1、如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于0。，AC是⑷。的直徑，過點(diǎn)A的切線與C。的延長線相交

F點(diǎn)P.RZAPC^ZBCP

(1)求證：ZBAC=2ZACD；

(2)過圖1中的點(diǎn)。作。E_LAG垂足為E(如圖2)當(dāng)80=6,AE=2時(shí)，求。。的半徑.

*

圖1圖2

2、如圖，在AABC中，/BAC=90。，點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE,過AC,E三點(diǎn)的。。

交AB于另一點(diǎn)F,作直徑A。，連結(jié)DE并延長交于點(diǎn)G,連結(jié)C。，CF.

(1)求證：四邊形DCFG是平行四邊形.

3.

(2)當(dāng)BE=4,CD=8AB時(shí)，求。。的直徑長.

3、如圖，在口0ABe中，以。為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B,與OC相交于點(diǎn)。.

(1)求BD的度數(shù).

(2)如圖，點(diǎn)E在。。上，連結(jié)CE與。。交于點(diǎn)F,若EF=AB,求N0CE的度數(shù).

E

4、如圖，。。是AABC的外接圓，/BAC的平分線交。。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作

直線DF//BC.

(1)判斷直線。尸與⑷。的位置關(guān)系，并說明理由；

12aW7

(2)若A8=6,AE=5,CE=5,求BD的長.

5、如圖，點(diǎn)。是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作。。的切線，交AD的延長線于點(diǎn)C,

E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長與的延長線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若OB=BF,EF=4,求4?的長.

6、如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分N8AC,AD交BC于點(diǎn)D,

EDLAD交AB于點(diǎn)E,△%口￡的外接圓。。交AC于點(diǎn)F,連接EF.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)求。。的半徑r及/3的正切值.

7、如圖，在RMABC中，/ABC=90。，以A8為直徑作。。，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，且。。=

CB,連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E.

(1)判斷直線CD與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若BE=2,DE=4,求圓的半徑及AC的長.

8、如圖，AABC內(nèi)接于O。，AB為直徑，作。DLAB交AC于點(diǎn)D,延長BC,。。交于點(diǎn)尸,

過點(diǎn)C作。。的切線CE,交。尸于點(diǎn)E.

(1)求證：EC=ED；

(2)如果。八=4,EF=3,求弦AC的長.

9、如圖1,已知。。外一點(diǎn)尸向。。作切線只4點(diǎn)A為切點(diǎn)，連接P。并延長交。。于點(diǎn)B,

連接A。并延長交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作分別交P8于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,連接

AD.

(1)求證：&APO?2DCA-,

(2)如圖2,當(dāng)AD=A。時(shí)

①求/尸的度數(shù);

PQ

②連接AB,在OO上是否存在點(diǎn)Q使得四邊形APQB是菱形.若存在，請(qǐng)直接寫出CQ的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

10、如圖，在。。中，B是0。上的一點(diǎn)，ZZIBC=12O°,弦AC=2'R,弦B/W平分/ABC

交AC于點(diǎn)D,連接MAMC.

(1)求。。半徑的長；

(2)求證：AB+BC=BM.

11、如圖，在RtAABC中，/ACB=90。，。為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的。。分別交AC,

BC于點(diǎn)E,尸兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸GLAB于點(diǎn)G.

(1)試判斷FG與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的長.

12、如圖1,AB為半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，A尸為半圓的切線，過半圓上的點(diǎn)C作CD〃AB

交AF于點(diǎn)。，連接BC.

(1)連接D。，若BC〃0D,求證：C。是半圓的切線；

(2)如圖2,當(dāng)線段C。與半圓交于點(diǎn)E時(shí)，連接入￡,AC,判斷NAED和/ACD的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2

13、如圖，AB是。。的直徑，AC與00交于點(diǎn)F,弦AD平分/BAGDEIAC,垂足為E.

(1)試判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為2,ZBAC=60°,求線段EF的長.

14、如圖，AABC內(nèi)接于。。，AB是O。的直徑，AC=CE,連接交BC于點(diǎn)。，延長DC

至尸點(diǎn)，使CF=C。，連接AF.

(1)判斷直線八尸與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若AC=10,tan/CAE=,求AE的長.

15、已知AB是。。的直徑，4W和BN是O。的兩條切線，。。與。。相切于點(diǎn)E,分別交AM.

BN于D、C兩點(diǎn)

(1)如圖1,求證：AE^=4AD-BC

(2)如圖2,連接OE并延長交4W于點(diǎn)打，連接CF.^ZADE=2ZOFC,AD=1,求圖中陰

影部分的面積

16、如圖在AABC中，AB=BC,以A8為直徑作。。交AC于點(diǎn)。，連接。。.

(1)求證：OD〃BG

(2)過點(diǎn)。作。。的切線，交BC于點(diǎn)E,若/八=30。，求的值.

17、如圖，A8為OO的直徑，C、D是半圓AB的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作延長線的垂線CE,

垂足為E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

18、如圖，AC是。。的一條弦，AP是。。的切線。作BM=AB并與AP交于點(diǎn)M,延長MB

交AC于點(diǎn)E,交?0于點(diǎn)D,連接AD。

(1)求證：AB=BE

(2)若。0的半徑R=5,AB=6,求AD的長。

19、如圖，AB為。。的直徑，且AB=4v5,點(diǎn)C是AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，過

點(diǎn)B作。。的切線交AC的延長線于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接EC.

(1)求證：EC是。。的切線；

(2)當(dāng)/。=30。時(shí)，求陰影部分面積.

20、如圖，AABC中，AB^AC,以AC為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為C延長線上一點(diǎn),

且/COE=2ZBAC.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)^AB=3BD,CE=2,求。。的半徑.

21、如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑。8上一動(dòng)點(diǎn)(不與。，8重

合)，過點(diǎn)尸作射線1±AB,分別交弦BC,前于D,E兩點(diǎn)，在射線/上取點(diǎn)F,使FC=FD.

(1)求證：FC是。。的切線；

(2)當(dāng)點(diǎn)E是前的中點(diǎn)時(shí)，

①若/BAC=60。，判斷以。，B,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；

3_

②若tan/ABC=4,且AB=20,求DE的長.

22、如圖，，48是。。的直徑,點(diǎn)，在AB的延長線上，C、月是。。上的兩點(diǎn),CE-二？,

'?」，延長；‘交一’的延長線于點(diǎn)產(chǎn)

(1)求證：「□是。'」的切線;

(2)求證：，二？一

(3)若3Z>=1,CD=0,求弦4C的長.

23、如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。

的切線交BC于點(diǎn)E,連接?！?/p>

(1)求證：ADBE是等腰三角形；

(2)求證：ACOESACAB.

24、如圖，AB為。。的直徑，AC平分/BAD,交弦BD于點(diǎn)G,連接半徑0C交BD于點(diǎn)E,

過點(diǎn)C的一條直線交AB的延長線于點(diǎn)F,ZAFC=ZACD.

(1)求證：直線CF是。。的切線;

(2)若DE=2CE=2.

①求AD的長；

②求AACF的周長.(結(jié)果可保留根號(hào))

25、如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作。。，點(diǎn)E在

BC邊上，連結(jié)AE交?。于點(diǎn)F,連結(jié)BF并延長交CD于點(diǎn)G

(1)求證：AABE三ABCG

(2)若/AEB=45。，0A=3,求八"’的長。(結(jié)果保留根號(hào))

26、如圖，以AABC的邊BC為直徑作O。，點(diǎn)A在。。上，點(diǎn)D在線段8c的延長線上，AD

=AB,ZD=30°.

(1)求證：直線入。是③。的切線;

(2)若直徑BC=4,求圖中陰影部分的面積.

27、如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO,BE是。。的直徑，連接8尸，延長BA過尸作FG

LBA,垂足為G.

(1)求證：FG是O。的切線；

(2)已知FG=2'R,求圖中陰影部分的面積.

D

28、如圖，已知AB是。。的直徑，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，連接。尸，點(diǎn)A關(guān)于。P的對(duì)稱點(diǎn)C

恰好落在。。上.

(1)求證：0P〃BC；

(2)過點(diǎn)C作(DO的切線C。，交A尸的延長線于點(diǎn)。.如果ND=90。，DP=1,求。。的直

徑.

29、如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的0。與邊BGAC分別交于D,E兩點(diǎn)，過

點(diǎn)。作DHLAC于點(diǎn)H.

(1)判斷DH與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)求證：H為CE的中點(diǎn)；

返

(3)若BC=10,cosC=5,求入￡的長.

30、如圖，B/W是以AB為直徑的。。的切線，B為切點(diǎn)，BC平分/AB/W,弦CD交AB于點(diǎn)E,

DE=OE.

(1)求證：AACB是等腰直角三角形;

(2)求證：。4=。日。0：

(3)求tan/ACD的值.

31、如圖，在RQA8C中，ZC=90°,以BC為直徑的③。交AB于點(diǎn)D,切線。E交A。于

點(diǎn)E.

(1)求證：/八=NADE；

(2)若八D=8,DE=5,求BC的長.

32、如圖，A8為。。的直徑，點(diǎn)尸為A8延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。。的切線PE,切點(diǎn)為

M,過48兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接4W,則下列結(jié)論正確的

是.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①4W平分/CAB；

@AI^^AC-AB；

-TV_

③若AB=4,ZAPE=30°,則BM的長為3；

④若AC=3,BD=1,則有C/W=D/W=避.

參考答案

1、如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC是。。的直徑，過點(diǎn)4的切線與C。的延長線

相交于點(diǎn)尸.且/A尸C=NBCP

(1)求證：ZBAC=2ZACD；

(2)過圖1中的點(diǎn)。作DELAC,垂足為E(如圖2),當(dāng)BC=6,AE=2時(shí)，求⑷。的半徑.

PP

圖1圖2

解答】(1)證明：作。尸，8c于F,連接

尸是。。的切線，

：.ZPAC=90°,即NP+/AC尸=90°,

?；AC是。。的直徑，

：.ZADC=90°,即/尸CA+/DAC=90°,

：.ZP=ZDAC=ZDBC,

:NAPC=NBCP,

：.ZDBC=ZDCB,

DB=DC,

?：DF±BC,

二。尸是8C的垂直平分線，

r.DF經(jīng)過點(diǎn)。，

*/OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

'：ZBDC=2ZODC,

；./BAC=NBDC=2ZODC=2ZOCD；

(2)解：經(jīng)過點(diǎn)。，DFLBC,

：.FC=2BC=3,

在ADEC和△CFO中，

，ZDCE=ZFDC

,ZDEC=ZCFD

DC=CD,

.,.ADEC^ACFD(AAS)

；.DE=FC=3,

???N，DC=90。，DELAC,

???DE=AE?EC,

DE22

則EC=AE=2,

9,13

.*./4C=2+2=2,

13

???。。的半徑為7".

P

B

圖2

p

圖1

2、如圖，在AABC中，/BAC=90。，點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE,過AC,E三點(diǎn)的。。

交AB于另一點(diǎn)F,作直徑A。，連結(jié)DE并延長交48于點(diǎn)G,連結(jié)C。，CF.

(1)求證：四邊形DCFG是平行四邊形.

3.

(2)當(dāng)BE=4,CD=8AB時(shí)，求。。的直徑長.

【分析】(1)連接AE,由/BAC=90。，得到CF是。。的直徑，根據(jù)圓周角定理得到/AED

=90°,SPGDLAE,推出C尸〃。G,推出AB〃C。，于是得到結(jié)論；

(2)設(shè)CD=3x,AB=8x,得至ijCO=FG=3x,于是得到AF=CD=3x,求得BG=8x-3x-

3x=2x,求得BC=6+4=10,根據(jù)勾股定理得至!JAB='VTK--62=8=8x,求得x=1,在

R3AC尸中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接AE,

■：ZBAC=90°,

...C尸是OO的直徑，

'：AC=EC,

：.CF1AE,

是。。的直徑，

：.ZAED=90°,

即GDLAE,

CF//DG,

???人。是。。的直徑，

：.ZACD=90°f

???N/ACD+NB4c=180。，

：.AB//CD,

???四邊形DCFG是平行四邊形；

3_

(2)解：由CD=3AB,

設(shè)CO=3x,AB=8x,

CD=FG=3x,

*：ZAOF=ZCOD,

.\AF=CD=3x,

BG=8x-3x-3x=2x,

GE//CF,

BE二里二2

AEC^GF

BE=4,

：.AC=CE=6,

：.80=6+4=10,

V102-62=8=8X,

x—1,

在RtZkACF中，AF=10,AC=6,

：.CF=M，&2=3娓,

即。。的直徑長為3、n.

3、如圖，在D0ABe中，以。為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B,與OC相交于點(diǎn)。.

(1)求俞的度數(shù).

(2)如圖，點(diǎn)E在。。上，連結(jié)CE與。。交于點(diǎn)F,若EF=AB,求N0CE的度數(shù).

???BC是圓的切線，

?..四邊形0ABe是平行四邊形,

：.OA//BC,：.OB±OA,

：.△AO8是等腰直角三角形，

Z.ZABO=45°,

BD的度數(shù)為45。；

(2)連接。E,過點(diǎn)。作EC于點(diǎn)H,設(shè)EH=t,

；OHLEC,

：.EF=2HE=2t,

:四邊形OA8C是平行四邊形，

：.AB=CO=EF=2t,

,/乙AOB是等腰直角三角形，

:.OA=y[2t,

則H0=VOE2-EH2=42t2-12=t,

；OC=2OH,

：.ZOCE=30°.

4、如圖，。。是AABC的外接圓，NBAC的平分線交。。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作

直線DF//BC.

(1)判斷直線DF與O。的位置關(guān)系，并說明理由；

12?WT

(2)若A8=6,AE=5,CE=5,求BD的長.

A

【分析】（1）連接。。，根據(jù)角平分線的定義得到NB4D=NC4。，求得加=

i,根據(jù)垂徑

定理得到OO_LBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODJ_DE于是得到。尸與。。相切;

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）。尸與。。相切,

理由：連接。。,

???NB4C的平分線交。。于點(diǎn)D,

：.ZBAD=ZCAD,

BD=CD,

JODLBC,

???DF//BC,

：.OD_LDF,

???。尸與。。相切；

(2),：ZBAD=ZCADfZADB=ZC,

???△ABDS^AEC,

AB二加

AE-CE,

6BD

\2炳4v7

5=5,

2強(qiáng)

BD=7.

A

FD

5、如圖，點(diǎn)。是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作。。的切線，交的延長線于點(diǎn)G

E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F.

(1)求證：DF是。。的切線；

(2)若OB=BF,EF=4,求AD的長.

分析】(1)連接。。，由為⑷。的直徑得/8DC=90。，根據(jù)BE=EC知/1=/3、由。。

=。8知/2=/4,根據(jù)BC是。。的切線得/3+/4=90。，即/1+/2=90。，得證；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/尸=30。，BE=2EF=2,求得。E=BE=2,得到DF=6,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到。。=。4求得/A=/ADO=2-8。。=30。，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，連接。。，BD,

???AB為。。的直徑，

：.ZADB=ZBDC=90°,

在R3BDC中，VBE=EC,

DE=EC=BE,

：.Z1=Z3,

是。。的切線，

.,.Z3+Z4=90°,

.*.Z1+Z4=90°,

又???N2=N4,

.,.Z1+Z2=90°,

???。尸為。。的切線；

(2)VOB=BF,

：.OF=2OD,

：.ZF=30°,

?；/FBE=90。,

：.BE=2EF=2,

：.DE=BE=2,

：.DF=6,

VZF=30°,/ODF=90。,

???"。。=60。，

???OD=OA,

：.ZA=ZADO=2BOD=30°,

：.ZA=ZF,

.,.AD=DF=6.

6、如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分NBAC,AD交8c于點(diǎn)0,

E。，/。交AB于點(diǎn)￡,AADE的外接圓。。交AC于點(diǎn)尸，連接EE

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)求。。的半徑r及/3的正切值.

【解答】(1)證明：

：.ZEDA=90°,

?.YE是。。的直徑，

??JE的中點(diǎn)是圓心。，

連接。。，則0A=。。，

.-.Z1=ZODZl,

平分/84C,

：.Z2=Z1=Z0DA,

：.OD//AC,

：.ZBDO=ZACB=QO°,

：.BC是。。的切線；

(2)解：在RQ4BC中，由勾股定理得，＞48=VBC2+AB2=VS2+62=10,

OD//AC,

???△BDOs^BCA,

ODOBr_10rr

?,.AC-AB,即6—10,

15

/.r—4,

在RtABOO中，BD=VOB2-OD2=V(io-r)2-r2=5,

：.CD=BC-BD=8-5=3,

CD21

在RtA/4CD中，tanN2=AC=6=2,

???N3=N2,

1_

tanZ3=tanZ2=2.

7、如圖，在RQ48C中，ZABC=90°,以28為直徑作。。，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，且。。=

CB,連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E.

(1)判斷直線C。與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若EE=2,DE=4,求圓的半徑及4c的長.

【解答】(1)證明：連接。C

VCB=CD,CO=CO,OB=OD,

???△OCBSOCD(SSS),

：.ZODC=ZOBC=90°,

：.OD±DC,

，DC是。。的切線；

(2)解：設(shè)◎。的半徑為r.

在RQOBE中，VOE2=EB2+OB2,

(4-r)2=匹+22,

r=1.5,

OBCD

tanZE=EB=DE,

1.5CD

2=4,

CD=BC=3,

在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=V32+32=3正.

???圓的半徑為1.5,AC的長為3a.

8、如圖，A/IBC內(nèi)接于。。，A8為直徑，作。。,AB交AC于點(diǎn)D,延長BGOD交于點(diǎn)F,

過點(diǎn)C作。。的切線CE,交。尸于點(diǎn)E.

(1)求證：EC=ED-,

(2)如果。A=4,EF=3,求弦AC的長.

【分析】(1)連接OC,由切線的性質(zhì)可證得/ACE+/A=90。，又/CDE+/A=90。，可得/

CDE=NACE,則結(jié)論得證；

(2)先根據(jù)勾股定理求出OE,OD,，。的長，證明RtAAODsRsACB,得出比例線段即可

求出AC的長.

【解答】（1）證明：連接。C,

???CE與。。相切，為C是。。的半徑，

???OC1CE,

：.ZOCA+ZACE=90°,

*：OA=OC,

：.ZA=ZOCA,

：.ZACE+ZA=90°,

??,ODLAB,

：.ZODA+ZA=90°f

*：ZODA=ZCDE,

：.ZCDE+ZA=QO0,

???NCDE=/ACE,

：.EC=ED；

(2)解：???AB為。。的直徑，

：.ZACB=90°,

在RtaDCF中，ZDCE+ZECF=90°,/DCE=NCDE,

AZCDE+ZECF=90°,

*：ZCDE+ZF=90°,

：.ZECF=ZF,

???EC=EF,

?：EF=3,

EC=DE=3,

：.OE=VOC2+EC2=V42+32=5,

：.OD=OE-DE=2,

在RtAOZID中，AD=V0A2+0D2=V42+22=2娓,

在R3A。。和RtA/lCB中，

：/A=/A,ZACB^ZAOD,

：.Rt"ODsRtAACB,

QA_AD

r.AC-AB,

4_2A/5

即AC-8,

1際

：.AC=5.

9、如圖1,已知。。外一點(diǎn)尸向。。作切線尸A,點(diǎn)A為切點(diǎn)，連接尸。并延長交。。于點(diǎn)B,

連接A。并延長交。。于點(diǎn)G過點(diǎn)C作COLPB,分別交P8于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,連接

AD.

(1)求證：AAPCHDCA；

(2)如圖2,當(dāng)AD=A。時(shí)

①求/尸的度數(shù)；

PQ

②連接AB,在。。上是否存在點(diǎn)Q使得四邊形A尸Q8是菱形.若存在，請(qǐng)直接寫出CQ的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

解：(1)證明：如圖1,??,根切。。于點(diǎn)4AC是。。的直徑，

：.ZPAO=ZCDA=90°

??,CDLPB

：.ZCEP=90°

：.ZCEP=ZCDA

：.PB//AD

：.ZPOA=ZCAO

：.^APO-^DCA

(2)如圖2,連接OD,

9

?\AD=AOfOD=AO

???△0/4。是等邊三角形

：.ZOAD=60°

??,PB//AD

：.ZPOA=ZOAD=GQ°

*：ZPAO=90°

：.N尸=90。-ZPOA=90°-60°=30°

②存在.如圖2,過點(diǎn)B作BQ,4c交。。于Q,連接尸Q,BC,CQ,

由①得：ZPO/A=60°,ZPAO=90°

：.ZBOC=ZPOA=6Q°

???OB=OC

：.ZACB=60°

：.ZBQC=ZBAC=30°

??,BQLAC,

：.CQ=BC

?：BC=OB=OA

:?ACBQ沿AOBACAAS)

BQ=AB

,：ZOBA=ZOPA=30°

：.AB=AP

：.BQ=AP

?：PA±AC

：.BQ//AP

???四邊形4BQP是平行四邊形

*：AB=AP

???四邊形48QP是菱形

???PQ=AB

PQAB

CQ=BC=tanZ/4CB=tan60°=V3

圖2

圖1

10、如圖，在。。中，8是。。上的一點(diǎn)，ZABC=-\20°,弦AC=2、后，弦B/W平分N4BC

交AC于點(diǎn)D,連接MAMC.

(1)求。。半徑的長；

(2)求證：AB+BC=BM.

a

解：(1)連接OC,過。作OHJ_AC于點(diǎn)H,如圖1,

金。

圖1

?.,N?WC=120。，

???Z/l/WC=180o-ZABC=60°,

：.ZAOC=2ZAMC=120°,

1

ZAOH=2ZAOC=60°,

1

'：AH=2AC=a,

_2

：.OA=sineO°

故。。的半徑為2.

(2)證明：在B/W上截取BE=8C,連接CE,如圖2,

圖2

,.,ZMBC=60°,BE=BC,

：.AEBC是等邊三角形，

ACE=CB=BE,ZBCE=60°,

：.ZBCD+ZDCE=60°,

'：ZZACM=60°,

：.ZECM+ZDCE=60°,

；./ECM=NBCD,

VZABC=-\20°,BM平分/ABC,

Z.ZABM=ZCBM=60°,

：.ZCAM^ZCBM=60°,ZACM^ZABM=60°,

...△AC/W是等邊三角形，

.*.AC=CM,

AA/ICB^A/WCE,

：.AB=ME,

,：ME+EB=BM,

：.AB+BC=BM.

11＞如圖，在R34BC中，ZACB=90°,。為48的中點(diǎn)，以C。為直徑的。。分別交4C,

BC于點(diǎn)E,F兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作FG_L4B于點(diǎn)G.

(1)試判斷尸G與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若4c=3,CD=2.5,求FG的長.

解答】解：(1)FG與。。相切,

理由：如圖，連接。F,

?：ZACB=90°,。為AC的中點(diǎn),

CD=BD,

:?NDBC=NDCB,

?：OF=OC,

：.ZOFC=ZOCF,

：?NOFC=NDBC,

：.OF//DB,

AZOFG+ZDGF=180°,

*：FG±AB,

AZDGF=90°,

AZOFG=90°,

???FG與。。相切;

(2)連接DF,

???。。=2.5,

：.AB=2CD=5f

.?.BC=VAB2-AC2=4,

?；C。為。。的直徑，

：.ZDFC=90°,

：.FD±BC,

?：DB=DC,

/.BF=2BC=2,

AC_FG

,：smZABC=AB-FB,

3_FG

即5=2,

/.FG=5.

12、如圖1,AB為半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，A尸為半圓的切線，過半圓上的點(diǎn)C作CD〃AB

交AF于點(diǎn)。，連接BC.

(1)連接D。，BC//OD,求證：CD是半圓的切線;

(2)如圖2,當(dāng)線段C。與半圓交于點(diǎn)E時(shí)，連接4E,AC,判斷N4E。和N4C。的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接。C,

???/4F為半圓的切線，46為半圓的直徑,

J.ABLAD,

VCD//AB,BC〃OD,

???四邊形BODC是平行四邊形，

OB=CD,

?：OA=OB,

?.CD=OA,

???四邊形40C。是平行四邊形，

JOC//AD,

*：CD//BA,

：.CDLAD,

??,OC//AD,

???OC1CD,

???C。是半圓的切線；

(2)解：ZAED+ZACD=90°f

理由：如圖2,連接BE

???48為半圓的直徑,

：.ZAEB=90°f

：.ZEBA+ZBAE=90%

,：ZDAE+ZBAE=90°f

：.ZABE+ZDAE,

*：ZACE=ZABE,

：.ZACE=ZDAE,

*：ZADE=90°f

：.ZDAE+ZAED=ZAED+ZACD=90°,

圖1

13、如圖，AB是。。的直徑，AC與。。交于點(diǎn)F,弦4。平分NB4C,DE1AC,垂足為E.

(1)試判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為2,ZBAC=60°,求線段EF的長.

【解答】解：(1)直線與。。相切,

連結(jié)OD.

,?YD平分NB4C,

：.ZOAD=ZCADf

?：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZODA=ZCADf

：.OD//AC,

VDELAC,即N4ED=90。，

???ZODE=90°,即DELOD,

???DE是。。的切線；

(2)過。作OG_L4F于G,

：.AF=2AG,

,：ZBAC=60°,04=2,

1

.*.AG=2OA=A,

：.AF=2,

：.AF=OD,

???四邊形八。。尸是菱形,

/.DF//OA,DF=OA=2,

；?NEFD=NBAC=6。。,

:?EF=20F=1.

14、如圖，△ABC內(nèi)接于(DO,AB是。。的直徑，AC=CE,連接4E交EC于點(diǎn)。，延長。C

至尸點(diǎn)，使CF=C。，連接4F.

(1)判斷直線AF與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若4c=10,tanNC4E=,求4E的長.

解：(1)直線4F是。。的切線，理由是：連接AC,

??,人8為。。直徑，

：.ZACB=90°,

J.ACLBC,

?:CF=CD,

：.ZCAF=ZEAC,

?：AC=CE,

：.ZE=ZEAC,

■:/B=/E,

：.NB=NFAC,

VZB+ZB/4C=90°,

：.ZFAC+ZBAC=90°,

：.OA±AF,

又??,點(diǎn)4在。O上,

???直線4F是。。的切線；

(2)過點(diǎn)C作C/W?E,

?.?tanNC4E=,

??—，

??FC=10,

???設(shè)C/W=3x,則AM=4x,

在Rt^AC例中，根據(jù)勾股定理，。/+八懷=八。2,

J(3x)2+(4x)2=100,

解得x=2,

.*.AM=8,

?：AC=CE,

：.AE=2AE=2x8=^6.

15、已知48是。。的直徑,4W和B/V是。。的兩條切線，DC與。。相切于點(diǎn)E,分別交AM、

BN于D、C兩點(diǎn)

(1)如圖1,求證：A—4ADEC

(2)如圖2,連接OE并延長交AM于點(diǎn)F,連接CF.^ZADE=2ZOFC,AD=A,求圖中陰

影部分的面積

解：⑴連接。E、OD、OC,由題意可得：

VAD.CD為QO切線，BC、EC為OO切線，AD=ED.BC=EC,

ZAOD=Z.DOE.Z.COB=Z.COE.且Z.AOD+Z.DOE+Z.COB-Z.COE=180°?

:.Z.COD=ZDOE-Z.COE=90°,

又'：OE-CD,:.^^OEC\AA),/.OEZ=DECE.

1(1

XVOA=OE=OB=-AB.)-AB；=DECE=AD-BC,AB2=4ADHC.

(2)VNADE=24OFC，且ZADE=2AADO=2ZODE，

，Z.ODE=Z.OFC.又乙ODE=Z.EOC.Z.EOC=Z.OFC.OC=FC.

又CE±OF,/.CD為OF垂直平分線，

又'；ZOAF=ZOEC=9伊,ZAFO=ZECO.OA=OE,

：.^AOF注△￡OC(44S),OF=OC.

又OC=FC./.OC=CF=OF.：.△FOC為等邊三角形，

/.Z.OCF=60°，:.NOCE=60°.Z.EOC=60°.:.Z.BOE=120°.

???5廣S認(rèn)田「S*0aL2sge-SqL2+X08XOC-黑*?。爐=3萬-；r.

16、如圖在△ABC中，AB=BC,以48為直徑作。。交AC于點(diǎn)。，連接。。.

(1)求證：OD〃BC；

(2)過點(diǎn)。作。。的切線，交BC于點(diǎn)E,若N4=30。，求的值.

BEQ|

解：(1)證明..?4B=BC

??.N4=NC

??,OD=OA

：.ZA=ZADO

：.ZC=ZADO

：.OD//BC

(2)如圖，連接B。，

VZ/4=30°,ZA=ZC

：.ZC=30°

???DE為。。的切線，

.?.DE±OD

??,OD//BC

：.DELBC

：.ZBED=90°

???人8為。。的直徑

：.ZBDA=90°,ZCBD=60°

=tanZC=tan30°=

???BD=CD

/.=cosZCBD=cos60°=

???BE=BD=CD

：.=2V^

17、如圖，AB為。。的直徑，C、。是半圓AB的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作AD延長線的垂線CE,

垂足為E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

(1)證明：?.?點(diǎn)C、。為半圓。的三等分點(diǎn),

/.AD=CD=BC,

：.ZBOC=ZA,

???OC//AD,

??,CELAD,

：.CE1OC,

???CE為。。的切線；

(2)解：連接。。，OC,

???AD=CD=BC,

AZCOD=x180°=60°,

VCD//AB,

??SkACDSxCOD,

60?兀X.

圖中陰影部分的面積=SJWCOD=360=.

18、如圖，AC是。。的一條弦，AP是OO的切線。作BM=AB并與AP交于點(diǎn)M,延長MB

交AC于點(diǎn)E,交?0于點(diǎn)D,連接AD。

(1)求證：AB=BE

(2)若。。的半徑R=5,AB=6,求AD的長。

【解析】(1)證明：尸是。。的切線，

：.ZEAM=90°,

：.ZBAE+ZMAB=Q0°,ZAEB+ZAMB=Q0°.

又；AB=BM,

：.ZMAB=ZAMBf

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE

⑵解：連接8C

??YC是。。的直徑，

???ZABC=90°

在RQ48C中，4c=10,AB=6,

：.BC=8

由(1)知，/BAE=/AEB,

:AABCS^EAM

：.ZC=ZAME,=-4A/

toa

即：2=AM

48

：.AM=.

又???ND=NC,

：.ZD=ZAMD

48

：.AD=AM=.

19、如圖，AB為。。的直徑，且4E=4遂，點(diǎn)。是窟上的一動(dòng)點(diǎn)(不與48重合)，過

點(diǎn)8作。。的切線交4c的延長線于點(diǎn)。，點(diǎn)E是口。的中點(diǎn)，連接EC.

(1)求證：EC是。。的切線;

(2)當(dāng)/。=30。時(shí)，求陰影部分面積.

解：(1)如圖，連接BGOC,OE,

??,人8為。。的直徑,

：.ZACB=90°,

在RQ8DC中，?:BE=ED,

：.DE=EC=BE,

VOC=OB,OE=OE,

：.△OCE^△OBE(SSS),

：?/OCE=NOBE,

???B。是。。的切線，

：.ZABD=90°f

：.ZOCE=ZABD=90°f

???OC為半徑，

???EC是。。的切線;

(2)*：OA=OB,BE=DE,

：.AD//OE,

；?/D=/OEB,

VZD=30°,

AZOEB=30°,ZEOB=60°,

AZ800=120°,

,:AB=，M,

：.。8=2百

BE=2折后6.

...四邊形OBEC的面積為2SAOBE=2X=12?,

_120?冗X(2?-_

,陰影部分面積為S西娜OBEC-S扇形BOC=12V3-360=12'/s-4TT.

20、如圖，AABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為C延長線上一點(diǎn),

1

MZCDE=2/BAC.

(1)求證：?！晔恰?。的切線；

(2)若A8=3BD,CE=2,求。。的半徑.

A____

/\o)

BD

E

【解答】解：(1)如圖，連接。。，AD,

??FC是直徑，

：.ZADC=90°,

：.AD±BC,

?：AB=AC,

1

：.ZCAD=ZBAD=2ZBAC,

1

■:NCDE=2ZBAC.

：.ZCDE=ZCADf

*：OA=OD,

：.ZCAD=ZADO,

???2。。+NODC=90。，

：.ZODC+ZCDE=90°

???/。?！?90。

又???。。是。。的半徑

???DE是。。的切線；

(2)解：-：AB=AC,AD1BC,

BD=CD,

V/AB=3BD,

：.AC=3DC,

設(shè)OC=x,貝iJ\C=3x,

22

：.AD=VAC-DC=2V2x,

■:/CDE=/CAD,NDEC=NAED,

.?.△CDES^DAE,

CE-.DCDE2XDE

/.DEAD=AE,即DE=2^2x=3x+2

14

DE=4Fi,x—3,

AC=3x=14,

的半徑為7.

21、如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是半徑。8上一動(dòng)點(diǎn)(不與O,8重

合),過點(diǎn)尸作射線1A.AB,分別交弦BC,它于D,E兩點(diǎn)，在射線/上取點(diǎn)F,使FC=FD.

(1)求證：FC是。。的切線；

(2)當(dāng)點(diǎn)E是前的中點(diǎn)時(shí)，

①若/BAC=60。，判斷以。，B,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；

3.

②若tan/ABC=4,且AB=20,求DE的長.

解：(1)證明：連接。C,：。8=。。,

：.ZOBC=ZOCB,

,：PF±AB,

；?/BPD=90。,

???NOBC+NBDP=90。,

?：FC=FD

：.ZFCD=ZFDC

*：ZFDC=ZBDP

：.ZOCB+ZFCD=90°

：.OC±FC

???FC是。。的切線.

(2)如圖2,連接。C,OE,BE,CE,

①以。，B,EC為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.理由如下：

??Y8是直徑，：.ZACB=90°,

VZB/4C=60o,AZBOC=120°,

.?,點(diǎn)E是黃的中點(diǎn)，

：.ZBOE=ZCOE=QQ°,

???OB=OE=OC

.,.△BOE,aOCE均為等邊三角形，

???OB=BE=CE=OC

???四邊形BOCE是菱形；

_3

②若tanN4BC=4,且48=20,求。E的長.

AC3_

???BC=ianZABC=4,設(shè)AC=3k,BC=4k(k>0),

由勾股定理得4。2+8。2=/1仔，即（3k）2+（4k）2=202,解得k=4,

：.AC=-\2,BC=16,

:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

AOE1BC,BH=CH=Q,

；.OExBH=OBxPE,即10x8=10尸E,解得：PE=8,

22

由勾股定理得OP=VOE-PE=V102-82=6,

：.BP=OB-OP=10-6=4,

DP333-

BP=tan/ABC=4,即DP=4BP=4=3

ADE=PE-DP=8-3=5.

22、如圖，工3是。二的直徑，點(diǎn)。在工￡的延長線上，？、3是?。上的兩點(diǎn)，二三一二？,

3"：'□一一二正，延長/U交3<'的延長線于點(diǎn)“

(1)求證：「□是的切線;

(2)求證：CE=CF

(3)若3Z>=1,CD=0,求弦4C的長.

.⑴連CO.???CE=CB,；.Z.CAE=Z.BAC

又￡BCD=NCAE、ZBAC=^ACO,

&CO=/BCD,

;48是◎O的直茬/ACB=90°,

/.Z.OCD=Z.OCB+乙BCD.

=NOCB+ZACO=￡ACB=90°

CDIOC,且CD過半徑OC的外端點(diǎn).

23、如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。

的切線交BC于點(diǎn)E,連接。￡

(1)求證：ADBE是等腰三角形；

(2)求證：ACOESACAB.

證明：(1)連接。。，如圖所示:

????！晔恰?。的切線，

：.ZODE=90°,

：.ZADO+ZBDE=90°,

*：ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=9Q%

?：OA=OD,

：.ZCAB=ZADO,

：.ZBDE=ZCBAf

:?EB=ED,

???△OBE是等腰三角形；

9

(2)：ZACB=90°fAC是。。的直徑,

???C8是。。的切線，

??,?！晔?。。的切線，

???DE=EC,

?：EB=ED,

：.EC=EB,

?：OA=OC,

???OE//AB,

：.ACOE^/\CAB.

EB

24、如圖，AB為。0的直徑，AC平分NBAD,交弦BD于點(diǎn)G,連接半徑0C交BD于點(diǎn)E,

過點(diǎn)C的一條直線交AB的延長線于點(diǎn)F,/AFC=ZACD.

(1)求證：直線CF是。。的切線；

⑵若。E=2CE=2.

①求AD的長；

②求AACF的周長.(結(jié)果可保留根號(hào))

(1)證明：平分N8AD,

：.ZBAC=ZDAC,

...C是弧BD的中點(diǎn)

OCLBD.

：.BE=DE,

?：/AFC=ZACD,/ACO=ZABD,

：.ZAFC=ZABD,

：.BD//CF,

：.OCXCF,

?.?oc是半徑，

r.C尸是圓。切線；

(2)解:①設(shè)OC=R.

'：DE=2CE=2,

：.BE=DE=2,CE=1.

.,.OE=R-1,

在RtAOBE中（R-1）2+22=4.

3

解得.

5.2

OE=2-1=2,

由（1）得，OA=OB,BE=DE,

：.AD=2OE=3；

②連接BC.

'：BD//CF,

BE_0E_0B

FC=0C=0F,

3_5,

,：BE=2,OE=2,R=2

1025

CF=3,OF=6,

20

：.AF=OF+OA^3,

在R3BCE中，CE=I,BE=2,

.-.BC=VCE2+BE2=V5

?.YB是直徑，

...△AC8為直角三角形.

AC=VAB2-BC^=2VE

...△AC尸周長=AC+FC+AF=10+2/5

25、如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作。0,點(diǎn)E在BC邊上，連結(jié)AE交

于點(diǎn)F,連結(jié)BF并延長交CD于點(diǎn)G

(1)求證：AABE-ABCG

(2)若NAEB=45。，0A=3,求的長。(結(jié)果保留根號(hào))

(1)是正方形.為電徑，ZABE=/BCG=90

?.,〃為。。上的?點(diǎn)，4AFB=90/氏IF+

ZABF+NERF=90,/.ZEBF=NBjiF

：.在AJSMMCG/

/EBF=，BAF

AB=BC：.&48￡WMCG(

NABEOBCG

⑵連結(jié)OF,???ZABE=NAFB=90，ZAEBSS

N8/IE=90-55=35,；.NBOF=2NB.4E=7。

70)OTX37

;OA=3:.前=-TT

18。$

26、如圖，以AABC的邊BC為直徑作0。，點(diǎn)A在0。上，點(diǎn)。在線段BC的延長線上，AD

=AB,ZD=30°.

(1)求證：直線4?是O。的切線；

(2)若直徑BC=4,求圖中陰影部分的面積.

【解答】(1)證明：連接。4則/COA=2/8,

?：AD=AB,

.".ZB=ZD=30°,

：.ZCOA=60°,

：.ZO/\D=180°-60°-30°=90°,

OA±AD,

即CD是◎。的切線；

(2)解：VBC=4,

：.OA=OC=2,

在R3OAD中，OA=2,ZD=30°,