐一4P=2-4應(yīng)<0，不表示圓；

當(dāng)&=苧時，方程為-變?nèi)胱冏?gt;變=°.

422-22'

化筒得爐+y2+%+y_5/2=0,

止匕時。2十月2—4尸=2+4后>0，表示圓.

所以&=苧.

4

故選：A

【解題方法總結(jié)】

第20頁共38頁

方程V+/+.+4+尸=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問

題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓