2022-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末考試

一、單選題（共8題）

1.設(shè)加為實數(shù)，已知直線4：2龍+3y-2=0,/2/+（2m-l）y+l=0,若〃兒,則加

的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)S“為等差數(shù)列｛a“｝（"eN*）的前〃項和，若Sg=27,則4+&=（）

A.9B.6C.3D.0

3.過點（3,2）且與橢圓3/+8y2=24有相同焦點的雙曲線方程為（）

222222

A.工-匕=1B.匕-土=1C.工-二=1D.

555523

22

土-J

32

4.如圖，已知函數(shù)於）的圖像在點尸（2,/⑵）處的切線為/,則/⑵+/'（2）=（）

5.直線y=2x+nz與曲線（=j4—d恰有兩個交點,則實數(shù)取值范圍是（）

A.[T,4]B.[4,2際）C.（-2^,4]D.[-2,4]

6.中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造

頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中A+i耳，AA，

44=4+14+1（i=1，2,3,4）,且數(shù)列（i=1,2,3,4）是第二項為2的等差數(shù)列.若以

[J5

4為坐標(biāo)原點，以A4,44分別為心，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的

斜率為（）

C.0.5D.0.55

-eA+2,%<0

設(shè)。為實數(shù)，若函數(shù)/■(%)=113有且僅有一個零點，貝M的取值范圍是

7.

—X-4x+?,x>0

0

1616C.與+0

A.—00,——B.—co,——D.

33

16

—,+CO

3

22

8.己知點尸為雙曲線C：^—2=1,〉0]>0)右支上一點，耳，鳥分別為C的左，右

焦點，直線尸耳與C的一條漸近線垂直，垂足為若|尸娟二4|町則該雙曲線的離心

率為()

57

C.一D.-

A?半B?a33

二、多選題(共4題)

9.將y=/(x)和y=/'(x)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不正確的是()

10.己知直線y=x+l與橢圓C：二+工=1交于A,8兩點，若尸是直線A3上一點，。

63

為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有()

A.橢圓。的離心率注

2

B小平

C.OALOB

D.若耳，鳥是橢圓C的左右焦點,則|尸閭尸耳歸2上

11.設(shè)S.為數(shù)列｛a〃｝("cN*)的前w項和，則下列結(jié)論正確的有()

A.若｛小｝為等比數(shù)列,公比為q,則S2“=(l+q")S"

B.若｛斯｝為等比數(shù)列，s,3p,qGN,且。s〃尸。p〃q,則s+Up+g

C.若｛斯｝為等差數(shù)列，則為常數(shù))仍為等差數(shù)列

D.若｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列，則必存在不同三項如，aq,ar,使得〃p2=Q/r

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知E為拋物線;/=尤的焦點，點人(石,乂),3(%2，y2)在

UULUUU

該拋物線上且位于無軸的兩側(cè)，。4.。5=2,貝N)

A.%々=6B.直線AB過點(2,0)

C.A3O的面積最小值是20D.430與VAR9面積之和的最小

值是3

三，填空題(共4題)

13.設(shè)拋物線y2=2px(Q〉0)的焦點E,若拋物線上一點河(2,%)到點E的距離為6,則

為=一?

14.函數(shù)—,則r?=_____

sinx+cosxV47

15.設(shè)機為實數(shù)，已知函數(shù)/■(x)=e“—e-'+Zsinx,則不等式/Q/”)>/(加―2)的解集

為

16.已知數(shù)列｛a,｝(〃eN)滿足：an>Q,其前n項和S'=+，"一」,數(shù)列｛2｝

("eN*)滿足d=(-l)H」tL,其前〃項和J；,設(shè)彳為實數(shù)，若7；<4對任意(“eN*)

anan+l

恒成立，則2的取值范圍是.

四、解答題(共6題)

17.己知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線x-y+2=0相切、切點為4(2,4).

⑴求圓C的方程；

(2)己知斜率為-1的直線/與圓C相交于不同的兩點加、N,若直線/被圓截得的弦的

長為14,求直線/的方程.

18.己知數(shù)列｛g｝(“eN*)各項均不為0,且滿足

⑴求｛g｝通項公式

⑵令包=。+〃(neN*),求數(shù)列｛2｝的前"項和為

an

19.設(shè)。為實數(shù)，已知函數(shù)"對=§7尤3-15(4+1卜2+9

⑴討論〃力的單調(diào)性

⑵若過點(0,10)有且只有兩條直線與曲線y=gx3-；(a+l)Y+3+1相切，求。的值.

20.如圖，曲線y=右下有一系列正三角形，設(shè)第"個正三角形.匕Q(Qo為坐標(biāo)原

點)的邊長為a”，

⑴求6,%的值

⑵記S“為數(shù)列｛a,J的前〃項和，探究知+i與S”的關(guān)系，求｛a“｝的通項公式.

21.己知橢圓C：++%=l(a〉b>0)離心率為g,且過點(1,,)

⑴求C的方程

⑵己知A,2是C的左右頂點，過右焦點廠且斜率不為0的直線交C于點M,N,直線AM

K+k2

與直線x=4,交于點P,記必，PF,BN的斜率分別為K，白，&，問六7^，是否是定值如

果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由.

22.已知函數(shù)，(x)=h(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求犬犬)的最大值；

⑵設(shè)。為整數(shù)，若e*Nin(x+a)在定義域上恒成立，求a最大值;

34〃+]p

(3)證明In2+(In-)2+(In-)3+L+(In——)"<——.

23ne-1

2022-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末考試

一、單選題(共8題)

1.設(shè)加為實數(shù)，已知直線4：2x+3y-2=0,"m+Qm-1*+1=0,若〃〃2,則加

的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用兩直線的方程及平行關(guān)系，列式計算作答.

【詳解】直線4：2x+3y—2=0,小叩+Q機—Dy+l=0,且“4，則有

m2m—11“口八

~2------w—，解得HZ=2,

所以加的值為2.

故選：B

2.設(shè)S"為等差數(shù)列{a“}(〃eN*)前力項和，若Sg=27,則％+4=()

A.9B.6C.3D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前“項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.

【詳解】等差數(shù)列{4}(〃eN*)的前項和為S,則5=啊廣)=

nn927,解得q+%=6,

所以%+%,=%+為=6.

故選：B

3.過點(3,2)且與橢圓3/+8/=24有相同焦點的雙曲線方程為()

222222

A.土-匕=1B.匕-土=1C.土-匕=1D.

555523

22

32

【答案】D

【解析】

尤2V294

【分析】設(shè)雙曲線的方程為斗-一二=1,再代點解方程-------^=1即得解.

2c2"C"

a3—aaj—a

22

【詳解】解：由3/+8/=24得土+匕=1,

'83

所以橢圓的焦點為（逐,0）,（-百,0）.

V2y2

設(shè)雙曲線的方程為斗-=1,

a5-cr

因為雙曲線過點（3,2）,

94

所以方一

c2=1,r.a'=3.

a5-a

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1.

32

故選：D

4.如圖，已知函數(shù)段）的圖像在點尸（2"（2））處的切線為/,則〃2）+/'（2）=（）

C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合,求出切線斜率和切點坐標(biāo)，即可計算/（2）+/'（2）.

【詳解】由圖像可得，切線過點（0,4）和（4,0）,切線斜率為左=三=—1,/,（2）=-1,

切線方程為?=則切點坐標(biāo)為（2,2）,有了（2）=2,

所以〃2）+r（2）=2-1=1.

故選：D.

5.直線y=2x+m與曲線y=J二巨恰有兩個交點，則實數(shù)機取值范圍（）

A.[T,4]B,[4,2A/5）C.（-275,4]D,[-2,4]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】曲線y=j4—V表示圓門+丁=4在X軸的上半部分,

當(dāng)直線y=2x+7%與圓_?+＞2=4相切時，5=2，解得加=±2否，

當(dāng)點（一2,0）在直線y=2x+加上時，加=4,可得44根＜2后，

所以實數(shù)機取值范圍為[4,2有）.

故選：B.

6.中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造

頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中AA'〃AMA'+I,A+14，AA,

A4=A+14+1（1=1,2,3,4），且數(shù)列（i=1，2,3,4）是第二項為-的等差數(shù)列.若以

[44J5

4為坐標(biāo)原點，以A4,44分別為無，＞軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線4人4的

斜率為（）

A.0.4B.0.45C,0.5D.0.55

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列＜^^?=1,2,3,4）是第二項為：的等差數(shù)列可得普=[,令

A.B2=5t,則根據(jù)題干可得：A4=4+i4+i=51i=l,2,3,4）,再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即

可求解.

【詳解】由題意可知：益A.B.行2,令35t,A^=2t,因為

44=4+島[=1，2,3,4),

所以A4=A+14+1=5《i=123,4),

因為數(shù)列!與小2

>(i=l,2,3,4)是第二項為飛的等差數(shù)列,

[A4

442j2—5d

設(shè)公差為d,則不L=￡—d=一丁，因為4g=57,所以4月=2/-5山,

An,JD

同理A4B3=2t+5力,

+4區(qū)2+人4,32t—5力+2%+2,+5力6t604

則直線AA4的斜率上=

44+462+4333x5t%15t15'

故選：A.

x-ex+2,x<0

7.設(shè)。為實數(shù)，若函數(shù)y(x)=<13有且僅有一個零點，貝心取值范圍是

—x-4%+<2,x>0

13

()

161616

A.—GO,——B.—00,——5,+8D.

33

16

——,+8

3

【答案】C

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)〃司的單調(diào)性，利用零點存在定理可知函數(shù)/(%)在(》,0］上

只有一個零點，則函數(shù)/(%)在(0,+")上無零點，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(%)在(0,+“)上

的單調(diào)性，可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)尤<0時，f{x}=x-e+2,則/'(x)=l—川20且/'(%)不恒為零,

所以，函數(shù)/(力在(7,0］上單調(diào)遞增，所以，/(x)</(o)=2-l=l,

又因為/(—2)=—不<0,所以，函數(shù)八%)在(7,0］上只有一個零點；

因為函數(shù)/⑴只有一個零點，則函數(shù)八％)在(0,+⑹上無零點，

則當(dāng)x>0時，/(x)=-^x3-4x+a,則/'(%)=*2—4,

由r(x)<0可得0<%<2,由了")>?？傻脁〉2.

所以,函數(shù)/(力在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

所以,只需1(2)=。---->0，解得Q>----.

33

故選:C.

尤2y2

8.已知點p為雙曲線。：一=l(a>0/>0)右支上一點，耳，鳥分別為C的左，右

焦點，直線P耳與C的一條漸近線垂直，垂足為H,若歸耳|=4|町則該雙曲線的離心

率為()

A.正57

C.一D.-

333

【答案】C

【解析】

【分析】

取尸耳的中點M,連接叫，由條件可證明嗎說明|P6|=2c,利用點到直線

2

a+c

的距離求QM=a,公。孫中，根據(jù)勾股定理可得/+I=°2,整理為

~2~

3c2-2ac—5a2=0，再求雙曲線的離心率.

【詳解】取p片的中點加，連接加用，由條件可知|町|=：|咫|=；M胤，

。是耳瑪?shù)闹悬c，

又-OHVPFX,MF2±PFX

.?.|耳閭=忸閭=2°,

根據(jù)雙曲線的定義可知忸耳|=2a+2c,

.??阿=等

直線尸石的方程是：y=—(x+c),即以一刀+。。=0,

b

ac\

原點到直線的距離|。川=

-I——CL,

sla2+b2

2

2a+c2

町中，a+\=C

~2~

整理為：3c2-2ac-5?2=0，

即3e?—2e—5=0，

解得：e=-,或e=—l（舍）

3

故選：C

【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸，計算能力，屬于中檔題型，一

c

般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出。，。，然后利用公式e=—求解；2.公式法:

a

3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出。的齊次方程，通過等

式兩邊同時除以小，進而得到關(guān)于e的方程.

二、多選題(共4題)

9.將y=/(x)和y=/'(%)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不正確的是()

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系判斷各選項中y=/(力和y=/'(%)的圖象是

否合乎要求，同時也要注意特殊點處的導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，由此可得出結(jié)論.

【詳解】對于A選項，由函數(shù)y=/'(x)的圖象可知，/'(0)=0,但函數(shù)y=/(x)在x=0

處的切線斜率不存在，不合乎題意；

對于B選項，由函數(shù)y=/'(x)的圖象可知，函數(shù)丁=/(%)存在增區(qū)間，但B選項的圖中，

函數(shù)y=/(x)為減函數(shù)，不合乎題意；

對于C選項，由函數(shù)y=/'(x)的圖象可知，函數(shù)y=/(x)在R上為增函數(shù)，合乎題意；

對于D選項，由函數(shù)y=/'(x)的圖象可知，函數(shù)y=/(x)有兩個單調(diào)區(qū)間，但D選項的

圖中，函數(shù)y=/(x)有三個單調(diào)區(qū)間，不合乎題意.

故選：ABD.

【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，在判斷時要注意導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性

之間的聯(lián)系，考查推理能力，屬于中等題.

22

10.己知直線、=尤+1與橢圓。：二+匕=1交于A,8兩點，若P是直線A5上一點，0

63

為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有()

A.橢圓。的離心率注

2

B.|陰=半

C.OALOB

D.若耳,丹是橢圓C的左右焦點，則|尸團-1尸周W2上

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程即可求離心率，從而判斷A；根據(jù)直線與橢圓相交弦長求解公式，利

用“聯(lián)消判韋”即可求得長，從而判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合交點坐標(biāo)關(guān)系即可

判斷C；利用對稱性，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得片耳|最大值，從而判斷D.

22

【詳解】解：由橢圓C:±+匕=1知，a2=6,b-=3,則02=片—〃=3,所以

63

-=^=—,故A正確;

a=V6,b=A/3,c=A/3,故離心率e

ay/62

y=x+1

設(shè)4（%,%）,5（%2，％2），則y2_，所以3爐+4%-4=0，則

163

44

X1+尤2=一1，%龍2=~~

872

故|=A/1+12—x,|=^2x故B正確;

則

OAOB=X]*,+%%=%*。+（再+l）（x,+1）=2XJX+（±+X,）+1=2X

2dJie。

,所以Q4與03不垂直，故C不正確;

因為耳，鳥是橢圓C的左右焦點，所以片（一唐,。）,月（6,0）,若P是直線A5上一點,

-AzL.1=_i

Er,解得

設(shè)尸2關(guān)于直線A3對稱的點為E,設(shè)石（毛,%），貝1b

%+°=%+.31]

2-2"

xo=-1

,即；

y0=1+73

則歸閭—I尸耳1=1尸耳T尸周，又由三角形三邊關(guān)系用得|尸耳一|尸耳歸山￡|"山周=廬同,

又|E耳|="1+6『+(—1+6『=2貶,即歸閭—|。片區(qū)2行，故D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)S,為數(shù)列｛a〃｝("eN*)的前〃項和，則下列結(jié)論正確的有()

A.若｛?。秊榈缺葦?shù)列，公比為q,則S2“=(l+q")S,

B.若｛斯｝為等比數(shù)列,s,t,p,qGN,_Easat=apaq,則s+Up+q

C.若｛詼｝為等差數(shù)列，則｛F](p為常數(shù))仍為等差數(shù)列

D,若｛小｝為等差數(shù)列，則必存在不同的三項劭，aq,ar,使得他2=他以

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：直接公式代入驗證即可；對于B：當(dāng)公比4=1時，可排除；對于C：公式

代入，再定義證明即可；對于D：假設(shè)成立，推出4=，可判斷.

詳解】對于A：當(dāng)q=1時,S2n=2〃％,(1+q")Sn=(1+l)〃q=2nax,S2n=(1+q")Sn；

當(dāng)4Hl時，S2“=*/")=W)(1T)=(l+q〃電,故A正確；

1-q1-q

對于B：當(dāng)公比q=l時，顯然不成立，故B錯誤；

對于C：因為｛斯｝為等差數(shù)列，設(shè)5“=4/+珈(43是常數(shù))，令皿=",則

n

bn=pAn+pB,:.bn-bn_x=pAn+pB-pA(nT)-pB=pA,則為等差數(shù)歹!J.

故C正確；

對于D：假設(shè)必存在不同的三項即，aq,ar,使得ap2=a?r,

dp=[q+(/?—l)d]=%?+2%(p—l)d+(p—Y)2d2,

2

aqar=[%+(q_l)d][q+(r-l)d]=a；+a1(^+r-2)J+(^-l)(r-l)6?,

/.a；+2q(p—V)d+(p—if=a；+q(q+r—2)d+(q—1)(F—l)d2,

根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等，可得.,.2(7—l)=q+r—2,且(p—1)2=(-1),

—2)2=(4_])(-]),即(q—r)2=0,即4=-，與4"不同矛盾.故D錯誤.

故選：AC.

12.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知E為拋物線/二》的焦點，點人(玉,%),5(%2，%)在

該拋物線上且位于X軸的兩側(cè)，。4.03=2，貝網(wǎng))

A.不乙=6B.直線AB過點(2,0)

C.430的面積最小值是2五D.ABO與VMO面積之和的最小

值是3

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)A3：x^my+n,聯(lián)立方程后得關(guān)于》的一元二次方程，由韋達定理寫出

97OUULuim

%%=一"，，再由。4.。5=2，即可得“2—〃=2，再結(jié)合％%<0,

求解出〃=2,從而判斷AB,再根據(jù)三角形面積公式表示出ABO與VAFO的面積，由

基本不等式可判斷CD.

x=my+n。

【詳解】設(shè)AB：x=my+n,〈，消x可得y—機y-〃=0.

y=x

%%=一〃，得%光2==〃2，OAOB=2,n2-n=2>則"=2或-1

：%%<°，，附>0，?,?"=2,西馬=4，故A錯；

AB：x=nzy+2過(2,0),故B對；

設(shè)定點P(2,0),S.=SAOp+SBOP=-2-\yi\+-2-\y2\

2

=|x—%|=X+1當(dāng)且僅當(dāng)乂=±0時，取等號，故C對；

又SABO+SAFO=1%—%|+彳,民卜]=|%一+

Z4o

11ar~9

不妨設(shè)%>°，又％],0),%ABO+S-FO=?%-%+$%%22卜=3，

4oovo

9

當(dāng)且僅當(dāng)7%=-為時，取等號，故D對.

8

故選：BCD.

【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；

(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、

弦長、斜率、三角形的面積等問題.

三，填空題(共4題)

13.設(shè)拋物線>2=2川(2〉0)的焦點/，若拋物線上一點加(2,%)到點廠的距離為6,則

y0=一?

【答案】±472

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義得P=8,由點河(2,%)在拋物線上，代方程即可解決.

【詳解】由題知，拋物線V=2px(p〉0)的焦點E,拋物線上一點河(2,%)到點廠的距

離為6,

所以|MF|=2+g=6,得2=8,

所以拋物線為丁=16x,

所以方=16-2=32,解得為=±40,

故答案：土4五

14.函數(shù)〃尤)=.,則廣仔］=_____

sinx+cosx14J

【答案】I

【解析】

71

【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)除法法則求出導(dǎo)函數(shù)，然后將一代入求值，即可求出所求.

4

,.cos%(sin+cos%)-sinx(cosx-sinx)1

［詳解］f(x)=~=~T.口，

(sinx+cosx)(sinx+cosx)

故答案為g.

【點睛】本題考查基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和兩項商的導(dǎo)數(shù)公式，公式要記準(zhǔn)記牢，訓(xùn)練運算能

力，屬基礎(chǔ)題.

15.設(shè)機為實數(shù)，已知函數(shù)/■(x)=e，—e^+Zsinx,則不等式/(2根)>/。九―2)的解集

為______

【答案】(-2,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式作答.

【詳解】函數(shù)/'(x)=e*+2sinx的定義域為R,求導(dǎo)得：f'(x)=ev+e-x+2cosx,

而e*+eT22jeJeT=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，2cos%>-2,當(dāng)且僅當(dāng)

%=(2左一1)兀,左￡2時取等號,

因此/'(x)>。，即函數(shù)，(%)在R上單調(diào)遞增，則

/(2m)>/(m-2)o2m>—2,

所以不等式/(2m)>f(m-2)的解集為(―2,+s).

故答案為：(—2,+oo)

16.已知數(shù)列｛為｝("eN)滿足：名〉0,其前九項和Sn=)+："—③，數(shù)列也“｝

(“6^)滿足勿=(一1)向「匕，其前"項和7“，設(shè)彳為實數(shù)，若(<4對任意(〃eN*)

anan+l

恒成立，則2的取值范圍是.

【答案】(—,+oo)

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛g｝的通項公式，進而求出以并裂項，再按幾分奇偶求

出T,即可推理作答.

【詳解】\/neN*，4〉0，且4S“=a；+2a.一3,則當(dāng)"22時，4S“_]=+2an_t-3,

兩式相減得4a“=a；—a；-+2a“—2a“_1,即｛an-an_i)｛an+an_^=2a+%),

因此a"-a*發(fā)=2,而4ai=4S]=>+2%-3,即a；-2%-3=0,又。>0,解得%=3,

于是數(shù)列｛與｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，即有4=4+2(“-1)=2〃+1,

b=(-i)n+1———=L-+,

(2n+l)(2n+3)42n+l2n+3

T_1、/1、/1、/I1、，11、/11VI

&(二+夕+勺+§)—W+n)++(g+m)—(W+E)]

_ll1、T_T/_1,11-1/1,1,1.11、

丁(r丁E)'或T=&—公=不丁審)+/罰+—)=+

顯然數(shù)歹!!｛(“｝是單調(diào)遞增的，V〃eN*，(〃<七，數(shù)歹是單調(diào)遞減的，V〃eN*，

，2」二g

因為V〃wN*，不等式恒成立，則7〃￡?4*，不等式心〃<丸且恒成立，

122

因此％N—且%>—,即有X>—,

121515

所以2的取值范圍是(2,+8).

故答案為：(百計00)

【點睛】易錯點睛：裂項法求和，注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可

漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與

目的.

四、解答題(共6題)

17.已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線x-y+2=0相切、切點為A(2,4).

⑴求圓C的方程；

(2)己知斜率為-1的直線/與圓C相交于不同的兩點M、N,若直線/被圓截得的弦的

長為14,求直線/的方程.

【答案】⑴(％—7y+(y+iy=50

⑵x+y-6+近=0或x+y-6-=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)垂直得到直線方程，設(shè)圓心為(a,-。+6),半徑為人將兩點帶入圓方程

解得答案.

(2)設(shè)直線方程為y=-x+。，計算圓心到直線的距離為d=l,根據(jù)點到直線的距離公式得

到答案.

【小問1詳解】

直線x-y+2=0斜率為1,故左忙=一1，故直線AC方程為y=-(％-2)+4=-％+6,

設(shè)圓心為(a,—a+6),半徑為小貝ay+(y+a—6)2=/,

(-tz)2+(tz-6)2=r2a=7

將原點和A(2,4)帶入原方程得到<；,，解得<

(2-a)+(4+a-6)'=r2r=5y/2

故原方程為：(x—7y+(y+l)2=50.

【小問2詳解】

設(shè)直線方程為y=_龍+人，即尤+y—人=0,

弦長為14,故圓心到直線的距離為d="―72=750-49=1，

|7—1—Z?|「

即d=/■=1,解得b=6+y/2，

Vi2+i2

故直線方程為x+y-6+A/^~=0和x+y~6—yfl=0.

18.已知數(shù)列{a“}("GN*)的各項均不為0,且滿足

n(n+l)

11、k+口

⑴求｛g｝通項公式

⑵令a=—+n(neN：）,求數(shù)列｛々J的前幾項和為小

An

【答案】（1）4=/一

"]—4"

n(n-1)

-2~

【解析】

【分析】（1）根據(jù)遞推公式，當(dāng)”=1時，直接求用,當(dāng)2時，用前w項積除以前〃-1項

積的方法化簡，可求｛。,｝通項公式；

（2）2=j+〃-1,然后利用分組求和的方法即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)”=1時，1+—=f-^,解得％=—△,

%3

當(dāng)n>2時由得

兩式相除得:

4

當(dāng)”=1時ax=--滿足,

4"

所以a“=

1—4'

【小問2詳解】

11-4"1,,11

由⑴可知，—-1所以“=一+“=京+〃―1

a.,4"4"an4

所以，=[++。[+[*+1]+[/+2]++["+"T

=[+**++2[+口+2+3++S-D]

iLny-

4_(4)_++_i1]11“("—I)

一1Tl-+2—§]―—+-2-'

~4

21

19.設(shè)。為實數(shù)，已知函數(shù)〃力二1光—耳(々+1)%2+9

⑴討論/(x)的單調(diào)性

⑵若過點(0,10)有且只有兩條直線與曲線y=gx3-；S+i)f+辦+1相切，求。的值.

【答案】(1)答案見解析

(2)a=5

【解析】

【分析】(1)求得/'(x)=2f—(a+l)x,對實數(shù)。的取值進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號

變化，即可得出函數(shù)/(力的增區(qū)間和減區(qū)間；

⑵設(shè)切點為g(a+l)J+〃+lj,利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點(0,10)的坐標(biāo)代

入切線方程，可得出/(。=0,結(jié)合(2)中的結(jié)論以及三次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于。的

等式，解之即可.

【小問1詳解】

因為/(尤一：(°+1)尤2+9,則/f(%)=2x2-(?+1)%,

由/'(尤)=0可得%=0,x2=~~~>

①當(dāng)?shù)?0時，即當(dāng)°=-1時，對任意的xeR,/'(x)?0且/'(x)不恒為零，

此時，函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(-00,+8),無減區(qū)間；

②當(dāng)叫<0時，即當(dāng)a<—l時，由r(x)<0可得叫<x<0,由戶")>。可得了<竺1

222

或%>0,

此時，函數(shù)/(%)的減區(qū)間為,增區(qū)間為(0,+“)；

③當(dāng)?shù)取?時，即當(dāng)a>—1時，由r(x)<0可得0<x〈言，由制》)>。可得x<0或

a+1

x>----，

2

此時，函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(0,號口，增區(qū)間為(一8,0)、［苫L+°°J

綜上所述，當(dāng)a=-l時，函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(-<「”)，無減區(qū)間；

當(dāng)a<—l時，函數(shù)/(%)的減區(qū)間為1號上。］,增區(qū)間為［一小皂。］、(0,+“)；

當(dāng)a>—1時，函數(shù)/(%)的減區(qū)間為,增區(qū)間為(一8,0)、［苫上+°01

【小問2詳解】

解：設(shè)切點為，一萬(。+1)/+a/+lj,

3

對函數(shù)y=gx—；(a+l)%2+av+i求導(dǎo)得y二—(〃+］)%+〃，

所以，切線方程為y—+1)/+。,+1=［產(chǎn)—(a+l)%+a］(xT),

9i

將點(0,10)的坐標(biāo)代入切線方程整理可得§/—5(〃+1)d+9=0,即/(/)=0,

故關(guān)于t的方程f(t)=0有兩個不等的實根，

①當(dāng)〃=-1時，函數(shù)/?)在R上單調(diào)遞增，則方程/?)=0至多一個實根，不合乎題意；

②當(dāng)。<一1時，則極小值=/(0)=9>。，故當(dāng)。>一時，

此時方程/(。=0至多一個實根，不合乎題意；

③當(dāng)a>—1時，則/⑺極大值=〃。)=9>。，

則/⑺極大值=/［等］=9_=(。+1)3=0,解得a=5,合乎題意.

綜上所述，a=5.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本

性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

⑶參變量分離法：由/(x)=o分離變量得出a=g(%),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=a與

函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

20.如圖，曲線y=?下有一系列正三角形，設(shè)第"個正三角形.為坐標(biāo)原

點)的邊長為%,

(1)求％,生的值

⑵記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項和，探究4+1與S,的關(guān)系，求｛%｝的通項公式.

24

【答案】(1)6=§,iz2=—；

2

⑵4=”

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，用。1，出表示出點片，鳥的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計算作答.

(2)根據(jù)給定條件，利用4+1與s”表示出點4+1的坐標(biāo)，代入曲線方程即可得4+1與S”的

關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出通項作答.

【小問1詳解】

依題意，—2出。為正三角形，且1。0。1=%〉0,觀察圖象得弓4),而點6在曲

線y=yfx上，

即#%=/1，解得q=|，△。鳥。2為正三角形，且1。121=。2〉°，點

8在曲線,=6上，

*2=/+；%，整理得%；—2a2—1=0,解得出=3，

24

所以％=—，a,=—.

3-3

【小問2詳解】

+i2+i是正二角形，點,122+11=?！?1>。,于是點5+i（s〃+；?！?1，手〃〃+i）

在曲線y=y[x上，

貝博%+1=\k”+；%，即S.=]a；+i—"+1，當(dāng)"之2時,S"_i="一；4,

T■乙T■乙

3131

兩式相減得:%2%9-尹+「（不9"一/）’整理得

a

（*+4）（。n+1_Q〃）--（n+l+a〃），

22、2

則%+1一〃〃=§，而。2-滿足上式，因此V〃￡