廣東省韶關(guān)市2024屆高三綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.若集合4=31<%?6},8='」一<。|,貝U&A）B=（）

A.{x|x<l§R6<x<7}B.{小W1或6<x<7}

C.{小<1或6Wx<7}D.1x|x<lSK6<x<7}

2.設(shè)。，B,y是三個(gè)互不重合的平面，m,〃是兩條互不重合的直線，則下列說

法正確的是（）

A.若mlIa,mHP,則M/尸B.若mHa,nila,則就/〃

C.若mA./3,則M/尸D.若a_L/,/31y,則a〃尸

3.已知一組數(shù)據(jù)：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,將剩下

的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，貝!］（）

A.極差不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.上四分位數(shù)不變

4.過點(diǎn)P（-2,3）作斜率為-2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓

C:（x—3）2+（丁一2）2=產(chǎn)&>0）相切，則廠=（）

A.V2B.V3C.2D.75

5.在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是W=（長(zhǎng)

M）（寬M），在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方

米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.1O818

6.在△ABC中，tanA=1,tan3=?.若△ABC的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為何.則最短邊的長(zhǎng)為

45

（）

A.V2B.V3C.2D.>/5

22

7.已知雙曲線C:=-二=1（?！?,。>0）的左焦點(diǎn)為E過點(diǎn)R的直線

ab

/:3%+4y+m=0與y軸交于點(diǎn)3,與雙曲線C交于點(diǎn)A（A在y軸右側(cè)）.若3是線段Ab

的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=~~^~XB.y=±：xC.y=±6xD.y=±2x

?、，r、\a.a>b、\b.a>b一十“打?立心…

8.TE義max]〃,Z?}=《，min{(〃,b}=《，對(duì)于任息實(shí)數(shù)尤>0,y>0,則

\b.a<b[a.a<b

-(、、

min|max|2x,3y,--+—的值是()

[4x29y2J

A.次B.A/2C.百D.班

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知復(fù)數(shù)z，Z2,則下列命題正確的是()

A.若㈤=國(guó),則z=±Z2

B.若4=Z2,則上丘閆才

C.若ZI是非零復(fù)數(shù),且Z：=Z]Z2，則Z]=Z2

D.若馬是非零復(fù)數(shù)，則

zi

10.設(shè)函數(shù)/(%)=2$1112%—35111忖+1,貝4()

A./⑴是偶函數(shù)B./在[―2兀,2可上有6個(gè)零點(diǎn)

C./(x)的是小值為-gD"(x)在-,0上單調(diào)遞減

11.已知定義在R上的函數(shù)〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為r(%),g'(x),且

〃x)=/(4—x),/(1+x)—g(x)=4，r(x)+g〈l+x)=0，貝1J()

A.g(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.g<3)=l

C.f(x)的周期為4D./，(?)-g，W=0(/ieZ)

三、填空題

12.二項(xiàng)式(2-x)"的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的2.5倍，則〃=.

13.在三棱錐尸-ABC中，側(cè)面所在平面與平面ABC的夾角均為四，若

AB=2,CA+CB=4,且△ABC是直角三角形，則三棱錐P-ABC的體積為—

四、雙空題

14.已知平面向量a,b,c均為單位向量，且|。+6=1,則向量a與b的夾角為

(a+Z?).僅-c)的最小值為.

五、解答題

15.已知函數(shù)〃%)=依+—+21nx在點(diǎn)處的切線平行于無軸.

x

⑴求實(shí)數(shù)。；

⑵求“X)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動(dòng)，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是

擊中區(qū)域乙的概率是工，擊中區(qū)域丙的概率是:，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的

348

部分.這次射擊比賽獲獎(jiǎng)規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎(jiǎng)；若擊中區(qū)域乙則有一半的

機(jī)會(huì)獲得二等獎(jiǎng)，有一半的機(jī)會(huì)獲得三等獎(jiǎng)；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎(jiǎng)；若擊中上

述三個(gè)區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎(jiǎng).獲得一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的選手被評(píng)為“優(yōu)秀射擊手”稱號(hào).

(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號(hào)的概率；

(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X

分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)直三棱柱A3C-A用G，三棱柱的底面三角形內(nèi)接于圓

柱底面，已知圓柱OQ的軸截面是邊長(zhǎng)為6的正方形，A3=AC=而，點(diǎn)P在線段

oox上運(yùn)動(dòng).

A

4

(1)證明：

(2)當(dāng)尸4=P3時(shí)，求5c與平面4PB所成角的正弦值.

18.記R上的可導(dǎo)函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)為/''(%),滿足%。4(叱川)的數(shù)列

f\Xn)

｛當(dāng)｝稱為函數(shù)“X)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列上｝為函數(shù)"x)=d—X的牛頓數(shù)列，且數(shù)

列［an］滿足q=2,=In］,%?>1.

⑴求出；

(2)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求知;

(3)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若不等式(-1)"-⑸-14<S；對(duì)任意的“eN*恒成立，

求/的取值范圍.

22］

19.已知橢圓C:j+2=1(?！?〉0)的離心率為上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,A,3是其左、右頂

a2b22

點(diǎn)，R是其右焦點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)？(/,%)(%>0)是橢圓C上一點(diǎn)，4EB的角平分線與直線AP交于點(diǎn)T.

①求點(diǎn)T的軌跡方程；

Q

②若面積為］,求為.

參考答案

1.答案：B

解析：A=1x|l<x<61?則條A=[x\x<1或x>6},

又B=<x—-—<0>={小<7},

x7

則(\A)3={x|xWl或尤>6}{尤|尤<7}={尤或6<為<7}.

故選：B.

2.答案：C

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：若m//0,ml1/3,則tz與尸平行或相交，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若mHa,nila,則機(jī)與〃可平行、異面、或相交；故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若加J_tz,mL/3,則U//尸,由垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，知故

選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若a_L/,B工丫,則。與萬平行或相交，故選項(xiàng)D不正確；

故選：C.

3.答案：D

解析：在這組數(shù)據(jù)：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12和45后，得到

16,22,24,25,31,33,35,

顯然極差由45-12=33變成了35-16=19,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

原平均數(shù)為x=-(12+16+22+24+25+31+33+35+45)=—黃=27,

現(xiàn)平均數(shù)為x'=-(16+22+24+25+31+33+35)=強(qiáng)w27,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

77

原方差為『=1[122+162+222+242+252+312+332+352+452-9x272]=.^,

現(xiàn)方差為?2=-[162+222+242+252+312+332+352-7x(―)2]=,

7749

顯然方差不同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由9義工=2.25,知原數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第三個(gè)數(shù)據(jù)22,

4

又由7義工=1.75,知現(xiàn)數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第二個(gè)數(shù)據(jù)22,即D項(xiàng)正確.

4

故選：D.

4.答案：D

解析：如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線交x軸于點(diǎn)A,反射直線與圓。相切于點(diǎn)3,

直線PA:y-3=-2(x+2),即y=-2x-1,

令y=0,解得x=—5,即4(—5,。)，

XkPA+kBA=0,所以4BA=2,

所以直線癡：y—0=2(x+g),BP2x-y+l=Q,

|6-2+1|

則點(diǎn)C(3,2)到直線直線BA:2尤-y+1=0的距離為d=

即r=A

故選：D.

5.答案：C

解析：設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則寬為3則米,

X

/^10000八)40000c[~~40000

TWJ7=(x+4)(--------1-4)=4xd-----------1-10016>2、4x--------+10016=10816,

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)4x=竺盟，即工=100時(shí)，等號(hào)成立.

X

所以平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用為1x10816=10816元.

故選：C.

6.答案：A

13

tanA+tanB-+-

解析:因?yàn)閠anC=-tan(A+B)=-1<0>

1-tanAtanBAA=-

1----X—

45

XtanA>0,tanB>0,故A刀為銳角，C為鈍角，故。=歷,

因?yàn)閥=tanx在上單調(diào)遞增，tanA<tanB,故A<5,所以avb,

又tanA=,sin2A+cos2A=1,解得sinA=—^,同理可得sinC=^^,

cosA4<172

由正弦定理得-^=」一,即:=可，解得a=VL

sinAsinC]。2

^7T

故選：A.

7.答案：C

解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F2,連接A".

又△AFg中，F(xiàn)O=OF[,FB=BA,則A用〃059|=2|0明,

由直線/:3x+4y+m=0可得/[一￡,o],呂],—q],則A]藍(lán),—羨

尤2v2(h2\

又由雙曲線C:——--1(〃>0,/?>0)可得Ac,-----,

abI〃/

則°='，則有^=至，即廿=3的

3a2a22

又W=八廿,貝ij有4/—9"—9片"=0,

整理得f-T-3412T+3=0,解之得2=6

\a)\a)a

22_

則雙曲線C:t-當(dāng)=l(a〉0,b>0)的漸近線方程為y=±A.

ab

故選：c.

8.答案：A

解析：設(shè)max{2%,3y,——-\.....-}=M,貝!jM22x,M>3y,MN——H......-,

4x29y4x29y

得3M>2x+-^--+3y+-^--=2x+---+3y+1

4x2-9y2(2x)2J而

i,7x-2

設(shè)/(x)=x+=(x>0),則/'(x)=l——7-=——7—,

XXX

令尸(%)<0=>0<%<次，f\x)>0x>V2,

所以函數(shù)在(0,次)上單調(diào)遞減，在(Q,+8)上單調(diào)遞增,

故〃無濡=/既)=次+/=斗，即

(、2)2323

33

得/(2%)之下"(3y)之丁,

VV

所以3M>2x++3y+2=f(2x)+/(3y)2三十三=餐，

(2x)(3y)-2j2f2I

得M2烏=匯,即min{max{2x,3y,^y+^y}}=次.

故選：A.

9.答案：BC

解析：對(duì)于A項(xiàng)，若z=l+i,z2=V2i,顯然滿足|zj=國(guó)，但Z]=±Z2，故A項(xiàng)錯(cuò)

誤；

1

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)4=a+歷(a,beR),則Z2=a-歷，ztz2=(<?+bi)(a-bi)-a~+b,故

2221

IZjZ21=a+Z>nUIZj|=a+b~,故B項(xiàng)正確;

2

對(duì)于C項(xiàng)，由Z；=Z[Z2可得：Z1-Z1Z2=z1(zl-z2)=0,因Z]是非零復(fù)數(shù)，故

Z；-z2=0,即Z]=Z2，故C項(xiàng)正確;

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)Z]=i時(shí)，Z]是非零復(fù)數(shù)，但Zi+L=i+1=i-i=0,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

4I

故選：BC.

10.答案：ABC

解析：選項(xiàng)A：函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,

由/(-%)=2sin2(-x)-3sin|-x|+l=2sin2x-3sin|x|+l=/(x),

可得/(x)是偶函數(shù).判斷正確;

選項(xiàng)B：當(dāng)工之0時(shí)，/(x)=2sin2x-3sinx+l,

由2sin2%-3sinx+l=0,可得sin%=L,或sinx=l,

2

貝!J當(dāng)x￡[0,2TI]時(shí)，x=二或x=二或x=空，

又是偶函數(shù)，則當(dāng)2兀,0］時(shí)，％=一《或%=—］或％=一看,

則/（“在［-2私2可上有6個(gè)零點(diǎn).判斷正確；

1

選項(xiàng)C：當(dāng)龍20時(shí),/(x)=2sin2x-3sinx+l=2

8

則當(dāng)sinx=；時(shí)〃x）取得最小值

又“X）是偶函數(shù)，則“X）的最小值為-L判斷正確;

8

/(O)=2sin2O-3sin|O|+l=l

則/</(0),則””在上不單調(diào)遞減.判斷錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.答案：ACD

解析:由/(x)=/(4-x),得/(1+x)=/(3-％)①，

/(1+x)-g(x)=4②，得/(3-幻-g(2-幻=4③，

由①②③，得g(x)=g(2-%),所以函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故A正確;

由g(x)=g(2—x),得g'(x)=—g'(2—x),令x=l,得/⑴=0；

由/(1+x)—g(x)=4,得r(l+x)—g'(x)=O,

令x=l，得八2)=g'⑴=0,

/'(2+x)-gQ+x)=O④，

又八x)+g'Q+x)=O⑤，令％=2,得八2)=g<3)=0,故B錯(cuò)誤；

④⑤兩式相加，得八2+無)+八無)=0,得r(4+x)+r(2+x)=o,

所以r（x）=r（4+x）,即函數(shù)r（x）的周期為4,故c正確;

由/'（2+x）+r（x）=0,令％=2,得八4）+八2）=0,所以八4）=0,

所以/‘⑴g"）=r⑵/⑵=r（3）g‘（3）=r（4皿（4）==尸⑺g<〃）=o（?ez）,故D正

確.

故選：ACD.

12.答案：5

nr

解析：二項(xiàng)式（2-的展開式通項(xiàng)為C；2-\-iyX,

則/項(xiàng)的系數(shù)是c：2"\常數(shù)項(xiàng)是c：2〃，

由題意得C：2?2=9亡2",即必心.2-2=--2\

222

整理得“2-〃-20=0,解之得〃=5或“=-4（舍）

故答案為：5.

13.答案：工或或3或2

4242

解析：如圖，過P作尸面ABC于。，過。作3c尸，AB,

因?yàn)槊鍭BC,ACu面ABC,所以POLAC,又OE[PO=O,OE,POu面

POE,

所以AC上面POE,又PEu面POE,所以ACLPE,故NPEO為二面角的平面角，

由題知，ZOEP=-,同理可得NPFO=巴，NPDO=P,

444

當(dāng)。在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，由OE=O尸=OD,即。為三角形的內(nèi)心，

設(shè)％ABC=/，則”;（AB+3C+AC>°r>=3OD，得到00=（，所以°P=°D=：，

三棱錐尸―ABC的體積為丫=工5。皿0尸=」產(chǎn)；

3riD<_.9

又因?yàn)镃A+CB=4>AB=2,所以點(diǎn)C在以A,3為焦點(diǎn)的橢圓上，

如圖，以所在直線為x軸，A3的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(-1,O),5(1,0),

22

由題知，橢圓中的c=l,a=2/=6，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙=1,

43

設(shè)C(x,y),因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，

當(dāng)從=巴時(shí),易知尸―1,此時(shí)|AC|=3,所以/=3人即|4。|=3,得至11=!/=工,

2294-

當(dāng)5=巴時(shí)，易知％=1,此時(shí)|AC|=3,所以C=3AB|.忸q=3,得至|丫=」產(chǎn)=!，

222294,

又因?yàn)?=6,°=1,故以。為圓心，1為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即CwE,

2

綜上所述，v=-

4；

同理，當(dāng)。在三角形ABC外部時(shí)，由OE=O尸=OD,即。為三角形的旁心，

132t

設(shè)％ABc=f，則"^(AB+BC—AC>OD=？OD，得到OD=1，

7/191

所以O(shè)P=OD=—,三棱錐尸—ABC的體積為丫=—S△皿cOP=—/=一；

3392

或/=gGBC+AC—AB)0D=0D,得到OD=f,

113

所以O(shè)P=OD=t,三棱錐尸—河。的體積為丫=一54鉆0。/>=一/=—；

334

^?=-(AC+AB-BC)-OD=-OD,得到。。=2人

22

173

所以O(shè)P=OD=2f,三棱錐尸一ABC的體積為丫=—SAMCOP=—『=三.

332

4242

0Jr1

14.答案：—/1200；--/-0.5

32

解析：由題意知，忖=,卜卜|=1,

由,+[=a+2a-b+b=1,^a-b=~—,

所以cos'/耶|

所以卜力)=§,即a與匕的夾角為弓;

-21一卜+囚卜|

(a+b)?(b-c)=a?b+b-(a+b)-c=—cos(a+b,c)=g-cos(a+b,c),

又cos(a+b,c)G[-1,1],所以g-cos(a+〃,c)Z-g,

當(dāng)且僅當(dāng)Q+b與。同向時(shí)，等號(hào)成立.

所以(〃+〃)?(/?-C)的最小值為-L

2

故答案為：—;

32

15.答案：⑴1

(2)答案見解析

一33?

解析：⑴由〃X)=OXHb21nx可得：/"(x)=a——,

由題意，/'(1)=〃一1=0,解得a=l；

(2)由⑴得/(x)=x+^+2hu,(x>0),則

X

(x+3)(x—1)

小)

當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)<0,則。(x)在(0,1)上是減函數(shù);

當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0,/(%)在(1,+co)上是增函數(shù).

故x=l時(shí)，函數(shù)/(x)有極小值為了⑴=4,無極大值.

故函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為(0,1),函數(shù)有極小值為了⑴=4,

無極大值.

16.答案：⑴U

（2）分布列見解析；E（X）=1

解析：（1）記“射擊一次獲得，優(yōu)秀射擊手，稱號(hào)”為事件A;射擊一次獲得一等獎(jiǎng)為事件

B；

射擊一次獲得一等獎(jiǎng)為事件C,所以有A=所以P（3）=g,

P（C）=ZX|=r所以P（A）=P（3C）=P（5）+P（C）=M=3

（2）獲得三等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4；

記“獲得三等獎(jiǎng)”為事件D所以「⑷十％畀，

所以P（x=。）=C目圖,喘（X=>,

P（X=2）Y鉗滬裝唱,P（X=3）=嘯冏嗤4

P（X=4）=C（m=短,所以

X01234

81272731

P

2566412864256

顯然X?E（X）=4X1=1

17.答案：（1）證明見解析

⑵￥

解析：（1）連接AO并延長(zhǎng)，交BC于M,交圓柱側(cè)面于N,

\OX±B.C,,OO]為圓柱的高，

.?.Aa、4G、oq兩兩垂直，以。?為原點(diǎn)，過點(diǎn)。1做四。1平行線為x軸，以4。1為丁

軸，以O(shè)0為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

00]=懼=AN=6,AB=AC=730,

在△ABC中，由射影定理得AC?=4w-AN=30nAM=5,

OM=AM-AO=2,

22

從而CM=BM=/而)|-5=5

a(0,-3,0),B(6,2,6),C(-A/5,2,6),BC=12后0,0b

設(shè)P(0,CU),AP=(0,3,4),

BCLPA,.

⑵由⑴可得，BP=(-75,-2,2-6),

|=\BP\,79+2+^5+4+(2-6)2,得4=3,即點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn),

.?.AP=(O,3,3),BP=(-75,-2,3)?

設(shè)平面A/B的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),

3y+32=0

則「，取y=1,得幾=,L一19

—A/5—2y—3z=015J

設(shè)5C的一個(gè)方向向量為帆=(1,0,0),于是得:

好

g

(cosn,m|二—,

211

+12+1

設(shè)5c與平面APB所成角為6,貝Ijsin。=|cos",〃4,

所以8C與平面APB所成角的正弦值為手.

18.答案：(1)4

(2)證明見解析，區(qū),=2"

25

(3)-9<r<y

解析：(1)因?yàn)?(%)=%2一％,則r(x)=2x-l,從而有

n

M"f'M-2%-「年F

上一，則2=ln/

由q=2,cin—In

24

貝U/=e2,解得藥=￡則有％=jq_e

,所以

國(guó)一1e—12xj—1e4-l

a=In—=21n-^=4；

2玉一1

片

(、2

⑵由2卷2%-1%

X“+1-1x；1X"-2x“+l

小

、2

所以an+i=InX,,+1=In=21113=24(%>1),

七一1

故空=2(非零常數(shù))，且囚=2/0,所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)

列,

所以a“=2x2"T=2"；

21—2"

⑶由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：S,,='=23-2，

因?yàn)椴坏仁?-1)”?應(yīng)1-14<5“2對(duì)任意的〃6四恒成立，又S“〉0且S"單調(diào)遞增，

所以上對(duì)任意的“eN*恒成立，令g(x)=x+吧，XG(0,-H?),

S"x

則g'(x)=l-4—r~>當(dāng)可時(shí)，g，(x)<0,g(尤)是減函數(shù)，

XX

當(dāng)xe(J14,+oo)時(shí)，gr(x)>0,g(x)是增函數(shù),

X2=S1<V14<S2=6,且g(2)=9,g(6)=y,g⑹<g(2),則

g(x)11m=8(6)=m，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，原式化簡(jiǎn)為此5'+將，所以當(dāng)〃=2時(shí)，注生；

S.3

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，原式化簡(jiǎn)為T<S"+旦，所以當(dāng)”=1時(shí)，-t<9,所以后-9；

5.

75

綜上可知，-9W2.

3

22

19.答案：⑴上+匕=1

43

(2)①x=4(y>0)

②/=1