—2024學年度高一6月聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?？荚嚂r間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A． B． C． D．22．某地一年之內(nèi)12個月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為（）A．58 B．60 C．61 D．623．如圖，平行四邊形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形與間的距離為（）A．1 B． C． D．44．某機構(gòu)統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為650．現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為（）A．11 B．13 C．22 D．265．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則（）A． B．5 C．或6 D．或6．已知復數(shù)滿足（，，，若是關(guān)于的方程的一個根，則等于（）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，測量河對岸的可視塔底的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，米，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（）A． B． C． D．8．已知球與正方體的各個面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（）A． B． C．1 D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．某學校開展知識競賽，競賽成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示。根據(jù)頻率分布直方圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．眾數(shù)為80C．第71百分位數(shù)是82 D．平均分是75.510．下面四個命題中正確的是（）A．對應的點在第二象限B．若復數(shù)，滿足，則C．方程在復數(shù)集內(nèi)有兩解和D．已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的軌跡是圓11．在邊長為2的正方形中，，分別為，的中點，沿、及把這個正方形折成一個四面體，使得、、三點重合于點，得到四面體，頂點在底面上的射影為，下列結(jié)論正確的是（）A． B．點為的外心C．點到三個側(cè)面距離的平方和等于 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，那么另一組數(shù)，，，，的方差是________．13．已知向量，滿足，，則最大值為________，最小值為________．14．在直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的正弦值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，棱長為1的正方體中，，，，分別是，，，的中點．（1）計算三棱臺的體積；（2）求證：平面平面．16．（15分）某調(diào)研小組調(diào)查了某市1000名外賣騎手平均每天完成的任務量（簡稱“單量”），得到如下的頻數(shù)分布表：單量/單人數(shù)100120130180220150603010（1）補全該市1000名外賣騎手每天單量的頻率分布直方圖；（2）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，試求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）根據(jù)外賣騎手的每天單量，參考某平臺的類別將外賣騎手分成三類，調(diào)查獲知不同類別的外賣騎手開展工作所投入的裝備成本不盡相同，如下表：日單量/單類別普通騎手精英騎手王牌騎手裝備價格/元250040004800根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本．17．（15分）已知，復數(shù)，，在復平面上對應的點分別為、、，為坐標原點．（1）求的取值范圍；（2）當、、三點共線時，求三角形的面積．18．（17分）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．19．（17分）如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）若點在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2023—2024學年度高一6月聯(lián)考數(shù)學參考答案及評分意見1．A【解析】因為，則，所以．故選A．2．C【解析】注意到，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為第9，第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為．故選C．3．C【解析】如圖所示，過引軸，交軸于點，則長度的兩倍即為所求，在中，，即，解得，即原圖形與間的距離為，故選C．4．C【解析】由題意知碩士學歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比為，現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為．故選C．5．C【解析】因為平面向量，，兩兩的夾角相等，所以平面向量，，兩兩的夾角為或，又，，，當夾角為時，即，，同向，則；當夾角為時，則，，，則，綜上所述，或．故選C．6．C【解析】∵，∴，∴，是關(guān)于的方程的一個根，則也是方程的另一個根，根據(jù)韋達定理可得解得或（舍去），所以．故選C．7．A【解析】由已知，，米，故，所以，即，解得，又因為在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，即，所以在中，．故選A．8．D【解析】解法1：設(shè)正方體棱長為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，由題意，球心與的距離為，到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長為．故選D．解法2：設(shè)正方體棱長為，內(nèi)切球與正方體各面的切點，恰好為等邊三角形各邊的中點，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，又因為平面截此球所得的截面的面積為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長為．故選D．9．ACD【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，故A正確；眾數(shù)的估計值為75，故B錯誤；前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則設(shè)第71百分位數(shù)是，，所以，解得，所以第71百分位數(shù)是82，故C正確；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為，故D正確．故選ACD．10．AD【解析】對于A，復數(shù)對應的點為，故該點在第二象限內(nèi)，故A正確；對于B，令，，滿足，但，故B錯誤；對于C，方程在復數(shù)集內(nèi)有兩解和，故C錯誤；對于D，復數(shù)滿足，整理得：，故（無意義），所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的軌跡為圓，故D正確．故選AD．11．ACD【解析】因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；因為平面，平面，所以，又，又，所以平面，又平面，所以．同理可證，，所以點為的垂心，故B錯誤；利用補體思想，以為體對角線構(gòu)造長方體，結(jié)合長方體對角線的幾何性質(zhì)，可知C正確；取的中點為，連接，，則，，，故D正確．故選ACD．12．5【解析】∵一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，∴另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差．故答案為5．13．【解析】∵，，設(shè)和的夾角為，∴，∴時，取最大值；時，取最小值．故答案為；．（第一空3分，第二空2分）14．1【解析】由題意，如圖所示，連接，，取中點為，連接，，則，故為異面直線與所成角或其補角，易得，，，從而，所以異面直線與所成角為，即正弦值為1，故答案為1．另解：平面，又，根據(jù)三垂線定理可知．15．（1）解：由題可知，，，， 2分故根據(jù)棱臺的體積公式，可得棱臺的體積．4分（2）證明：如圖所示，連接，，，，分別是，，，的中點．所以，，所以，平面，平面，所以平面． 6分連接，在正方體中，因為、分別是、的中點，所以，，因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形， 8分故， 9分因為平面，平面，所以平面， 11分又，所以平面平面． 13分16．解：（1）由第二組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，由第四組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，補全該市1000名外賣騎手周單量的頻率分布直方圖，如下： 4分（2）由頻數(shù)分布表知第一組頻率為0.1，第二組頻率為0.12，第三組頻率為0.13，第四組頻率為0.18，，， 6分可知中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則由， 8分解得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為29.2． 10分（3）依題意可知，被調(diào)查的1000人中，普通騎手共有（人），精英騎手共有（人），王牌騎手共有（人），12分所以這1000名外賣騎手購買裝備的平均成本為（元），故估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本為3750元． 15分17．解：（1）因為，，所以， 2分． 4分當且僅當時取得等號，所以． 6分（2）因為，，且，，三點共線時，有，即，解得． 8分此時，，，11分所以， 13分所以． 15分18．（1）證明：根據(jù)題意，若，由正弦定理可得，即，整理得．因為，所以， 3分即，又由，則有，即，所以，∴得證． 6分（2）解：因為．所以，所以由余弦定理得，所以， 8分所以． 9分又由正弦定理得，，所以，所以， 12分又解得，， 14分則有，所以，所以， 16分所以． 17分19．（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，∴，∴． 1分在中，，，，∴，∴． 2分∵，、平面，∴平面． 3分又平面，