專題02常用邏輯用語

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.

2.理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系.

3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對兩種命題進行否定.

【考點預測】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若gq，則一是。的充分條件,q是P的必要條件

，是。的充分不必要條件尸。且dP

P是q的必要不充分條件省,且gp

。是。的充要條件P^Q

P是。的既不充分也不必要條件中q且葉p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”

表布.

(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“m”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對〃中的任意一個X,有0(X)成立存在〃中的元素X,p(x)成立

簡記YxGM,.(X)3xGM,夕(x)

否定mxGM,非夕(x)YxGM,非夕(x)

【常用結論】

1.區(qū)別4是8的充分不必要條件(46且B=>A),A的充分不必要條件是BgA且An用

兩者的不同.

2.充要關系與集合的子集之間的關系，設/={x)(x)},6={x[°(x)},

(1)若/UH則。是g的充分條件，。是"的必要條件.

(2)若/是8的真子集，則。是g的充分不必要條件，g是。的必要不充分條件.

(3)若4=8,則。是g的充要條件.

3.0是g的充分不必要條件，等價于非g是非。的充分不必要條件.

4.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結論”.

5.對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.

6.命題。和非"的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真

假.

【方法技巧】

1.充分條件、必要條件的兩種判定方法：

(1)定義法：根據(jù)-0,gp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)0,g對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

2.充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列

出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

3.量詞的否定注意事項

(1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結論.

(2)判定全稱量詞命題“Vxe弘0(x)”是真命題，需要對集合〃中的每一個元素x,證明

0(x)成立；要判定存在量詞命題°(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個X,

使0(x)成立即可.

(3)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二

是利用等價命題，即。與非o的關系，轉化成非o的真假求參數(shù)的范圍.

二、【題型歸類】

【題型一】充分、必要條件的判定

【典例1】己知0：q：log2X0,則0是1的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【典例2】等比數(shù)列｛aj的公比為q,前〃項和為S.設甲：口＞0,乙：｛￡｝是遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【典例3】在△45C中，是“△/8C為直角三角形”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【題型二】由充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍

【典例1］已知集合/={x|X。-8x—20W0},非空集合6={x|1—勿WxWl+勿}.若xGR是

xe8的必要條件，求力的取值范圍.

【典例2】已知0：x2a,<7：|x+2a|<3,且。是g的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.(—8,—1］B.(—8,—1)

C.［1,+°°)D.(1,+°°)

【典例3］若不等式(x—a)、l成立的充分不必要條件是KX2,則實數(shù)a的取值范圍是

【題型三】充要條件的探求與證明

【典例1】數(shù)列{aj的前〃項和5=助2+創(chuàng)(48是常數(shù))是數(shù)列{aj是等差數(shù)列的什么條件？

【典例2］已知RGZ,關于x的一元二次方程

/一4丫+40=0,①

Y—4?—5=0,②

求方程①②的根都是整數(shù)的充要條件.

【典例3]求方程a/+2x+l=0至少有一個負實根的充要條件.

【題型四】全稱量詞與存在量詞

【典例1】下列四個命題中真命題是（）

A.n^n

B.V/￡R,m,n=m

C.V〃￡R,三力￡R,m<n

D.VR,n<n

【典例2】下列命題中的假命題是（）

A.Vx￡R,2、T>0B.VX￡N+,（^-l）2>0

C.1gx<lD.mx￡R,tanx=2

【典例3】已知命題口Vxi,X2^R,[/1（加-（X2—矛1）20,則「夕是（）

A.3x\,至仁R,[/（A2）—/1（矛I）]（X2—￡1）WO

B.Yx\,H￡R,"（X2）（上2—荀）<0

C.3xi,用￡比［f（x2）］（^2—^i）<0

D.VJTI,X26R,"（X2）—F（XI）］（X2—X1）<O

【題型五】命題中參數(shù)的取值范圍

【典例1】已知f(x)=ln(V+l),g(x)=3'—0,若對VX1G03],[1,2],使得

_f(xi)2g(*2),則實數(shù)〃的取值范圍是.

i5

【典例2]已知命題“Vx￡R,V—5入+5眇0”的否定為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

【典例3】若命題"Vx￡[l,4],4x—是假命題，則力的取值范圍是()

A.-4W勿W—3B.水一4

C.一4D.l

三、【培優(yōu)訓練】

V——V—I—1

【訓練一】已知函數(shù)/1(*)=——L(XN2),g(x)=a*(a>l).

x~\

(1)若mxG[2,+8),使/>(x)=0成立，則實數(shù)0的取值范圍為；

⑵若VxP⑵+8),3^e[2,+8),使得/'(不)=&(蒞)，則實數(shù)a的取值范圍為.

【訓練二】(多選)下列說法正確的是()

A."ac=bc”是“a=b”的充分不必要條件

B.'』>)'是"a<6”的既不充分也不必要條件

ab

C.若是“xGB”的充分條件，則短6

D.“0>占>0"是〃22)”的充要條件

【訓練三】f(x)=-x—6x—3,記max{p,,}表示p,q二者中較大的一個，函數(shù)g(x)=

maxj^"-2,log2x+3〔，若正一2,且\/荀￡[勿，—2],三范￡[0,+°°),使F(E)=g(x2)成

立，則力的最小值為.

X2V2

【訓練四】已知夕：實數(shù)〃滿足3水加4Ho>0),。：方程---7+o--=1表示焦點在P軸上

m—1z—m

的橢圓，若P是°的充分條件，則a的取值范圍是.

【訓練五】設函數(shù)F(x)=lg(V—x—2)的定義域為集合4函數(shù)g(x)=、/=—1的定義域為

集合8已知。：x^A^B,￡：x滿足2x+pW0.且。是￡的充分條件，求實數(shù)0的取值

范圍.

【訓練六】(多選)已知在R,則使命題伶，兀}V—sinx—為真命題的一

個充分不必要條件是()

A.水1B.aW2

Ji2—4Ji2—4

C.a<.—7—D.--—

44

四、【強化測試】

【單選題】

1.設〃為全集，48是集合，則“存在集合C使得/UG醫(yī)是"/C6=0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.命題必存在常數(shù)列不是等比數(shù)列，則命題「。為()

A.任意常數(shù)列不是等比數(shù)列

B.存在常數(shù)列是等比數(shù)列

C.任意常數(shù)列都是等比數(shù)列

D.不存在常數(shù)列是等比數(shù)列

3.設平面向量a,b,c均為非零向量，則(/>—c)=0^是"6=c"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知f(x)=sinx-x,命題p：3xE^0,5)f{x}<0,貝I」()

A.p是假命題，r>：Vxe(0,—/1(x)

B.0是假命題，5)，f(x)20

C.。是真命題，r>：Vxd(o,5)，f(x)Z0

D.。是真命題，―>p：mxG(O,5}f(x)》0

5.已知命題“三的6R,使2/+(a—1)劉+(WO”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-1)B.(-1,3)

C.(—3,+°°)D.(-3,1)

6.王昌齡的《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中

“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.“l(fā)n（x+l）〈O”是“/+2求0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

/+1

8.是“Vx>0,-----------Na”的（）

x

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【多選題】

9.已知a,b,c是實數(shù)，則下列結論中正確的是（）

A.5戶是“力6”的充分條件

B."￡>夕是“故b”的必要條件

C."a/>b"是“a>6”的充分條件

D.“aM引”是aa>bn的既不充分也不必要條件

10.下列說法正確的是（）

JI

A.“才=7”是“tanx=l”的充分不必要條件

B.定義在［46］上的偶函數(shù)F（x）=/+（a+5）x+6的最大值為30

C.命題“mx°GR,x+—^2,'的否定是“VxGR,x+->2>,

0XoX

D.函數(shù)y=sinx+cosx一短無零點

11.下列命題的否定是全稱命題且為真命題的有（）

一2.1

A.x—^+~<0

B.所有的正方形都是矩形

C.x?+2x+2=0

D.至少有一個實數(shù)x,使城+1=0

12.已知兩條直線，力及三個平面￡,y,則的充分條件是（

A./ua,/_L￡B.1.\_a,〃_L￡,ILm

C.a_L/,&//yD.7ca,g8,IVm

【填空題】

13.若命題0的否定是“VxG(0,+8),F〉x+1”，則命題?？蓪憺椤?/p>

14.在△陽;中，“4=8”是“tan4=tanB”的條件.

15.條件p：x>a,條件q：x》2.

(1)若。是g的充分不必要條件，則a的取