北京師大附屬實驗中學2025屆數(shù)學高一下期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．下列各角中，與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．3．在邊長為1的正方體中，，，分別是棱，，的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面沒有公共點，則三角形面積的最小值為（）A．1 B． C． D．4．兩條直線和，，在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．5．已知數(shù)列1，，，9是等差數(shù)列，數(shù)列1，，，，9是等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．6．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則的方程為（）A． B．C． D．7．圓心在(-1,0),半徑為的圓的方程為()A． B．C． D．8．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則9．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．10．已知向量，，，的夾角為45°，若，則（）A． B． C．2 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個表面積為的球，若，則的最大值是_______.12．已知函數(shù)，的最大值為_____.13．已知是邊長為的等邊三角形，為邊上（含端點）的動點，則的取值范圍是_______.14．在中，角所對的邊分別為，若，則=______．15．已知為等差數(shù)列,,前n項和取得最大值時n的值為___________.16．已知函數(shù)的圖象如下，則的值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知二次函數(shù)滿足以下要求：①函數(shù)的值域為；②對恒成立。求：（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求時的值域。18．如圖所示，在中，點在邊上，，，，.（1）求的值；（2）求的面積.19．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示：表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖．(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，y=a+bx與(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數(shù)據(jù)：其中υ參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,υ1,20．如圖是函數(shù)的部分圖像，是它與軸的兩個不同交點，是之間的最高點且橫坐標為，點是線段的中點.（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列位的前項和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意得，因為，所以，所以，故，故選C.2、B【解析】

給出具體角度，可以得到終邊相同角的表達式.【詳解】角終邊相同的角可以表示為，當時，，所以答案選擇B【點睛】判斷兩角是否是終邊相同角，即判斷是否相差整數(shù)倍.3、D【解析】

根據(jù)直線與平面沒有公共點可知平面.將截面補全后,可確定點的位置,進而求得三角形面積的最小值.【詳解】由題意,,分別是棱,,的中點,補全截面為,如下圖所示:因為直線與平面沒有公共點所以平面,即平面,平面平面此時位于底面對角線上,且當與底面中心重合時,取得最小值此時三角形的面積最小故選:D【點睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應用,過定點截面的作法,屬于難題.4、A【解析】

由方程得出直線的截距，逐個選項驗證即可.【詳解】由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為，直線的橫、縱截距分別為選項A，由的圖象可得，可得直線的截距均為正數(shù)，故A正確；選項B，只有當時，才有直線平行，故B錯誤；選項C，只有當時，才有直線的縱截距相等，故C錯誤；選項D，由的圖象可得，可得直線的橫截距為正數(shù)，縱截距為負數(shù)，由圖像不對應，故D錯誤；故選：A【點睛】本題考查了直線的截距式方程，需理解截距的定義，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)可分別求得，，代入即可得到結(jié)果.【詳解】由成等差數(shù)列得：由成等比數(shù)列得：，又與同號本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應用，易錯點是忽略等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同的特點，從而造成增根.6、D【解析】

設(shè)直線的方程為，代入點（1,0）的坐標即得解.【詳解】設(shè)直線的方程為，由題得.所以直線的方程為.故選D【點睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)圓心和半徑可直接寫出圓的標準方程.【詳解】圓心為(-1,0),半徑為，則圓的方程為故選：A【點睛】本題考查圓的標準方程的求解，屬于簡單題.8、D【解析】

A項，可能相交或異面,當時，存在，，故A項錯誤；B項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故B項錯誤；C項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故C項錯誤；D項，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項正確,故選D.本題主要考查的是對線，面關(guān)系的理解以及對空間的想象能力.考點：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)；直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì).9、A【解析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【點睛】本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

利用向量乘法公式得到答案.【詳解】向量，，，的夾角為45°故答案選C【點睛】本題考查了向量的運算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)已知可得直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以,可得的內(nèi)切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，所以此時的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直三棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及組合體的性質(zhì)和球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.12、【解析】

化簡，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【點睛】本題考查三角函數(shù)的最值問題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識點，屬于中檔題。13、【解析】

取的中點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，設(shè)點的坐標為，其中，利用數(shù)量積的坐標運算將轉(zhuǎn)化為有關(guān)的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：取的中點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則點、、，設(shè)點，其中，，，，因此，的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以利用基底向量法以及坐標法求解，在建系時應充分利用對稱性來建系，另外就是注意將動點所在的直線變?yōu)樽鴺溯S，可簡化運算，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解析】根據(jù)正弦定理得15、20【解析】

先由條件求出，算出，然后利用二次函數(shù)的知識求出即可【詳解】設(shè)的公差為，由題意得即，①即，②由①②聯(lián)立得所以故當時，取得最大值400故答案為：20【點睛】等差數(shù)列的是關(guān)于的二次函數(shù)，但要注意只能取正整數(shù).16、【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出,由半個周期求出,最后將特殊點的坐標求代入解析式,即可求得的值.【詳解】解：由圖象可得,,得.,將點代入函數(shù)解析式,得,,,又因為,所以故答案為：【點睛】本題考查由的部分圖象確定其解析式.（1）根據(jù)函數(shù)的最高點的坐標確定（2）根據(jù)函數(shù)零點的坐標確定函數(shù)的周期求（3）利用最值點的坐標同時求的取值,即可得到函數(shù)的解析式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）將寫成頂點式，然后根據(jù)最小值和對稱軸進行分析；（2）先將表示出來，然后利用換元法以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解值域.【詳解】解：（1）∵又∵∴對稱軸為∵值域為∴且∴,，則函數(shù)（2）∵∵∴令,則∴∵∴，則所求值域為【點睛】對于形如的函數(shù)，其單調(diào)增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：和.18、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)，分別在和中利用余弦定理計算，聯(lián)立方程組，求得的值，再由余弦定理，即可求解的值；（2）由（1）的結(jié)論，計算，利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1），則，所以在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，由余弦定理得（2）由（1）求得，，所以，所以.【點睛】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）y=c?dx【解析】

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜；（2）y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關(guān)于活動推出天數(shù)（2）∵y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：1gy=1g(c?d設(shè)1gy=v,∴v=1gc+1gd?x∵x=4,v∴l(xiāng)gd=把樣本中心點(4,1.54)代入v=1gc+1gd?x,得:∴v=0.54+0.25x，∴y關(guān)于x的回歸方程式：y=把x=8代入上式，y=3.47×活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；【點睛】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點．線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，對于具有確定關(guān)系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預測值是預測變量的估計值，不是準確值.20、（1）（2）【解析】

（1）由點是線段的中點，可得和的坐標，從而得最值和周期，可得和，再代入頂點坐標可得，再利用整體換元可求單調(diào)區(qū)間；（2）令得到，討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最值即可.【詳解】（1）因為為中點，，所以，，則，，又因為，則所以，由又因為，則所以令又因為則單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為所以令，則對稱軸為①當時，即時，；②當時，即時，（舍）③當時，即時，（舍）綜上可得：.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解三角函數(shù)的解析式及二次函數(shù)軸動區(qū)間定的最值問題，考查了學生的分類討論思想及計算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題干可推導得到，進而得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；（2）由