1.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延線于E求證：BD=2CE練習：已知，如圖，∠ACB=3∠B，∠1=∠2,CD⊥AD于D，求證：AB－AC=2CD2有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求證：∠BAP＋∠BCP=180o練習：1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線3已知，如圖，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點，若∠CBD=20o，求∠CED的度數(shù)。二.有等腰三角形時常用的輔助線⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線。已知，如圖，AB=AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC=2∠DBC⑵有底邊中點時，常作底邊中線例：已知如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點，DE⊥AB于E，DF于F，求證：DE=DF⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE=AF，求證：EF⊥BC⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EF⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD=AE，連結(jié)DE求證：DE⊥BC四有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF=FC2延長CB到F，使DF=DC，連結(jié)AF則AF=AC18有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D求證：CD=AB＋BD26．“太湖明珠”無錫要建特大城市,有人建議無錫()、江陰（）、宜興（）三市共建一個國際機場，使飛機場到江陰、宜興兩城市距離相等，且到無錫市的距離最近.請你設計機場的位置（要保留作圖痕跡哦?。?（８分）1.線段的垂直平分線是一條直線，不是射線也不是線段.2.證明兩個三角形全等，需寫出所需的三組條件，并用大括號括在一起，注意對應位置.3.書寫證明過程要注意格式，即：①準備條件：把題中沒有直接的條件證明出來；②指明范圍：在哪兩個三角形中；③擺齊條件：把要證明的兩個三角形全等的條件按順序擺好；④得出結(jié)論：得出三角形全等的縱論．【方法技巧】1.要說明兩條線段相等的方法可以通過說明三角形全等來解決.2.要充分挖掘隱含條件，如公共邊，當公共邊是對應邊時，它們是相等的．3.需要抓住圖形特征，有時需運用等式的性質(zhì)創(chuàng)造對應邊相等的條件，從而證兩個三角形全等．1.如圖，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．22.如圖，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于點E，過E點作EF∥BC，交CD于F.⑴根據(jù)給出的條件，可以直接證明哪兩個三角形全等？并加以證明．⑵EF平分∠DEC嗎？為什么？3.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE．（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；解幾何題時如何畫輔助線?當問題的條件不夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行①見中點引中位線，見中線延長一倍方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分一：中點、中位線，延線，平行線。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知DAD為△CABC的中線，且∠11＝∠2,∠33＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等角形中。對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥CAC于于AA，BC⊥DBD于于BB，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。例例22．．已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例例33．．已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2．已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例例11．．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180圖1-3AB：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。B遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．4)過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補短法