2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試

高三數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

l-3i_

13+i()

A.-1B.1C.-iD.i

2.己知全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={—2,0},3=卜產(chǎn)—2x=。},則()

A.{-1,1,2}B.{-1,0,1}C.{1}D.{-1,1}

3.已知直線丁=丘+1與圓/+y2=4相交于監(jiān)N兩點(diǎn)，若|跖V|=g,則網(wǎng)=()

A.1B.1C.72D.2

4.高二年級進(jìn)行消防知識(shí)競賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績，成績都在［50,100］內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成

A.65B.75C.85D.95

5.已知函數(shù)/（x）=ae“-gx?在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則。的最小值為（）

-2-1

A.eB.1C.eD.e

6.已知四棱錐P-ABC。底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為

（）

A.（8-4A/3）71B.12兀C.（8+473）7iD.87r

22

7.如圖，已知橢圓石：=+==1（?！??！?）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工，左、右頂點(diǎn)分別為A5,過原點(diǎn)

ab

的直線與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，橢圓上異于N的點(diǎn)尸滿足.PN=0，+PN,,閭=2c,

NM-AB=2ac>則橢圓E的離心率為（）

A.73-1B.4-273c.也D.B

23

8.甲、乙等6人去A5C三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩

人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（）

A.342B.390C.402D.462

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9已知函數(shù)/（x）=sin（2x+29）[o<o<?,/|^_x]=/]1+d,則（）

A./（0）=1

C.〃龍）在[巳,盤上單調(diào)遞減

D.7（尤）的圖象向左平移專個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對稱

7T

10.在_ABC中，3=—,A3=2,3C=3,E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在線段上，且CF=2正，將

2

JLBC以直線為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，。為底面圓上一點(diǎn)，滿足人。=兀，則（）

A.BA±BD

B.EE在AB上的投影向量是gBA

C.直線斯與直線CD所成角的余弦值為g叵

65

D.直線ER與平面AC。所成角的正弦值為生叵

55

11.已知非常數(shù)函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,且/（力“丁卜〃孫）+孫（％+?。?，則（）

A./（0）=0B.〃1）=一2或八1）=1

C.以2是｛小eR且X/0｝上的增函數(shù)D.4%）是R上的增函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=（3,5）,6=（—1,1）,若+人，則夭=.

13.在JRC中，內(nèi)角A,氏C所對的邊分別為。，仇C,若。，4C成等比數(shù)列，且b=加05。+石。51也，

皿bsinB

則人=，------=.

c

22

14.己知雙曲線。:。-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，居，過耳作一條漸近線的垂線交雙曲線。

a'b'

PR2

的左支于點(diǎn)尸，已知號=工，則雙曲線。的漸近線方程為______.

PF25

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知｛4｝是等差數(shù)列，4=4,且。5-4,%,%+6成等比數(shù)列.

（1）求｛4｝通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列也,｝滿足;;田=冊,且4=彳，求也｝的前幾項(xiàng)和小

22+12

16.如圖，在直三棱柱A5C-44G中，已知A4=6.AB=3C=3,AE>=；L4C(O<；1<1).

(1)當(dāng)2=工時(shí)，證明：用C//平面A內(nèi)。.

2

⑵若ABJ^BC,且2=；，求平面24c與平面夾角余弦值.

17.為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書

籍”兩類.已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊

雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為工，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次選擇借閱“期刊

3

3

雜志”的概率為

(1)設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由.

18.已知尸是拋物線q:V=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，且P到G的焦點(diǎn)F的最短距離為5,直線/與G交

于A&,X),3(%，%)兩點(diǎn)，與拋物線02：y2=2x交于。(%3，%)，。(期，乂)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A,c在第一

象限，點(diǎn)3,。在第四象限.

(1)求拋物線C1的方程.

11

(2)證明：—+—=—+

%%

s

(3)設(shè)△AOBZiCOD的面積分別為S「S2,其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若gC=3忸D],求

19.已知函數(shù)—―

x2

(1)判斷判⑺的單調(diào)性;

（2）當(dāng)。?2,欣）時(shí)，求函數(shù)g（x）=〃x+l）--J的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

X+1

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

l-3i_

1.3+i（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)，即可求得答案.

r、*用n、PHEPI上田］—3i-i-_3i—i（3+i）.

［詳解］由寇思倚-----=-------=---------=—1，

3+i3+i3+i

故選：C

2.已知全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,0},3=k,—2x=。},則藥（AuB）=（）

A.{-1,1,2}B.{-1,0,1}C.{1}D.{-1,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的并集與補(bǔ)集運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)锳={—2,0},3={0,2},所以4^3={—2,0,2},又。={-2,-1,0」,2},

所以d（AB）={-1,1}.

故選：D.

3.已知直線y=Ax+l與圓爐+儼=4相交于監(jiān)N兩點(diǎn)，若Wcv|=JiZ,貝煙=（）

A.1B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】

19

【分析】先計(jì)算直線依-y+i=o到圓心。的距離d,然后根據(jù)勾股定理得到屋=4,從而代入

條件即可解出F，從而得到網(wǎng).

【詳解】如圖所示:

0?左—0+11

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線近-y+1=0的距離為d，則d=?「—?=r-——.

“2+1y/k2+l

設(shè)線段的中點(diǎn)為P,則WOP,根據(jù)勾股定理，有4=

.—1

9114皿有二=:，解得/=1，故陶=1.

由|MN|=V1Z,得4=d2+^|MN|=,7-*------，故

上2+14左”+1211

故選：B.

4.高二年級進(jìn)行消防知識(shí)競賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績，成績都在［50,100］內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成

C.85D.95

【答案】C

【解析】

【分析】先利用各矩形的面積之和為1,求得。，再利用第75百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)?axl0=l,所以。=0.05.參賽成績位于［50,80）內(nèi)的頻率為

10X(0.01+0.015+0.035)=0.6,

第75百分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，設(shè)為80+y,則0.03y=0.15,解得y=5,即第75百分位數(shù)為85,

故選：C.

5.己知函數(shù)/(x)=ae=gx2在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為()

-1

A.eB.1C.e2D.e

【答案】D

【解析】

【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為r(x)=ae'-x?0在區(qū)間(1,2)上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答

案.

【詳解】因?yàn)?'(x)=ae=x20在區(qū)間(1,2)上恒成立，所以力在區(qū)間(1,2)上恒成立.

e

令g(x)=2,x?1,2),則<⑺=W<0在(1,2)上恒成立，

ee

所以g(x)=W在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g6=eT,故

e

故選：D.

6.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為

()

A.(8-473)71B.12兀C.(8+4代)兀D.8n

【答案】A

【解析】

【分析】求出棱錐高，進(jìn)而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進(jìn)而得到表

面積.

【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,AC的中點(diǎn)為。，則0尸，平面ABCD,

因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面是邊長為2的正方形，所以。4=OC=0,

因?yàn)镻C=2,由勾股定理得PO=J5，

故棱錐的體積為工X22X0=3I,棱錐的表面積為4XLX22XW+22=4^+4,

3322

設(shè)內(nèi)切球的半徑為小

則由等體積法可得|（4^+4）r=F，解得廠="丁

所以S=（8—46）兀.

故選：A

22

7.如圖，已知橢圓后：=+二=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為公,工，左、右頂點(diǎn)分別為A,3,過原點(diǎn)

ab

的直線與橢圓E交于股,N兩點(diǎn)，橢圓上異于N的點(diǎn)P滿足尸用.PN=0，pM+兩，,巴卜2c,

NM-AB=lac,則橢圓E的離心率為（）

A.73-1B.4-273C.也D.正

23

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得10M=|QV|=c,根據(jù)數(shù)量積可得cos/MOB=g,進(jìn)而得號?在橢圓

上，即可化簡求解.

連接OP，依題意可得PM±PN,\PM+PN\=2西=麗=2c,:.\OP\=c,所以|。間=|。燦=c,

所以2W.AB=|加卜4?cos〈2W,AB)=2c-2acosZMOB=lac,

所以cosZMOB=—,

2

所以ZMOB=60°,\OM\COSZMOB=1c,|（9M|sinZMOB=岑c

則M的坐標(biāo)為坐］,所以:+工=1,即：+T^=4,

122J4a24b2a-a2-c2

可得e?+2==4,化簡得e’一8e2+4=0,解得e?=4—26，即e=G—L

1-e

故選：A

8.甲、乙等6人去A,5c三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩

人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（）

A.342B.390C.402D.462

【答案】B

【解析】

【分析】先分組再分配，先將6人分成3組，有（LL4）、（1,2,3）、（2,2,2）三種分組可能，結(jié)合條件甲、

乙兩人不去同一景區(qū)游覽，每種情況都先求出所有游覽方法總數(shù)，減去甲乙去同一景區(qū)方法總數(shù)，三種

情況再求和即可.

【詳解】去AB,C三個(gè)不同景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人去游覽，

則三個(gè)景區(qū)的人數(shù)有3種情況：①1,1,4型，則不同種數(shù)為（或―C，A；=54；

②1,2,3型,則不同種數(shù)C；C；C；A；—C：A；—C：C；A；=264；

「202

③2,2,2型,則不同種數(shù)為CO泣4-Z砥21A°；=72.

所以共有54+264+72=390種.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.己知函數(shù)/(x)=sin(2x+29)[o<Q<"|[,/||-d=/1|+xj,則()

A./(0)=1

C./(%)在[Eg]上單調(diào)遞減

D./(%)的圖象向左平移專個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對稱

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性求得9=即可求出/(x)=sin[2x+]],代入求值判斷A,利用對稱性判

斷B,代入驗(yàn)證法判斷C,根據(jù)平移變換法則求得新函數(shù)解析式，利用偶函數(shù)性質(zhì)判斷D.

【詳解】由題意函數(shù)/(x)=sin(2x+2。,<°<|■]的圖象的一條對稱軸方程為x=方，

所以W+20=E+'(keZ),所以夕=與+弓(左eZ),

因?yàn)?<e<],所以°=弓，即/(x)=sin[2x+m].

什干A，小、.…鏟'0

對于A,f(0)=sin——，車曰；

v732

對于B,因?yàn)?[三]=5由12*三+三]=5足兀=0,所以/(%)圖象的一個(gè)對稱中心為]三,0),

7171

對于c,當(dāng)xe時(shí),

6,2

所以在篇）

上單調(diào)遞減，C正確;

對于D,7（尤）的圖象向左平移T個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為

顯然y=/x+匚是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，D正

確.

故選：BCD

JI

10.在中，3=—,A3=2,3C=3,E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上，且CF=2BE,將

2

_ABC以直線為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，。為底面圓上一點(diǎn)，滿足人。=兀，則（）

A.BA±BD

B.EE在AB上的投影向量是g區(qū)4

c.直線口與直線c。所成角的余弦值為g叵

65

D.直線所與平面ACD所成角的正弦值為生叵

55

【答案】ABD

【解析】

7T

【分析】根據(jù)弧長求出NABD=—,即可判斷A選項(xiàng)；觀察投影向量即可判斷選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)

2

系，利用空間向量的方法即可判斷C、D選項(xiàng).

￡

ABC旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為C,底面圓心為3,半徑A5=2,

兀

所以圓的周長為4兀，所以所對的圓心角為NAB￡?=w，A正確；

易知B正確；以3為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,2,0）,0（2,0,0）,C（O,O,3）,E^O,1,0F（O,O,1）,

所以所=[o,TCD=（2,0,-3）,G4=（0,2,-3）,

/”「八\EFCD3765

所以c°s〈E￡8〉=可網(wǎng)=7T,C錯(cuò)誤.

n，CD—2x—3z二0

設(shè)平面ACD的法向量為〃=（x,y,z）,則（'令z=2,

n-CA=2y-3z=Q,

則”=（3,3,2）.設(shè)直線所與平面ACD所成的角為8,

,.?EFn4A/H0丁"

則nsin0=?----i——=———,D正確.

\EF\\n\55

故選：ABD

ii.已知非常數(shù)函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,且/'（x）/（y）=/（盯）+孫（％+?。瑒t（）

A./（O）=OB.〃1）=-2或/⑴=1

C.工區(qū)是｛小eR且"0｝上的增函數(shù)D.八%）是R上的增函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】A.令y=。判斷；B.令g(x)=23,xwO,分別令x=y=-1,x=y=l判斷；CD.由

g(x)="^,xwO,令y=l判斷.

X

【詳解】解：在/(%)/(y)=/(移)+孫(％+丁)中，

令y=0,得〃0)〃x)=〃。)，即VxeR,/(O)[〃x)—1]=0.

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)為非常數(shù)函數(shù)，所以/(O)=O,A正確.

令g(x)=^i^,xw0,貝Ug(x)g(y)=g(邛)+x+y.

X

令%=y=-1，則[g(_l)F=g⑴-2,①

令x=y=l,則[g⑴]2=g(i)+2,②

由①②，解得g(l)=2,g(—1)=。，從而/(1)=2,B錯(cuò)誤.

令y=i,則g(x)g6=g(x)+》+L即g(X)=x+l,

因?yàn)?0)=0,所以/(x)=x(x+l),所以C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知向量a=(3,5)為=(—1,1),若(a+2b),b,則4=.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得a-b，匕2,再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閍=(3,5)1=(—1,1),所以a"=3x(-l)+5xl=2,Z?2=(-1)2+12=2,

因?yàn)?。+力》)_1人，所以(a+丸》)力=0,所以口1+；1人2=2+24=0，解得/l=T.

故答案為：-1

13.在ABC中，內(nèi)角A5c所對的邊分別為。，4c,若"c成等比數(shù)列，且人=acosC+6csinA，

bsinB

則A=______

【答案】①.-##30°②.1##0.5

6/

【解析】

【分析】將6=acosC+yficsinA用正弦定理化為sinB=sinAcosC+gsinCsinA，再用

hzyhzy

sin（A+C）=sin5即可解出tanA,從而求出A；然后由成等比數(shù)列知一=—,利用一=一得到

cbcb

bsmBasinBsinAsinB.,口宜一3皿八—一…匕sinB

-----=—；—=--------=sinA,即可根據(jù)A的值得到------的值.

cbsinBc

【詳解】因?yàn)椤?qcosC+gcsinA，由正弦定理知sinB=sinAcosC+J§sinCsinA，

所以有：sinAcosC+V3sinCsinA=sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.

故V3sinCsinA=cosAsinC，即J^sinA=cosA，從而tanA=,所以A=/.

36

7q左yrba,,Z?sinB"sinBsinAsinB.“1

因?yàn)閍,A,c成等比數(shù)列，所以—=—,從而-----=------=---------=sinA=1.

cbcbsinB2

ITi

故答案為：—；—.

6/

22

14.已知雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）左、右焦點(diǎn)分別為石，耳，過耳作一條漸近線的垂線交雙曲線。

ab

pp2

的左支于點(diǎn)P,已知號=z，則雙曲線。的漸近線方程為_______.

PF25

【答案】y=±2x

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理求出a力的關(guān)系即可作答.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下：

由鬲=|得|%=||明，又附|-|%=2。，所以附|=竽附|亭,

雙曲線C：A-馬=1("0/>0)的漸近線方程為法土今=0,

ab

,、\bc\h

則點(diǎn)6(c,0)到漸近線的距離d=-y===b，所以在APFF2中，cosZPF^=

由余弦定理得|「片『=忸區(qū)「+忻閭2_2歸川大用cosNPg片，

即回=幽1+4°2—膽蛙，化簡得—2+10=0

993\a)a

hb5b

解得2=2或±=—巳，因?yàn)閍>0/>0,所以'=2.

aa3a

則雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故答案為：y=±2x.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知｛4｝是等差數(shù)列，4=4,且%+6成等比數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也"｝滿足;二回=%，且4=彳，求也｝的前〃項(xiàng)和小

22+12

【答案】(1)4=2"+2

(2)T=—

nnn+1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求出公差，即可求得答案；

(2)由累加法可求出!=7?("+1),即可求得〃=工-——,利用裂項(xiàng)相消法求和，即得答案.

b?nn+1

【小問1詳解】

因?yàn)?-4,%,%+6成等比數(shù)列，

所以d=(%-4)(%+6),解得％=12.

又｛4｝是等差數(shù)列，卬=4,所以公差〃=%昔=2,

故%=%+(幾一l)d=2幾+2.

【小問2詳解】

,%一%11

由F-=4，得二-----T

b”b“+[%b.

所以三一T一=。”-1("22),又乙=1,

1W11)(11)1

當(dāng)〃22時(shí)，--——+------------+???+————+—

3

ab"-iJ1--1。"-2)I"2bj4

+q+(=4(zz-l)+――—―x2+2=〃(〃+1),

=an-\+an-2+

又4=；也適合上式，所以:=〃(〃+1),

乙un

j__1

則2=

n〃+1

n

〃+1

16.如圖，在直三棱柱ABC-44G中，已知44=648=60=3,AD=2AC(O<;1<1).

(1)當(dāng)x=g時(shí)，證明：4。//平面45D.

(2)若ABJ.BC,且％=；，求平面34c與平面4乃。夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)匹

21

【解析】

【分析】（1）連接A4,交48于點(diǎn)E,連接DE,則利用中位線性質(zhì)得3C〃DE,再利用線面平行證

明4C//平面AR。；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出所求平面的法向量，利用公式法求出平面與平面的夾角的余弦值.

【小問1詳解】

當(dāng)2=工時(shí)，。為AC的中點(diǎn)，連接ABr交于點(diǎn)E,連接OE，

2

可知OE是—AC用的中位線，所以BQ〃DE.

又4C<Z平面ABRDEu平面AR。，所以4C//平面ARD.

【小問2詳解】

易知R4,3C,53］兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，5ABe的方向分別為x，%z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)；l=g時(shí)，5（0,0,0）,￡>（2,1,0）,A（3,0,6）,3。=（2,1,0）,3=（3,0,6）.

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,

BD?〃=2%+y=0

則.，令2=—1,得〃=(2,—

BA^?〃=3%+62=0

易知772=（1,0,0）為平面24c的一個(gè)法向量,

n-m22-721

設(shè)平面BB?與平面ABD的夾角為。，則cos6==-j=—=-^―

nm721x121

17.為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書

籍”兩類.己知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊

雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為工，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次選擇借閱“期刊

3

3

雜志”的概率為

(1)設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由.

29

【答案】(1)分布列見解析，—

30

(2)小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大，理由見解析

【解析】

【分析】(1)求出隨機(jī)變量的取值，結(jié)合條件概率求出對應(yīng)的概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)先求出P(A),然后根據(jù)條件概率公式分別求出借閱兩類圖書的概率，比較大小即可解答.

【小問1詳解】

設(shè)4表示第i次借閱“期刊雜志”，4表示第i次借閱“文獻(xiàn)書籍”，，=1,2,

則P(A)=P閭4p&HXrNAbl.

依題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2.

"=0)=網(wǎng)44)=「閭「同4)=3義［—||=!，

P(X=I)=P(44D44)=P(A4)+P(44)

=P(A)P因4)+咽倒4同=31-1+?|=|1,

P(X=2)=P(AA)=^(A)^(A|A)=1X1=?

隨機(jī)變量X的分布列為

X012

119￡

P

5306

=0311+2xL”

530630

【小問2詳解】

若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大.理由如下:

P(4)=P(A4)+P(A個(gè)=P(A)P(4聞+「閭p何同［xl+gxgg

若第一次借閱“期刊雜志”，貝司p(AA)P(A)^(A|A)5

可修一^(Z)88

15

若第一次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則P(A|A)=網(wǎng)E)=，閭曾㈤

1-=8,

15

53

因?yàn)橐弧狄唬孕∶鞯谝淮芜x擇借閱“期刊雜志”的可能性更大.

88

3

18.已知尸是拋物線G：y9=2川(?！?)上任意一點(diǎn)，且p到G的焦點(diǎn)F的最短距離為3.直線/與C1交

于4(%,%),3(9,%)兩點(diǎn)，與拋物線C2:曠=2x交于。(七,%),。(乂，乂)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)AC在第一

象限，點(diǎn)瓦。在第四象限.

(1)求拋物線G的方程.

1111

(2)證明：

%%%”

s

(3)設(shè)△AOBACOD的面積分別為5],邑，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AC|=3忸￡>|,求號.

?2

【答案】(1)V=6%

9

(2)證明見解析(3)-

【解析】

【分析】(1)利用焦半徑公式求得P=3,即可求解拋物線方程；

(2)設(shè)直線/的方程為％=沖+/，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；

(3)由|AC|=3忸￡)|得%+3%=%+3y4，結(jié)合(2)的韋達(dá)定理得力%=3y2y4，從而求得%，%，%，為，

從而面積之比轉(zhuǎn)化X為-V的?值.

%->4

【小問1詳解】

設(shè)P(%,%)，易知d'o),準(zhǔn)線方程為X=/，所以四=%+:

當(dāng)％=0時(shí)，歸目取得最小值g由5=|，解得P=3.所以拋物線C1的方程為y2=6x.

【小問2詳解】

設(shè)直線,與x軸交于點(diǎn)〃（/,0）,因?yàn)橹本€/的斜率顯然不為0,

所以設(shè)直線/的方程為x=my+t,

,[x=my+t..,,

聯(lián),消去x得y—6沖—6f=0,A=36n?+24/■>0,

y9"=6x

11y,+Km

所以%+%=6m,%%=-6t,所以一+—=---」=--,

%為%%t

11m1111

同理可得一+—=一一，所以一+—=一+一.

%%t乂%%%

【小問3詳解】

因?yàn)閨AC|=3忸￡）|,所以乂一%=3（為一%），即為+3%=%+3%.

因?yàn)?+%=6m,y3+y4=2m,所以6m+2y2=2m+2y4，即為-%=2機(jī)，

1111y.-y,y9-yA

所以%—%=6加，由（2）知-------=-------，所以^....-=———）

M為%%%為%%

故g_工=生&=3,所以％%=3%為，即乂（乂_6加）=3（6機(jī)_%）（8加_乂），

|%一％|y2y4

化簡得??；一18/"%+72m2=0,解得％=12m或％=6m,

若％=6m，則乂=0，這與%<°矛盾，所以%=12m,%=-6m,%=6m,%