⑤要點歸納

相對而言，二模的19題和20題偏重基礎知識的考察，包括實數(shù)的四則運算（絕對值、塞、三角比等）、

整式的運算（化簡求值）、不等式的計算、方程方程組求解等.

解決這些基礎的題目，其一是要注意解題格式，包括不可省略的步驟（比如無理方程和分式方程的檢驗），

一元二次方程兩個相等的實根寫成占=%等，不要因為不規(guī)范失分；其二則是要訓練計算能力，做到準而

快，計算精確的同時加快速度，為后面的大題贏取更多的時間.

一、代數(shù)式

1.常數(shù)的拆項公式：

①一=’+工（加，〃為正整數(shù)）;=--^-("為正整數(shù));

②

mnmn+nn+\

一一工（?,左為正整數(shù)）;

③7④-----------=------------------（及為正整數(shù)）

nyn+k）nn+k加++H(H+1)(〃+1)("+2)

2.整式的乘法公式：

（Q+Z?）（Q_Z?）=〃2—.(tz±Z?)2=。2±2ab+/.

(a±bp=々3±3。2萬.|_3ag±歷；(Q±6)(〃2a/?+Z?2)=[3±03；

222333

（Q+Z?+C）2=。2+62+。2+2ab+2bc+2ca;（6z+/7+c）^a+/7+c-ab-bc-caj=a+Z?+c-3abc.

3.因式分解：一提二代三分組

4.分式：

⑴分式的運算是以分式的基本性質、通分和約分的概念與運算法則為基礎，一整式的變形、因式分解為工

具.

⑵分式化簡求值：拆項變形、整體代入、取倒數(shù)等.

5.根式：

⑴基本性質①石：a>0,Vo>0；②籽=同，（y）~=a

⑵常用技巧：非負性性質、公式、換元、拆項、整體代入等.

二、方程與不等式

1.一元不等式（組）

2.一元二次方程

3.分式方程：

⑴去分母化為整式方程，注意驗根；

⑵換元法.特別地，倒數(shù)型，還具有爐+3、x+工或x-工等因式的平方型.

XXX

⑶特殊方程：形如」....-......匚的分式方程，可先左右分別通分.

x+2x+4x—6x—4

4.無理方程：

⑴兩邊平方去根號化為整式方程，注意驗根；

⑵換元法.

5.二元二次方程組：主要是運用“代入消元”和“因式分解降次”兩種思路.

模塊一基本代數(shù)問題

此類問題主要是在二模選擇題,填空題和19與20題中出現(xiàn)，包含幕運算、銳角三角比'因式分解'分式

化簡求值'不等式（組）、分式方程（組）、二元二次方程組等.考查學生的代數(shù)基本功，難度不大.

☆☆幕運算

⑴計算_2一而+0_應）°1

【例題1】+V2+1

【分析】原式=4一^/^+1+—1=4

⑵計算：曲+夜+(2-72014)°_(_1產。4+2_2]+

【分析】

原式=2+1-1+2-&-2=2-0

⑶計算：1（20-6）°+1-732|+的結果是.

【分析】原式=2夜-1+4夜+0+1=7上

☆☆分式計算

【例題2】⑴先化簡，再求值:

2

x+2x+1xx-1I，其中尤=&+1?

x1-xx+1X

【分析】

原式=」一,當尤=應+1,原式=交

x-12

-1\并求當尤=若-2時的值.

⑵化簡

【分析】

解：xwO且xw±l時，

12V12

1-xXXX

原式=+-----=------1------=-----

X)X2-11-x2x+l

當％=—2時，原式=----—.

X?—8%+16121

⑶化簡:-九+2+

x2+2xx+2x+4

(x-4)2冗+21

【分析】原式=

x(x+2)12-x2+4x+4

4-x14

---------1------=---------

x(4+x)x+4x(x+4)

4

x2+4x

☆☆銳角三角比計算

【例題3】計算：

(1)(sin30°)_1x(sin600-cos45°)-^(l-taneO0)2

【分析】1-6

(2)tan30°+2百-3cos60°+(2013-it)-1

7若31

【分析】---------1---------

322013-n

zxsin450+cos30°.

(Q3)sin60l0(l-sin30°)

3-2cos60°

【分析】垃

~4~

/八2…COS60°

(4)cos45-----------+tan2450-tan260°

1-sin30°

_5

【分析】

~2

⑸包1145。)2+(—；］o17

I-122?(百—1)+cot30°

3

【分析】

2

★★★☆☆解一元一次不等式（組）

【例題4】解下列不等式（組），并把解集用數(shù)軸表示出來

(1)-2<_±Y±-J-A1<5；

2

0l+2xl-3x1

-----1>一一

4105

小xx+11x+8

(3)x一一+<1+

236

2x-l5x+1

(4)p

5x-l<3(x+l)

3(x+l)<2x+3

⑸<x-1<x；

、了一5

-3(x+l)-(x-3)<8

(6)12x+l1-X/1

132

【分析】(1)-ll<x<3;(2)x>——;(3)x<3;(4)-l<x<2;(5)-2<x<0;(6)-2<x<l.

4

★★★☆☆解二元一次方程

[x+3y=8

【例題5】⑴解方程組22；

[x-4xy-5/=0

【分析】

由②得x-5y=0,x+y=0

原方程組化為產3y=8,[x+3y=8,

=0[x+y=0

解得ri'

l?=l[乃=4

⑵解方程組：卜丁6?+曠=9

x—y—4x+4y=0

【分析】

(x+3y『=9

(x-y)(x+y-4)=0

化為.Jx+3y=3+3y=31x+3y=-3(x+3y=-3

[x-y=0，[x+y-4=0'[x-y=0，[x+y-4=0

39315

洶二—

X1]=—“5/二萬

4了4

解得＜一，_，

31，37

Hl卜4二一5

P=Z為一一5

⑶解方程組4:r，2-?v2=一0

3x一孫+x+2y+6=0

【分析】

由①得2%+y=0或2%-丁=0

原方程組可化為

2x+y=02x-y=0

II.\9

3x2-xy+x+2y+6=03/_xy+x+2y+6=0

解I,方程組無解

解II得方程的解是卜”=一2,X2=-3

〔》=-4為=一6

X]=—2馬=-3

所以，原方程組的解為

5=-4.為=一6

★★★☆☆解無理方程

【例題6】⑴求解關于x的方程：^/^=x-3；

【分析】兩邊平方得：x+3=x2—6x+9

即%?—7兀+6=0

解得玉=6,x2=l.

經檢驗，x2=l是增根，舍去

⑵求解關于x的方程：J4x+1=Jx+4+Jx+3

【分析】兩邊平方得：4x+l=x+4+x+3+2^(x+4)(%+3)

整理得：%—3=4+7X+12

兩邊平方得：x2—6x+9=x2+7%+12

3

x=-----

13

經檢驗是原方程的根

⑶求解關于X的方程：,3%?+6x+4+43/+6犬+1=3

【分析】構造有理化因式)3爐+6%+4-，3乎+6x+1=1

與原方程相加，可得：,3-+6%+4=2

解得再=0,x2=—2

經檢驗，%=0,%=-2均為原方程的根

復雜代數(shù)問題

★★★★☆分式方程

【例題7】⑴若關于x的分式方程展+鼻=￡無解，則八一

⑵方程—三++---------------=2008的解是x=

26122008x2009

【分析】⑴-4或6或1

(2)2009

★★★★☆二次根式

【例題8】

出已知3。+44=16,m=4y/x-3y[y,則加的取值范圍是.

⑶已知整數(shù)X、y滿足：x6+-42009元-,2009y+12009孫=2009，且1v%vyv100，

貝!JJx+y+10=?

【分析】(1)/=16力=一2,,=-2

i—_48+4m

]36+4萬=1625

4石-36=mr-=64-3m

725

*.*Vx>0,Jy>0

j48+4m>064

解得-12<m<一.

[64—3m>03

⑶方程可化為(而一J2009)(?+后+J2009)=0,孫=2009

Vl<x<^<100,x=41,y=49

+y+10=10

★★★★☆公式

【例題9](1)已知正數(shù)a,b,c,滿足仍+a+Z?=Z?c+Z?+c=ca+c+a=99,

貝！)+++.

(2)設〃一6=2+百,b-c=2-6,貝()后+廿+。2-ab-bc-ca=.

aAiii

(3)已知：a+x2=2015,Z?+x2=2016,c+爐=2017,且"c=12,貝！|——+—+------------

beabacabc

【分析】(1)1000;(2)15;(3)2.

4

★★★★★

x

【懸賞題】⑴方程x+上+—+H------------=--2-009的解是x=

1+21+2+31+2+3++2009

/一+——+——+；—=巴得

⑵解方程

x+xx+3%+2x+5x+6x+7x+1221

【分析】(1)1005;(2)玉=—7,冗2=3.

1.（2022?上海寶山?統(tǒng)考二模）若關于％的一元一次方程Lm+2=0的解是負數(shù)，則根的取值范圍是

A.m>2B.m>2C.m<2D.m<2

【答案】c

【詳解】試題分析：：程X-m+2=0的解是負數(shù)，...xum-2<0,解得：m<2,故選C.

考點：解一元一次不等式；一元一次方程的解.

2.（2023?上海崇明?統(tǒng)考一模）若3=白，且冷*0,則—=_____.

23y

【答案】|5##112

【分析】由等式彳=白，兩邊同時除以方v，可得一x=2￡,進而根據分式的性質求解即可

232y3

【詳解】|=|,且孫/0,

.1_2

"7=3

故答案為：g

【點睛】本題考查了分式的性質，等式的性質，掌握分式的性質是解題的關鍵.

Y4x-V

3.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考一模）已知一二不，則一-=________________.

>3x+y

【答案】:

犬

【分析】設一的公比為K貝ijx=4左，、=3左，代入求解即可得到答案；

y

冗

【詳解】解：設一的公比為晨貝！Jx=4人尸3人，

y

.x-y_Ak-3k_1

…x+y4k+3k7'

故答案為:.

【點睛】本題考查分式的性質，解題的關鍵是設出公比表示出x,y.

4.（2022.上海長寧?統(tǒng)考二模）在實數(shù)范圍內因式分解--3=

【答案】卜+6）（X-川##（龍-西卜+碼

【分析】根據平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：V-3=伊叫卜-碼.

故答案是：卜+叫卜-叫.

【點睛】本題考查了實數(shù)范圍內分解因式，掌握"-62=（4+6）（。-6）是解題的關鍵.

5.（2022?上海靜安?統(tǒng)考二模）方程二i=l的解是.

【答案】x=\

【分析】首先方程兩邊同時平方，把無理方程化為有理方程，再解方程即可求得

【詳解】解：方程兩邊同時平方，得3尤-2=1,

解得x=l,

經檢驗，x=l是原方程的解，

所以，原方程的解為x=L

故答案為：x=l.

【點睛】本題考查了無理方程的解法，熟練掌握和運用無理方程的解法是解決本題的關鍵，注意要檢驗.

6.（2022?上海普陀.統(tǒng)考二模）如果關于x的方程（x-1尸=相沒有實數(shù)根，那么實數(shù)機的取值范圍是

【答案】m<0

【分析】根據直接開平方法定義即可求得m的取值范圍.

【詳解】解：:?關于x的方程（x-iy=%沒有實數(shù)根，

??zzzv0,

故答案為：相<0.

【點睛】考查了解一元二次方程的直接開平方法，解決本題的關鍵是掌握直接開平方法.

7.（2022秋?上海楊浦?九年級統(tǒng)考期中）已知點尸是線段AB上的一點，如果轉2=成..，且釬=2,

那么取=.

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】根據題意作出示意圖，結合轉2=成.轉列出關于吩的方程求解即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

A1-------------1----------'B

P

AP=AB-BP,

AP?=BPAB，AP=2

22±

:.AP=BP\AP^BP）f即22=BP（2+BP）,整理得5尸?+25尸一4=0,mBP=-^=-1+45,

BP>0,

.-.BP=-1-75（舍去）；BP=-l+45,

故答案為：V5-1.

【點睛】本題考查由線段關系列方程，涉及解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程及所求結果

的實際意義取舍是解決問題的關鍵.

8.（2022春?上海虹口?九年級統(tǒng)考期中）方程萬1=2的解是.

【答案】x=-2

【分析】方程兩邊同時平方得整式方程，求解后進行檢驗即可.

【詳解】解:萬1=2

方程兩邊同時平方得，2-x=4

解得，x--2

經檢驗，x=—2是原方程的解，

所以，原方程的解是x=-2

【點睛】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注

意根據方程的結構特征選擇解題方法.

1

9.（2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模）計算:4cos30°-sin60°+

2tan45°-cot30°

【答案】5+出

【分析】根據特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，實數(shù)的混合運算即可求解.

【詳解】解：4cos30°.sin600+2tan45o_cot3()o

43芹+]

222x1-73

1

=3+

2-石

2+6

=3+

4—3

=3+2+6

=5+6.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的混合運算，掌握特殊角的三角函數(shù)值及其混合運算是解題的關鍵.

10.（2022春?上海?九年級?？茧A段練習）先化簡，再求值：\^~一一二口半上，其中4=6-1.

-1a+lja-a

【答案】T，2-73

〃+2

【分析】括號內先通分進行分式的加減運算，然后再進行分式的乘除運算，最后代入數(shù)值進行分母有理化

計算即可

laa-1Q+2

【詳解】原式=

Q(Q_1)

a+1a(a-l)

2----------

+----------a+2

a

Q+2

當Q=8-1時,

也-1

原式=

A/3-1+2

(V3+1)(A/3-1)

4-2指

2

=2-君

【點睛】本題考查了分式的化簡求值和分母有理化，熟練掌握分式化簡求值的步驟是解題的關鍵

11.（2。22秋?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期中）計算：&-233。。+港3。。丁肅：*45。

【答案】-2

【分析】先把式子化最簡，再把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

I---------------------------APQQ6no

【詳解】解：a-28t3。。+混3。。-360。345。

邛一聞-兀

=石_1-函+1)

=A/3-1-^-1

=—2.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的計算，完全平方公式，二次根式的化簡，解題的關鍵是掌握牢

記特殊角的三角函數(shù)值.

12.（2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中）已知：|=|=2x-3y+4z=33,求代數(shù)式3x-2y+z的值.

【答案】12

【分析】設比值為左,用上表示出X、y、z,然后代入等式求出上,從而得到X、y、z,再代入代數(shù)式

進行計算即可得解.

【詳解】解:設?：=尢,則x=2-,y=3k,z=4k,

2x-3y+4z=33,

二.4左一9左+16%=33,

解得：k=3,

:.x=6,y=9,z=12,

「.3%—2y+z=3x6—2x9+12=18—18+12=12.

【點睛】本題考查了比例的性質，代數(shù)式求值.利用“設女法”表示出入、V、z求解更簡便.

x+y=2

13.（2022?上海松江?統(tǒng)考二模）解方程組:

x2—xy—2y2=10

（x=3

【答案】,

[y=-l

【分析】先將/-孫-2y2=10左側因式分解化為尤-2y=5,再解二元一次方程組即可.

【詳解】解：：Y-孫-2;/=尤2-尤y+-'y?=(x+y)(x-2y)=10

尤+y=2①

原方程組可化為

尤-2y=5②'

①一②得，3y=-3,

解得：y=-i

將y=T代入①中得％-1=2,

解得：x=3,

x=3

所以原方程組的解為

y=T

【點睛】本題主要考查解二元一次方程組、因式分解，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵.

14.⑵23?上海長寧?統(tǒng)考一模）計算：BEF+舞珠

【答案】V3-1

【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，根據二次根式的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=，芯111

*2J22+73

十石-1

=A/3—1

【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解題的關鍵.

2

15.（2022春.上海浦東新?九年級?？计谥校┯嬎?-2sin45°+(2-%)°-

2-72

【答案】-6

【分析】本題利用零指數(shù)幕、負指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡的性質.分別進行計算，然

后根據實數(shù)的運算法則求得計算結果.

2（2+⑹-2容1-手

【詳解】解:原式=

（2-V2）（2+A/2）

=2+-\/2—5/2+1—9

=-6

【點睛】本題主要考查了零指數(shù)幕、負指數(shù)幕、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡的性質，解

決此類題目的關鍵是熟練掌握零指數(shù)塞、負指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式等知識點的運算.

16.(2022?上海?上外附中?？寄M預測)計算

(1)一32—(乃一3)°-1+(—2尸

?a+b2b

(2)-----+----

a—bb-a

【答案】⑴-8；

⑵L

【分析】(1)先計算乘方、零指數(shù)幕及負指數(shù)累，再進行計算即可;

(2)先將6-。變行為進而計算即可.

【詳解】(1)解：-32-(^-3)°-14-(-2)-1

=-10+2

二一8；

(2)解..

a-b7b7-a

_a+b2b

a-ba-b

_a+b-2b

a-b

_a-b

a-b

=1.

【點睛】本題主要考查了含有乘方的有理數(shù)的混合運算、負指數(shù)幕以及分式的加減，熟練掌握各運算法則

是解題的關鍵.

X—2y—2=0

17.(2022秋.上海.九年級開學考試)解方程組：

X2+2xy+y2=1

4

x=—

x=03

【答案】y=T或'

1

j=一

3

【分析】利用完全平方公式對二元二次方程進行因式分解，得到兩個二元一次方程，分別與原方程組中的

第一個方程構成兩個二元一次方程組，即可得到方程組的解.

x—2y-2=0(1)

【詳解】解：方程組:

x2+2xy+y2=1②

由方程②得：（%+才=1,

x+y=i,或x+y=T,

x-2y=2x-2y=2

即組成方程組1或

x+y=lx+y=-l

4

x=—

x=0

解這兩個方程組得：31或

y=-i

y二一一

3

4

x=—

x=03

即原方程組的解為:或-

y=-i1

y二一一

3

【點睛】本題考查了二元二次方程組的解法，關鍵在于通過因式分解把二次方程組化為二元一次方程組.

x+2y=2①

18.（2022?上海崇明?統(tǒng)考二模）解方程組:

x2-5xy+4y2=0②

24

23

【答案】

1

【分析】將方程②因式分解，得到兩個新的方程,原方程組轉化為兩個新的方程組，求解即可.

【詳解】由②得：（x—y）（x-4y）=0,

x-y=0或x-4y=0,

因此，原方程組可以化為兩個二元一次方程組

x+2y=2、無+2y=2

x-y=0或

x-4y=0

24

;或＜

分別解這兩個方程組，得原方程組的解是

1

yi=33

【點睛】本題考查二元一次方程組，因式分解；注意將②式因式分解轉化為兩個方程是本題關鍵.

31

19.（2022秋?上海奉賢?九年級統(tǒng)考階段練習）解方程：-------=1.

x-3x無一3

【答案】x=-l

【分析】兩邊乘X（X-3）把分式方程轉化為整式方程即可解決問題.

【詳解】兩邊乘x（x-3）得到3-x=x2-3x,