第14講不定方程【學習目標】1、熟悉不定方程的概念；2、掌握不定方程的常用解法；3、會解不定方程應用題?！局R梳理】未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程(或方程組)就叫做不定方程(或方程組)。不定方程(組)，就是方程(組)的解不確定，有的方程(組)有無數(shù)多組解，有的方程(組)沒有解，有的方程(組)有有限組解。我們經(jīng)常關心這類方程(組)的整數(shù)解，正整數(shù)解或有理數(shù)解?！镜淅觥俊纠?】正整數(shù)x，y滿足6x+7y=2012．設x+y的最小值為p，最大值為q，則p+q=____．解：6x+7y=2012，

方程可以變形為：，

所以x+y=+y=，

由上述算式可知，y取最大值時，x+y值最??；y取最小值時，x+y值最大；

因為x、y都是正整數(shù)，所以2012﹣7y≥6，所以可得：y≤286，經(jīng)過計算驗證可得y最大是284，最小是2，

所以p==288，q==335，

所以p+q=288+335=623，

【趁熱打鐵-1】不定方程2x+3y+7z=23的自然數(shù)解是____．【例2】寫出滿足的兩組數(shù)?！境脽岽蜩F-2】若圖形表示自然數(shù)且+++=1，那么△+□+○=14?！?9，□=3，○=2【例3】已知△和☆分別表示兩個自然數(shù)，并且，△+☆=__5__．△=2，☆=3【趁熱打鐵-3】若x，y是正整數(shù)，且，則x+y=____．解：因為，，所以，則，4x+y=xy，即y=，則，0＜x﹣1≤5，且x≠1，x，y都不為0，則，根據(jù)x，y是正整數(shù)，可得：，，所以，x+y=2+8=10，或x+y=3+6=9，或x+y=5+5=10．故答案為：10或9．【例4】已知x，y滿足x+[y]=2009，{x}+y=20.09；其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，{x}表示x的小數(shù)部分，即{x}=x﹣[x]，那么x=____．根據(jù)題意，[y]是整數(shù)，所以x=2009﹣[y]也是整數(shù)，即[x]=x，那么{x}=x﹣[x]=0，由此可得y=20.09﹣{x}=20.09﹣0=20.09，所以[y]=20，x=2009﹣[y]=2009﹣20=1989．

故答案為1989．【趁熱打鐵-4】解方程：[x]×{x}+x=2{x}+9，其中[x]表示如x的整數(shù)部分，{x}表示x的小數(shù)部分．如[3.14]=3，{3.14}=0.14．（要求寫出所有的解）解：根據(jù)分析，設x的整數(shù)部分為a，a≥1；x的小數(shù)部分為b，0≤b＜1，依題意：ab+a+b=2b+9，

整理得：（a﹣1）（b+1）=8，∵1≤b+1＜2，∴4＜a﹣1≤8，且a﹣1為整數(shù)．

①當a﹣1=8，即a=9，b=0，x=9；

②當a﹣1=7，a=8，b=，x=；

③當a﹣1=6，即a=7，b=，x=；

④當a﹣1=5，即a=6，b=，x=．

綜上，方程的解為：x=9；x=；x=；x=。

【例5】將某同學生日的月份數(shù)與31的乘積、日數(shù)與12的乘積相加，得到和為376．問這位同學的生日是幾月幾號．解：假設某同學的生日是X月Y日，根據(jù)題意有方程31X+12Y=376，即31X=376﹣12Y（其中X、Y都是正整數(shù)，X是1～12，Y是1～31）由于方程右邊能被4整除，所以左邊也應能被4整除，由于4與31互質(zhì)，所以X必能被4整除，X只能為4，8，12之一，檢驗知，只有X=4滿足，這時Y=21，所以，該同學的生日是4月21日．答：這位同學的生日是4月21日．【趁熱打鐵-5】多思超市銷售的巧克力有每包5粒裝與每包7粒裝兩種．小美共買了71粒巧克力，且她購買7粒裝的包數(shù)比5粒裝的包數(shù)多．她共買了多少包巧克力？假設買了包5粒裝的，b包7粒裝的，則5a+7b=71當a=3時，b=8當a=10時，b=3因為買7粒裝的包數(shù)比5粒裝的包數(shù)多所以買了3包5粒裝的和8包7粒裝的3+8=11（包）【例6】在上升的電梯中稱體重，體重器顯示出體重數(shù)值比實際體重增加；在下降的電梯中稱體重，體重器顯示出體重數(shù)值比實際體重減少．如果電梯上升的瞬間小明的體重與在電梯下降瞬間小剛的體重相同，并且他們的實際體重都是小于50千克的整數(shù)．那么，小明與小剛的實際體重一共是____千克．設小剛體重x千克，小強y千克，根據(jù)題意可得方程：，

方程變形為：，

因為x、y都是整數(shù)，且0﹣50之間能被49整除的數(shù)只有49，

當y=49時，x=36，

49+36=85（千克）

【趁熱打鐵-6】箱子里裝有若干個相同數(shù)量的黑球和白球，現(xiàn)往箱子里再放入14個球（只有黑球和白球），這時黑球數(shù)量占球的總數(shù)的，那么現(xiàn)在箱子里有______個白球．解：設一開始有x個白球，也就是黑球也有x個，后面放進去的白球有y個，則黑球有14﹣y個，由題意：

（14﹣y+x）÷（2x+14）=，4x=6y﹣70；

顯然，y的取值是從0一直取到14，但由于x必須大于0，故而必須有：

6y﹣70≥0，y≥11.7，

即y的取值是12，13，14；

當y=12時，x=0.5

當y=13時，x=2

當y=14時，x=3.5

必須為正整數(shù)，故，y為13，x為2；現(xiàn)在箱子里有白球：2+13=15（個）．【例7】某地實行階梯水價，且每個月都按整數(shù)噸收費；每月不超過20噸，每噸1.8元；20噸以上，但不超過30噸的部分每噸2.4元；30噸以上的部分每噸3元．某戶三、四兩個月的水費合計117元，且三月份比四月份用水不超過10噸．該戶三月份用水多少噸？四月份用水多少噸？解：設三月份用水x噸，四月份用水y噸，

①都不超過30噸；根據(jù)題意得：20×1.8×2+（x+y﹣40）×2.4=117

整理得：x+y=58.75，

因為每個月都按整數(shù)噸收費，所以假設不成立．

②假設四月份不超過30噸；根據(jù)題意得：

20×1.8×2+10×2.4+3（x﹣30）+2.4（y﹣20）=117，整理得：3x+2.4y=159，

因為每個月都按整數(shù)噸收費，所以只有x=33，y=25時，方程才成立．

答：該戶三月份用水33噸，四月份用水25噸．【趁熱打鐵-7】某地按下列規(guī)定收取電費，如果每月用電不超過24度，就按每度電9角錢收取；如果超過24度，超過部分按每度電2元收費，已知在某月中甲家比乙家多交的電費9元6角（電的度數(shù)取整數(shù)），甲乙兩家各交多少電費？解：因為最終甲戶比乙戶多交電費9角6分，而用電度數(shù)按整數(shù)計算，9.6不能被0.9和2.0整除，所以甲必超過24度，乙不到24度，設甲用電（24+x)度，乙用電（24-y)度2x+0.9y=9.6(x,y必須是整數(shù)）只有x=3時y=4符合要求，所以：甲27度27.6元，乙20度18元，【例8】一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的小球，紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過個。解：設小明摸出的10個球中有x個紅球，y個黃球，乙個藍球。依題意列得方程組：①×3-②得2x+y=9,即y=9-2x.由于y是非負整數(shù)，x也是非負整數(shù)。易知x的最大值是4.即小明摸出的10個球中至多有4個紅球。故答案為：4.【趁熱打鐵-8】今年學校舉行足球聯(lián)賽，共賽17輪（即每隊均需參賽17場）,計分辦法是勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，在這次足球比賽中，小虎足球隊得16分，所踢平場數(shù)是所踢負場數(shù)的整數(shù)倍，則小虎足球隊負場數(shù)的情況有種。解：假設小虎隊勝了x場，平了y場，負了z場，則依據(jù)題意可得解得：，因為k取正整數(shù)，所以當k=1時，z=7;當k=2時，z=5;當k=16時，z=1。綜上所述，小虎足球隊所負場數(shù)的情況有3種?！具^關精煉】1、n名棋手進行單循環(huán)比賽，即任兩名棋手間都比賽一場．勝者得兩分，平局各得一分，負者沒分．比賽完畢后，前四名各得8、7、5、4分，n=____．解：總場數(shù)為：場，總得分為：n（n﹣1），n（n﹣1）≤8+7+5+4+4（n﹣4）n2﹣5n﹣8≤0n≥4，4≤n≤6n=4，總分4×3=12分，與已知不符；n=5，總分5×4=20分，也與已知不符；n=6，總分6×5=30分，符合題意；因此n=6；2、李家和王家共養(yǎng)了521頭牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中僅有是母牛，李家和王家各養(yǎng)了多少頭牛？①李家的牛群中有67%是母牛，67是質(zhì)數(shù)，可以設李家養(yǎng)牛頭數(shù)為100x，王家的牛群中僅有是母牛，13是質(zhì)數(shù)，可以設王家養(yǎng)牛數(shù)是13y，列出方程：100x+13y=521．…（1）

②x和y是整數(shù)，分別取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=17．

或者解同余方程（1）．

（1）式兩邊除13，

﹣4x=1，Mod（13）．…（2）

x=3是（2）式的解，得到y(tǒng)=17．

答：李家和王家各養(yǎng)了300頭和221頭牛．3、有若干張面值分別為0.5元、0.8元和1.2元的郵票，面值共60元，其中面值為0.8元的郵票張數(shù)是面值為0.5元郵票張數(shù)的4倍，那么，面值為1.2元的郵票有____張．解：設可設面值為0.5元的郵票為x張，則面值為0.8元的郵票就有4x張，再設面值為1.2元的郵票有y張，根