第2課時對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用

［學習目標］1?進一步加深理解對數(shù)函數(shù)的概念2掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用.

廠知識梳理

知識點一對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性

(1)設y=logaf(x)(a>0且1)，首先應求使f(x)>0的x的范圍，即函數(shù)的定義域.

(2)在定義域內(nèi)考慮u=f(x)與y=logau的單調(diào)性，然后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”

來確定復合函數(shù)的單調(diào)性，所謂“同增異減”即內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復合函數(shù)為增

函數(shù)；內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反時，復合函數(shù)為減函數(shù)

知識點二對數(shù)型函數(shù)的奇偶性

對數(shù)函數(shù)本身沒有奇偶性，但有些函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復合后，就具有奇偶性，如y=log?兇就

是偶函數(shù)?證明這類函數(shù)具有奇偶性的方法是利用函數(shù)奇偶性的定義，并結合有關對數(shù)的運算性質(zhì)?

題型援寵幣:點‘突破

題型一對數(shù)值的大小比較

例1比較下列各組中兩個值的大?。?/p>

⑴log31.9,Iog32；

(2)log23,log0.32;

(3)logan,Ioga3.14(a>0.a*1).

解⑴因為y=log3x在(0,+s)上是增函數(shù)，

所以logsl.9<logs2.

⑵因為Iogz3>log21=0,logo.32<log0.31=0,

所以Iog23>logo.32.

⑶當a>1時，函數(shù)y=logax在(0.+)上是增函數(shù)，

則有l(wèi)ogan>log3.14:

當0<a<1時>函數(shù)y=logax在(0,+八)上是減函數(shù)，

則有l(wèi)ogan<log3.14.

綜上所得,當a>1時，logan>log3.14；當0<a<1時>logan<log3.14.

反思與感悟比較對數(shù)式的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行比較

(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論

(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順

222

時針方向底數(shù)增大的規(guī)律畫出函數(shù)的圖象，再進行比較

(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較?

跟蹤訓練1⑴設a=Ioga2,b=Iogs2,c=耿23,則()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

⑵已知a=Iog23.6,b=Iog43.2,c=Iog43.6，則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

答案⑴D(2)B

解析(1)a=log32VIogs3=1;c=log23>log22=1,

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52VIog32,

???bvavc,故選D.

(2)a=Iog23.6=Iog43.62?函數(shù)y=log4X在(0,+八)上為增函數(shù),3.62〉3.6〉3.2,所以a>c>b，故選B.

題型二對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性

例2討論函數(shù)y=logo.3(32x)的單調(diào)性.

3

解由3—2x>0，解得xv|

設t=3—2x,x€(—a,|).

---函數(shù)y二log。.3t是減函數(shù)，且函數(shù)t=3-2x是減函數(shù)，

3

?函數(shù)y=log=.3(3—2x)在(一a,刁上是增函數(shù).

反思與感悟1.求形如y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一定樹立定義域優(yōu)先意識，即由f(x)>o,

先求定義域.

2.對于復合函數(shù)的單調(diào)性判斷要遵循“同增異減”的原則.

跟蹤訓練2求函數(shù)y=啕2廿-5x+6)的單調(diào)區(qū)間.

解由y=X2—5x+6的圖象可知'函數(shù)y=Iog2(x2—5x+6)的定義域為(-a,2)U(3,+a),令u=x2一

2

5x+6,可知u=x—5x+6在(一a,2)上是減函數(shù)，在(3,+a)上是增函數(shù)>而y=log2U在(0,+a)上為

增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+a)-單調(diào)遞減區(qū)間為(-

a,2).

題型三對數(shù)型復合函數(shù)的值域或最值

1

例3求丫=(log1x)2-2log±x+5在區(qū)間［2,4］上的最大值和最小值.

22

解因為2<x<4,所以log12>log1x>log14,

222

即一1>log1x>—2.

2

設t=log1X,則一2Wt<—1,

2

11

所以y=t2-qt+5,其圖象的對稱軸為直線t=4，

所以當t=—2時1ymax=10；當t——1時'y(nin=a3.

反思與感悟1?這類問題一般通過換元法轉化為一次函數(shù)或二次函數(shù)的最值問題

2?注意換元時新元的范圍.

XX2X

跟蹤訓練3已知實數(shù)x滿足4-10-2+16W0-求函數(shù)y=(logax)-logrx+2的值域.解不等式4-

102x+16W0可化為(2、產(chǎn)-102x+16<0,

即(2X-2)(2,—8)w0?從而有2w2乂<8,即1<x<3.

所以0wlogaxw1.

由于函數(shù)y=(log3X)2—logs.x+2可化為

y=(log3x)2—210g3X+2=(log3X—1)2+31'

1315

當IOg3X=4時,Ymin=石；當l°93X=1時,ymax=》

315

所以，所求函數(shù)的值域為電，5】.

題型四對數(shù)型函數(shù)的綜合應用

x+1

例4已知函數(shù)f(X)=岫一\。且吐】).

⑴求f(x)的定義域；

⑵判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

/x+1>0x+1v0,

解(1)要使此函數(shù)有意義，則有或

x—1>0x—1<0.

解得X>1或X(一1,

此函數(shù)的定義域為(-8—1)U(1,+8).

一X+1x—1

(2)f(-X)=loga"aX"

-IX+1—Z：18a.1=f<，>.

又由(1)知f(X)的定義域關于原點對稱，

…f(x)為奇函數(shù).

一x+1,八2、

f(x)=1),

函數(shù)u=1+在長間(一8

1)和區(qū)間(1,+g)上單調(diào)遞減.

X-1

X+1

所以當a>/時，f(x)=loga在(-81),(1,+8)上遞減；

X-1

x+1

當OvaV1時，f(x)=loga在(一g,—1),(1,+g)上遞增.

X-1

反思與感悟1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應求出定義域，看是否關于原點對稱

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有兩種思路：(1)易得到單調(diào)(2)利用復合

區(qū)間的，可用定義法來求證；

函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)區(qū)間.

1Amx

跟蹤訓練4已知函數(shù)f(x)=loga(a>0,且1,1)是奇函數(shù).

X—1

(1)求實數(shù)m的值；

⑵探究函數(shù)f(x)在(1,+g)上的單調(diào)性.

解(1)由已知條件得f(-x)+f(x)=0對定義域中的x均成立.

,mx+1,1—mx小

mx+11一

—x—1mx

?也)-廠。，

??m2x2—1=X2—1對定義域中的x均成立.

,m2=1,即口m=1(舍去)或m=—1.

1+x

⑵由⑴得f(x)=lOgaR.

X+1=x—1+2=1+十

X-1=X-1=x—1

?當Xi>X2>1時,

____22X2-Xi

tl-t2=Xl-1X2—Xi—1X2-VO,

?-tlVt2.

當a>1時，logatiVlogat2，即f(Xi)Vf(X2),

?一當a>1時，f(x)在(1,+g)上是減函數(shù).

同理當Ovav1時，f(x)在(1,+g)上是增函數(shù)

易錯點

對數(shù)型復合函數(shù)定義域為R與值域為R區(qū)分不清致誤

例5已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).

(1)若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.解⑴若為x)的定義域為R.

則關于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R.

a>0,

結合二次函數(shù)圖象可得2

2^-4a1<0,

解得a>1.

(2盾函數(shù)f(x)的值域為R,

則ax2+2x+1可取一切正實數(shù)，

a>0,

結合函數(shù)圖象可得a=0或2o

22-4a1>0,

解得O\V3<1.

糾錯心得解這類問題容易將定義域為R與值域為R搞混淆，解題關鍵在于正確轉化題意?規(guī)律技巧若

函數(shù)y=logaf(x)的定義域為R，只需真數(shù)大于零恒成立；若函數(shù)y=logaf(x)的

值域為R，需Kx)取遍一切正數(shù)，在解題時，當最高次項系數(shù)帶字母時，需注意分情況討論.

跟蹤訓練5若函數(shù)y=lg(ax2+ax+1)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

解當a=0時，y=lg1，符合題意；

a>0,

當。時，由題意得2得0vav4,

△=a2-4a<0,

綜上，得a的取值范圍是0wa<4.

當堂檢測自杳自糾

1?已知函數(shù)f(x)=lg*+1),則()

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)是R上的增函數(shù)

D.f(x)是R上的減函數(shù)

答案A

解析因為f(-x)=lg[(-x)2+1]=lg(x2+1)=f(x)，且定義域為R，關于原點對稱，所以f(x)是偶函數(shù)

?故選A.

2.函數(shù)y=Inx的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[e,+A)B.(0,+人)

C.(-m,+m)D.[1,+8)

答案B

解析函數(shù)y=Inx的定義域為(0,+g)，其在(0,+g)上是增函數(shù)，故該函數(shù)的單調(diào)遞增

區(qū)間為(o,+g).

3.設a=Iogs4,b=(Iogs3)*12,c=1。§45,則()

A.avcvbB.b<cva

C.avbvcD.bvavc

答案D

解析?.T=Iogs5>log54>logs3>logs1=0,

???1>a=Iogs4>log53>b=(logs3)2.

又???c=log45>Iog44=1.

?c>a>b.

4.函數(shù)f(x)=Ilog,x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

A.0,B.(0,1]C.(0,+g)D.[1,+g)

答案

—log/x,x>1,

2

解析f(x)=當x〉1時，&log1x是減函數(shù)，f(x)=-log1x是增函數(shù).

log!x,0vxv1.22

2

?f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+g).

5.函數(shù)y=log1(x2-6x+17)的值域為.

2

答案(一g,—3]

解析令t=x2-6x+17=(x-3產(chǎn)+8>8,

因為y=log11為減函數(shù)?所以y=log11<log,8=-3.

222

「課堂小結-----------------------------------------1

1.比較兩個對數(shù)值的大小及解對數(shù)不等式問題，其依據(jù)是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.若對數(shù)的底數(shù)是

字母且范圍不明確，一般要分a>1和Ovav1兩類分別求解.

2.解決與.對數(shù)函數(shù)相關的問題時要樹立："定義域優(yōu)先”的原則，同時注意數(shù)形結合思想和分

類討論思想在解決問題中的應用.

課時精練/解般，偏,訓練檢測______________________________________________________

、選擇題

1.函數(shù)f(x)=log1x-1的定義域是(

2

)

A.(1,+a)B.(2,+a)

C.(-°,2)D.(1,2］

答案D

x-1>0,

解析由題意有l(wèi)og1x—1〉0,解得1<x<2

2

2.設a=logan,b=logA3,c=logA/2，貝U()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

答案A

1111

解析a=logsn>1,b=Iog23=210g23€2?1?c=logs2=-Ioga2€0,二，故有

3.函數(shù)f(x)=logax(0<av1)在［a2,a］上的最大值是()

A.OB.1C.2D.a

答案C

解析■/0ca<1，二f(x)=logax在［a2,a］上是減函數(shù)，

f(x)max=f(a2)=logaa2=2.

4.設a=log36,b=logslO,c=log714，貝U()

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析a=log36=log33+Ioga2=1+Iogs2,

b=Iogs10=Iogs5+Iogs2=1+Iogs2,

c=log?14=log77+log72=1+log72,

log32>Iog52>log72,?a>b>c,故選D.

5.函數(shù)y=log1(—x2+4x+12)的單調(diào)遞減

區(qū)間是()

3

A.(—a,2)B.(2,十八)

C.(-2,2)D.(-2,6)

答案C

解析y=log1u,u=—x2+4x+12.

3

令u=一x2+4x+12>0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得一2<x<6.

?x€(―2,2)時，u=—x2+4x+12為增函數(shù),

…y=log,(—x2+4x+12)為減函數(shù)>

3

?函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(一2,2).

6.已知y=loga(8-3ax)在［1,2］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

4

A.(0,1)B.(1,3)

4

C.g,4)D.(1,+a)

答案B

解析因為a>0,所以t=8-3ax為減函數(shù)，而當a>1時，y=logat是增函數(shù)，所以y=loga(8-3ax)

是減函數(shù)，于是a>1.由8—3ax>0,得a<38-在［1,2］上恒成立，所以a<(3pmin=3：?=?二、填

空題

7._____________________________________________________________________________

已知f(x)=log1(x2-ax+3a)在區(qū)間［2,+a)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

2

答案(-4,4］

解析二次函數(shù)y=X2—ax+3a的對稱軸為x=|,

a2

ri'

W2解得一4<aw4.

由已知，應有|w2，且滿足當X〉2時y=x2—ax+3a>0,

8.已知定義域為R的偶函數(shù)%x)在［0>

+a)上是增函數(shù)，且f(>=0,則不等式f(log4X)<0

的解集是.

1答案{X［?<x<2}

11

11--1解析由題意可知，f(log4x)<0?-2<log4x<2?

Iog442<log4X<Iog442?"<X<2.

a—2x—1,xw1,

9.已知函數(shù)f(x)=若f(X)在(—a,+a)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值

logaX,x>1,

范圍為_________.

答案{a［2<aw3}

解析I?函數(shù)f(x)是(一a,+a)上的增函數(shù)，

a-2>0,

?a的取值需滿足a>1,

Ioga1>a—2—1,

解得2vaw3.

2

10.若loga§<1，則a的取值范圍是，

2答案(0,3)u(i,+s)

0<a<1,a>1,

解析原不等式？2或2

3>a3<"，

2

解得0<a<|或a>1,

3

2

故a的取值范圍為(0,3)U(1,+A).

三-解答題

11.討論函數(shù)f(x)=