第一節(jié)零件軸向拉伸或壓縮變形時的工作能力分析

第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時的工作能力分析

第四節(jié)零件扭轉變形時的工作能力分析第五節(jié)零件疲勞強度簡介

機械零件的工作能力分析概述

第三節(jié)零件彎曲變形時的工作能力分析

失效——機械零件喪失預定的功能或達不到預期要求的性能。

常見的失效形式

：

斷裂或塑性變形、過量的變形、失穩(wěn)；過度磨損、過熱；打滑、聯接松動；運動精度達不到要求等等。

工作能力——機械零件抵抗可能出現失效的能力。

包括

：

強度——零件在外力作用下抵抗斷裂破壞的能力。

剛度——零件在外力作用下抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性——零件在壓力作用下維持原有形態(tài)平衡的能力。

分析對象

：

桿件——長度遠大于橫截面尺寸的零件，如軸、立柱、梁等。

等直桿——軸線為直線且橫截面不變的桿件。

本章主要分析機械零件在外力作用下產生拉壓、剪切與擠壓、彎曲、扭轉的基本變形和常見組合變形時的強度、剛度及穩(wěn)定性問題，建立相應的工作能力判定條件。

一、軸向拉伸或壓縮概念

第一節(jié)零件軸向拉伸或壓縮變形時的

工作能力分析

二、內力分析與應力分析

三、材料的力學性能

四、軸向拉伸（壓縮）強度分析實例

五、軸向拉伸（壓縮）變形簡介一、軸向拉伸或壓縮概念

軸向拉伸或壓縮

——桿件受到外部沿軸線方向的拉力或壓力作用而沿軸向伸長或縮短的變形。

軸向力——軸向拉力或壓力。

簡易吊車的拉桿CD產生拉伸變形簡易吊車

螺紋夾具中的螺桿產生壓縮變形螺紋夾具

汽缸蓋螺栓聯接中的螺栓產生拉伸變形汽缸蓋的聯接螺栓

拉壓桿的受力圖和變形形式均可簡化為：二、內力分析與應力分析 1．軸力和軸力圖

外力——作用在桿件上的載荷和約束反力。

內力——由外力引起的拉桿內部的相互作用力。

截面法——假想用平面截開桿件確定內力的方法。

設一拉桿受外力F1、F2的拉伸作用而平衡。

假想用一平面m-m截切桿件為兩段，所取的任一段也應保持平衡。

在外力F1作用下，左段的截面上必然受到右段作用的內力FN。

由左段桿的平衡方程：∑F=0，FN－F1=0求得FN=F1

截面上的內力是分布力，其合力FN與軸線重合——軸力。

將上述結果推廣到左段軸上有多個軸向外力作用的情形，其結論為：

截面m-m上的軸力等于左段軸上所有軸向外力的代數和，即

FN=∑F

確定外力F的正負號：

指向離開該截面時取正；反之取負。

規(guī)定軸力的正負號：

軸力是由外力作用產生的桿件各部分之間的相互作用力，即截切處左、右兩側的軸力互為作用和反作用。

為拉力者取正，即軸力方向背離截面；

為壓力者取負，即軸力方向指向截面。

因此，取左、右段計算時軸力的符號一致。

軸力圖——表示軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。

軸力圖的構成：

橫坐標x——平行于桿件軸線；

縱坐標FN——垂直于桿軸線；表示橫截面的位置。正值軸力繪在x軸的上方，表示對應截面上軸力的大小。負值軸力繪在x軸的下方。

在軸力圖上，應標明軸力FN的大小和單位以及軸力的正負號?！纠?-1】

一雙壓手鉚機的活塞缸示意圖。作用于活塞桿上的力分別為F=2.62kN，P1=1.3kN，P2=1.32kN。試求活塞桿上各段橫截面上的軸力，并作軸力圖。

解：（1）作活塞桿的受力圖

活塞桿分別在A、B、C三處受軸向外力作用。（2）求軸力分別在每兩個力之間取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段桿為分析對象，則截面上的軸力等于截面左側桿上所有軸向外力的代數和。

截面1-1：

截面2-2

：

負號表示軸力FN1、FN2為壓力，與假設方向相反。（2）求軸力分別在每兩個力之間取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段桿為分析對象，則截面上的軸力等于截面左側桿上所有軸向外力的代數和。

可見，與以截面2-2左段桿計算的結果相同。

若取截面2-2右段桿為研究對象，得

（3）畫軸力圖

熟練之后，各截面圖均可不畫，直接在受力圖下方畫軸力圖即可。

2．拉壓桿橫截面上的正應力

桿件的強度不僅與內力有關，而且與截面的尺寸有關，即與內力在橫截面上分布的密集程度（簡稱集度）有關。

在截面上某點處的應力——內力在截面上某點處的分布集度。

工程上常用應力來衡量構件受力的強弱程度。

正應力——軸力在橫截面上的分布集度。

對于材料均勻連續(xù)的等截面直桿，其橫截面上各點處的正應力相等。則計算式為

式中：A——橫截面的面積。

正應力的正負號與軸力相對應：拉應力為正；壓應力為負。

在國際單位制中，應力的單位是帕斯卡，用Pa（帕）表示，常用單位是MPa（兆帕）。1Pa=1N/m2，1kPa（千帕）=103Pa=1kN/m2，1Mpa=106Pa=1N/mm2，1GPa（吉帕）=109Pa。三、材料的力學性能

桿件在外力作用下發(fā)生變形，并隨著外力的增加而增加，從而使所產生的內力隨之增加，內力的增加超過材料承受的限度時，桿件將發(fā)生失效。

材料的力學性能——材料承受外力作用時，在強度和變形方面表現出的特性。

材料的力學性能是構件承載能力分析及選取材料的依據，由試驗來測定。

常用材料可分為兩大類：

塑性材料：以低碳鋼為代表

脆性材料：以鑄鐵為代表 1．低碳鋼的力學性能拉伸時σ-ε曲線壓縮時σ-ε曲線

低碳鋼的拉伸試驗圖：

縱坐標σ：應力σ=F/A，即拉（壓）力F除以試件橫截面積A；橫坐標ε：

應變ε=△l/l，即試件工作段的伸長（縮短）量△l除以該段原長l。

應力應變圖—σ-ε曲線：

（1）彈性階段（OB段）

彈性極限σe——點B對應的應力值。

只產生彈性變形。即：材料受力后，變形隨外力的增加而增加，若卸去外力，變形完全消失。

彈性階段中的OA段為斜直線。即有σ

∝ε，令

E=tanα=σ/ε，則有

σ

=Eε

——拉、壓虎克定律

式中：E——材料的彈性模量。

（1）彈性階段（OB段）

比例極限σp——點A對應的應力值。

由于大部分材料的比例極限σp和彈性極限σe十分接近，常將σp和σe統稱為彈性極限。

應力應變圖—σ-ε曲線：

（2）屈服階段（BC′段）

材料屈服時，構件幾乎喪失抵抗變形的能力；產生塑性變形，即：卸去外力后變形不能完全消失。

此階段曲線為近于水平的鋸齒形，出現應力變化很小、應變顯著增大的現象——材料的屈服或流動。

屈服極限σs——點C對應的應力值。是衡量材料強度的重要指標。

應力應變圖—σ-ε曲線：

（3）強化階段（C′D段）

強度極限σb——最高點D對應的應力值。是材料所能承受的最大應力，也是衡量材料強度的重要指標。

經過屈服階段后，材料抵抗變形的能力又有恢復，出現應變隨應力的增大而增加的現象——材料的強化。

應力應變圖—σ-ε曲線：

（4）頸縮階段（DE段）

強度極限σb——最高點D對應的應力值。是材料所能承受的最大應力，也是衡量材料強度的重要指標。

經過點D后，在試件的某一局部區(qū)域，出現橫截面急劇縮小的現象——頸縮現象。

應力應變圖—σ-ε曲線：

低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線：

屈服極限以后，產生明顯的塑性變形，并隨著壓力的增加，越壓越扁，測不出其抗壓強度。

材料壓縮時的力學性能只有在屈服極限內與拉伸時重合。

可見，低碳鋼拉伸和壓縮時的E值和σs值基本相同。2．鑄鐵的力學性能

是一段微彎曲線。

整個曲線沒有直線部分，沒有屈服和頸縮現象，斷裂時應力、應變都很小。

抗拉強度極限σb——鑄鐵拉斷時的最大應力。是衡量鑄鐵抗拉強度的唯一指標。拉伸時σ-ε曲線鑄鐵的力學性能

鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線：

與其拉伸時的σ-ε曲線（虛線）相似。整個曲線沒有直線段，無屈服極限，只有強度極限。

鑄鐵抗壓強度極限高于其抗拉強度極限約2～4倍。故鑄鐵宜用作受壓構件。壓縮時σ-ε曲線

鑄鐵的力學性能

塑性材料和脆性材料的力學性能主要區(qū)別如下：

①塑性材料破壞時有較大的塑性變形，斷裂前有些有明顯的屈服現象；而脆性材料在變形很小時突然斷裂，無屈服現象。

②由于塑性材料拉伸時的比例極限、屈服極限和彈性模量與壓縮時相同，而塑性材料一般不允許達到屈服極限，因此，塑性材料抗拉和抗壓的能力相同。而脆性材料抗壓能力遠遠大于抗拉能力。

工程上用于衡量材料塑性的指標有伸長率（δ）和斷面伸縮率（ψ）。

伸長率

式中：l1——試件拉斷后工作段的長度；

l0——原工作段長度。

斷面收縮率

式中：A0——試件原橫截面面積；

A1——試件斷裂處的橫截面面積。

δ和ψ的數值越高，材料的塑性越大。

塑性材料——δ＞5%的材料。

如合金鋼、鋁合金、碳素鋼和青銅等；

脆性材料

——δ＜5%的材料。

如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土和石料等。

幾種材料的力學性能如教材表4－1所列。

3．許用應力和安全因素

由材料的力學性能可知：

塑性材料達到屈服極限σs時，發(fā)生塑性變形；

危險應力或極限應力σ°——材料喪失正常工作能力的應力。

脆性材料達到強度極限σb時，發(fā)生斷裂。

對于塑性材料，σ°=σs；

對于脆性材料，σ°=σb。 3．許用應力和安全因素

工作應力——構件工作時由載荷引起的應力即

考慮材料、加工、載荷及工作條件等實際情況，構件的最大工作應力限制應在極限應力σ°以內，以保證構件具有適當的強度儲備。 3．許用應力和安全因素

材料的許用應力[σ]——考慮了強度儲備的極限應力

塑性材料的許用應力

脆性材料的許用應力

式中：ns——屈服極限的安全因數；

nb——強度極限的安全因數。3．許用應力和安全因素

安全因數的大小反映了強度儲備的多少。

過大的安全因數，使許用應力過小，即強度儲備過多，材料的利用率太低；

過小的安全因數，材料接近極限應力，構件工作的安全性差。

對于一般機械，

ns＝1.5~2.5；

nb＝2.0~3.5（或更大）。四、軸向拉伸（壓縮）強度分析實例

為保證桿件安全工作，桿件應滿足的拉、壓強度條件是：

式中：FN和A——產生最大應力危險截面上的軸力和面積。

根據拉、壓強度條件，可以解決拉、壓桿三類強度計算問題：

（1）強度校核。

若已知桿件的尺寸、所受的載荷及材料的許用應力，驗算桿件是否滿足拉、壓強度條件。

（2）確定截面尺寸。若已知桿件所受的載荷和材料的許用應力，則

可確定拉、壓桿的截面尺寸。

（3）確定許可載荷。

若已知桿件的截面尺寸和許用應力，則FNmax

≤A[σ]

可求得桿件所能承受的最大軸力。再根據靜力平衡條件進一步確定桿件所能承受的許可載荷。

在強度計算中，當工作應力略大于材料許用應力時，若其超過部分不超出許用應力值的5％，仍可認為構件滿足強度要求。【例4-2】

某拉緊鋼絲繩的張緊器所受的拉力為F=30kN；拉桿和套筒的材料均為Q235鋼，屈服極限σs=235Mpa；拉桿螺紋M20其內徑d1=17.29mm，其它尺寸如圖所示。若不考慮螺紋旋合段軸力的變化，試校核張緊器的強度。解：（1）分析外力

取拉桿為分析對象，畫出受力圖。

取套筒為分析對象，畫出受力圖。

①暫不考慮拉桿端部A處的強度；

②螺紋副中的作用力用合力Q（或Q'、或Q"）代替，并分別作用于拉桿和套筒的B處和C處。

（2）分析內力

采用截面法求得拉桿和套筒上各橫截面間的軸力FN=F=30kN。

畫軸力圖。

（3）分析危險截面

由軸力圖可知，拉桿和套筒上各橫截面間的軸力處處相等，此時，橫截面積A越小，工作應力σ將越大。面積最小的橫截面是危險截面，危險截面上有最大工作應力σmax。

對于拉桿，螺紋牙根處的截面面積最小，其面積為

對于套筒，內徑為ф30mm處的截面面積最小，其面積為

由于A1<A2，所以拉桿螺紋牙根處的橫截面為危險截面。

（4）確定許用應力

因Q235鋼為塑性材料，其安全因數ns＝1.5~2.5，考慮鋼絲繩的張緊器屬較重要裝置，取安全因數ns＝1.8，得

（5）校核強度

由教材式(4-3)得

所以張緊器滿足強度要求?！纠?-3】

一鋼木結構的起吊架示意圖，AB為木桿，其橫截面面積A1=104mm2，許用應力[σ]1=7MPa；BC為鋼桿，其橫截面面積A2=600mm2，許用應力[σ]2=160MPa。試求最大允許載荷W。

解：（1）受力分析

取鉸鏈B為分析對象，畫受力圖。圖中：

FN1——木桿AB的軸；

FN2——鋼桿BC的軸力。鉸鏈B上各力構成平面匯交力系。

（2）求軸力

由鉸鏈B的平衡條件可求得AB、BC兩桿的軸力FN1、FN2與載荷W的關系，即由解得

由解得

（3）求最大允許載荷[W]由強度條件可得木桿的許可軸力為即

解得由強度條件可得鋼桿的許可軸力為即

解得

為保證結構安全，鉸鏈B處可吊起的最大允許載荷應取40.4kN和48kN中的較小值，即五、軸向拉伸（壓縮）變形簡介 1．變形與應變

對于軸向載荷作用下桿件，由試驗表明：

桿件拉伸時，軸向尺寸增加，橫向尺寸略有減?。?/p>

桿件壓縮時，軸向尺寸減少，橫向尺寸略有加大。等直桿的原長為l，橫向尺寸為b。

在軸向拉力F作用下，縱向長度變?yōu)閘1，橫向尺寸變?yōu)閎1。則

絕對變形不能表示其變形程度。常以單位原長的變形來度量桿的變形程度。

線應變——單位原長的變形。

即

可見：

①

線應變表示桿件的相對變形，無量綱。

②

拉伸時，△l＞0，△b＜0，因此ε＞0，ε′＜0；壓縮時，反之。

2．泊松比

試驗表明，當應力不超過某一限度時，橫向線應變ε′和縱向線應變ε之間存在比例關系，而且符號相反，即式中：泊松比μ——比例常數。

泊松比無量綱，其值與材料有關，一般不超過0.5，即縱向線應變ε總比橫向線應變ε′大。3．虎克定律

試驗表明，當桿的正應力σ不超過比例限度時，應力與應變成正比，材料服從虎克定律，即

即：桿的絕對變形△l與軸力FN及桿長l成正比，而與橫截面面積A成反比。則上式可寫成由于

同一種材料的E值為常數，其量綱與應力相同，常用單位是GPa，即109Pa；

常數E——材料的拉壓彈性模量。

分母EA——桿的抗拉（壓）剛度。

表示桿件抵抗拉伸（壓縮）變形能力的大小。在其它條件一樣的情況下，EA越大，桿變形越小；反之，桿變形越大。

彈性模量E和泊松比μ都是材料的彈性常數，可由實驗測定，幾種常用材料的E和μ值見教材表4－2?！纠?-4】

汽缸的缸體與缸蓋用M12的螺栓聯接，在裝配時必需擰緊。已知，螺栓小徑d=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內產生的總伸長為△l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa。試計算螺栓桿橫截面上的拉應力和螺栓聯接擰緊時的預緊力。

解：

（1）求縱向線應變ε

螺栓受預緊力作用而被拉伸，其縱向線應變?yōu)?/p>

（2）求拉應力σ

由虎克定律可求出螺栓桿橫截面上的拉應力為

（3）求預緊力Q0

螺栓聯接擰緊時使螺栓受拉，使被聯接件受壓，螺栓桿橫截面上產生與預緊力Q0等值的軸力。

解得

由六、壓桿穩(wěn)定性的概念

壓桿只要滿足壓縮強度條件，就能保證正常工作。這一結論僅適合于短粗壓桿。

當細長壓桿所受的軸向壓力遠遠小于壓縮強度的許可值時，便已失去其原有的直線狀態(tài)，突然變彎而喪失承載能力。

在細長直桿兩端作用有一對等值、反向的軸向壓力F，桿件處于平衡狀態(tài)。

試驗發(fā)現：

若施加一個不大的橫向干擾力，則桿件變彎。

當軸向壓力F＜Fcr時，若撤去橫向干擾力，壓桿將恢復到原來的直線平衡狀態(tài)。

表明：壓桿原來直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定平衡。

試驗發(fā)現：

當軸向壓力F=Fcr時，若撤去橫向干擾力，壓桿不能恢復到原來的直線平衡狀態(tài)，仍處于微彎狀態(tài)。

表明：壓桿原來直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。

壓桿在不穩(wěn)定平衡下，只要軸向壓力F＞Fcr，立刻發(fā)生明顯的彎曲變形，直至折斷。

壓桿失穩(wěn)——壓桿不能保持其原有直線平衡狀態(tài)而突然變彎的現象。

臨界壓力Fcr——壓桿處于由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)所對應的軸向極限壓力。

臨界壓力Fcr的大小表示了壓桿穩(wěn)定性的強弱。Fcr越大，穩(wěn)定性越強，則壓桿不易失穩(wěn)；Fcr越小，穩(wěn)定性越弱，則壓桿易失穩(wěn)。

對于壓桿而言，短粗桿和細長桿的破壞性質是不同的。短粗桿是強度問題；細長桿則是穩(wěn)定性問題。

存在穩(wěn)定性問題的實例：

內燃機配氣閥的頂桿千斤頂的絲杠

細長壓桿的失穩(wěn)常發(fā)生在其強度破壞之前，而且是瞬間發(fā)生的，所以更具危險性。解決壓桿穩(wěn)定問題的關鍵是提高臨界壓力Fcr。

加固端部約束；工程上提高壓桿的穩(wěn)定性的主要措施有：

減小壓桿長度；

采用合理的截面形狀。七、應力集中的概念

對軸向拉伸或壓縮的等截面直桿，其橫截面上的應力是均勻分布的。

實驗結果和理論分析表明：

在桿件截面發(fā)生突然改變的局部區(qū)域內，如桿件上孔、槽、切口、螺紋、軸肩等處附近，應力將急劇增加。離開該區(qū)域，應力迅速減小并趨于平均。

應力集中——因截面突然改變而引起應力局部增高的現象。

截面改變越劇烈，應力集中越嚴重，局部區(qū)域出現的最大應力就越大。

應力集中系數α——截面突變的局部區(qū)域的最大應力與平均應力的比值，即

應力集中系數α表示了應力集中程度，α越大，應力集中越嚴重。

為減少應力集中程度，在截面發(fā)生突變處，應盡量緩和平滑。

例如，階梯軸的軸肩處采用圓角過渡。

靜載荷作用時，應力集中對塑性材料和脆性材料的影響不同：

對于塑性材料，隨著外力的增加，截面上的應力將隨著屈服區(qū)域的增大而逐漸趨于平均，相繼達到屈服極限σs，從而限制了局部最大應力值σmax。

因此，對塑性材料制作的零件，可以不考慮應力集中的影響。

對于脆性材料，因材料無屈服階段，當外力增加時，局部最大應力σmax將隨之不斷增大，直至到達強度極限σb時，孔和槽等邊緣處產生裂紋，并很快擴展導致整個構件破壞。

對于如灰鑄鐵這類組織不均勻的脆性材料，由于其內部的不均勻性及缺陷，材料本身就具有很嚴重的應力集中，而截面尺寸的改變所引起應力集中，對零件承載能力的影響不明顯。

在交變應力或沖擊載荷作用下的零件，無論是塑性材料或是脆性材料，應力集中往往是零件破壞的根源，對零件的強度都有嚴重的影響。

對于組織均勻的脆性材料制作的零件，應力集中會使其承載能力大為降低。返回

一、剪切與擠壓的概念第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時的

工作能力分析

二、剪切與擠壓強度分析實例

一、剪切與擠壓的概念 1．剪切的概念

剪切——桿件受到一對與其軸線方向垂直并且大小相等、方向相反、作用線相距很近的外力作用，在兩外力間的截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯動的變形。剪板機剪切鋼板

剪切面——發(fā)生相對錯動的截面。鉚釘聯接

螺栓聯接

單剪——只有一個剪切面的剪切；

雙剪——有兩個剪切面的剪切。

受剪桿件的分析：

螺栓所受的外力為分布力的合力。

剪力FQ——剪切面上的內力。

是分布內力的合力，可由截面法求得。

切應力τ——剪切面上分布剪力的集度。2．擠壓的概念

機械中的聯接件，如螺栓、鍵、銷、鉚釘等，在受剪切作用的同時，在聯接件和被聯接件接觸面上互相壓緊，產生局部壓陷變形，甚至壓潰破壞的現象——擠壓。

擠壓面——零件上產生擠壓變形的表面。

擠壓力Fjy——擠壓面上的壓力。

擠壓應力σ

jy——在擠壓面上由擠壓力引起的應力。

只發(fā)生在構件接觸的表面，一般分布不均勻。二、剪切與擠壓強度分析實例1．剪切與擠壓的實用計算

切應力在剪切面上的分布和擠壓應力在擠壓面上的分布均較復雜。

工程中通常采用近似的并能滿足工程實際要求的實用計算。

在這種實用計算中，假設切應力和擠壓應力均勻分布。

切應力

式中：FQ——剪切面上的剪力；

A——剪切面面積。

擠壓應力

式中：Fjy——擠壓面上的擠壓力；

Ajy——擠壓面的計算面積。

Ajy的確定：

當接觸面為平面時，Ajy是實際接觸面面積；

當接觸面為半圓柱面時，Ajy取半圓柱面在直徑平面上投影面積，即矩形ABCD的面積：Ajy=t·d。

剪切和擠壓強度條件：

剪切強度條件

許用切應力[τ]和許用擠壓應力[σjy]的值可查有關手冊。

也可按經驗公式近似確定：

塑性材料

[τ]=(0.6～0.8)[σ]；[σjy]=(1.7～2.0)[σ]

擠壓強度條件

脆性材料

[τ]=(0.8～1.0)[σ]；[σjy]=(0.9～1.5)[σ]

其中：[σ]——材料的許用拉應力

注意：

擠壓應力是聯接件和被聯接件之間的相互作用。當兩者材料不同時，應選擇其中許用擠壓應力較低的材料進行擠壓強度校核。

剪切與擠壓強度條件解決三類問題：

剪切與擠壓強度校核、確定截面尺寸、確定許可載荷。【例4-5】2．剪切與擠壓的實用計算實例

已知：軸的直徑d=60mm，所選鍵的尺寸b×h×l=18×11×90(mm)；傳遞的轉矩M=1kN·m；鍵的材料為45鋼，許用切應力[τ]=60MPa，許用擠壓應力[σjy]=100Mpa。試校核鍵的強度。齒輪與軸用平鍵連接

解：（1）計算鍵所受的外力F

以鍵和軸一起作為分析對象，畫受力圖。

由對軸心O的力矩平衡方程

解得

（2）校核剪切強度

以鍵為分析對象，畫受力圖。

由截面法求得剪切面上的剪力為：

鍵的剪切面面積為：

剪切強度條件為：

故鍵的剪切強度足夠。

（3）校核擠壓強度

鍵工作表面的擠壓力為

擠壓面的面積為：

擠壓強度條件為：

故鍵的擠壓強度也足夠。

【例4-6】

沖床的最大沖剪力F=300kN，將鋼板沖出直徑d=25mm的孔，若鋼板材料的剪切強度極限為τb=360Mpa，試求所能沖剪鋼板的最大厚度t。沖床沖剪鋼板

解：

擠壓面的面積為：

為使鋼板沖出圓孔，鋼板在最大沖剪力作用下所產生的切應力應大于其材料的剪切強度極限τb，即

解得

故取所能沖剪鋼板的最大厚度為10mm。返回

一、平面彎曲的概念第三節(jié)零件彎曲變形時的工作能力分析

二、內力分析與應力分析

三、梁的彎曲強度分析實例

四、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例

五、彎曲剛度簡介

六、提高零件彎曲強度和剛度的措施

一、平面彎曲的概念

彎曲——當桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或受到位于軸線所在平面內的力偶作用時，其軸線由直線成為曲線的變形。橋式起重機的大梁

橫向力——垂直于桿軸線的外力

梁——以承受彎曲變形為主的桿件。火車輪軸固定在車床卡盤上的工件

工程上常見的梁，其橫截面通常多有一縱向對稱軸，該對稱軸與梁的軸線x組成梁的縱向對稱面。

所有外力、外力偶作用在梁的縱向對稱面內，則梁的軸線在此平面內彎曲成一平面曲線——平面彎曲。

根據梁的支座形式的不同，工程實際中常見的梁分為三種：

簡支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座，

外伸梁：帶有外伸端的簡支梁，

懸臂梁：梁的一端為固定支座，另一端為自由端，二、內力分析與應力分析1．剪力、彎矩和彎矩圖

梁在外力作用下，橫截面上產生的內力仍用截面法確定。

例如，橋式起重機的大梁，設起吊重物處在梁的正中位置，不考慮梁的自重，為求得梁的任一截面上的內力，將其簡化成簡支梁。

因梁在載荷F及支座反力FA、FB作用下保持平衡，可求得支座反力FA=FB=F/2。

取截面m-m左段時，左段仍保持平衡。左段上除了外力F、FA的作用外，左段的截面m-m上必受到右段的作用力，包括與截面相切的內力FQ和作用于縱向對稱面上的內力偶M，它們與外力F、FA平衡。

剪力FQ——與截面相切的內力。彎矩——作用于縱向對稱面上的內力偶M。由左段梁的平衡方程解得

推廣到一般情形，其結論是：

截面上的剪力FQ等于該截面一側梁上所有外力的代數和；

截面上的彎矩M等于該截面一側梁上所有外力和外力偶對截面形心C的力矩代數和，

彎矩方程——表示彎矩隨所取截面的位置x的變化而變化的方程。

一般情況下，梁的橫截面上產生剪力FQ和彎矩M兩種內力。但通常梁的跨度較大，剪力對梁的強度和剛度影響很小，可忽略不計，只需考慮彎矩對梁的作用。

當取截面左、右兩段梁來計算彎矩M時，其值相等，但方向相反。通常使這兩種計算所得彎矩M的符號一致。M的符號規(guī)定：

使梁在截面m-m處彎曲變形凹向上時，則該截面上的彎矩M為正值；

使梁在截面m-m處彎曲變形凹向下時，則該截面上的彎矩M為負值。

同樣地，可用上述方法來確定外力和外力偶的代數符號。

彎矩圖——表示彎矩隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。以便確定彎矩的最大值及其產生的位置，彎矩圖的構成：

橫坐標x——沿梁軸線方向。表示橫截面的位置。

縱坐標M——垂直于梁軸線方向。表示對應截面上彎矩的大小。

正彎矩繪在x軸的上方，負彎矩繪在x軸的下方。并標明彎矩的大小、單位、正負號?！纠?-7】

橋式起重機橫梁長l，起吊重物處在圖示位置，其重量為W，不計梁的自重。試畫出圖示位置橫梁的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置；當小車移至梁的何處時，最大彎矩有最大值。橋式起重機橫梁（不計自重）解：（1）繪計算簡圖

橫梁簡化為簡支梁，該梁在C處有起吊重力W，在兩端A、B處有支座反力FA、FB，均為集中力。（2）求支座反力根據靜力平衡方程求得（3）建立彎矩方程

梁上受力狀況不同的AC段和BC段，其彎矩M隨x變化的規(guī)律將不一樣，應分別建立這兩段的彎矩方程。設x1、x2分別表示AC段、BC段上任一截面位置。對截面左側梁段建立彎矩方程，即AC段BC段（4）畫彎矩圖由彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，其中：據此可畫出橫梁的彎矩圖。

（5）確定彎矩的最大值

由彎矩圖可見，集中力W作用的C點處截面有最大彎矩；當集中力W作用在梁的中點時，最大彎矩有最大值，即

扳手長為l，擰緊螺栓時，受力F作用。試畫出扳手的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置?！纠?-8】

扳手

解：（1）繪計算簡圖

螺栓擰緊后，扳手B端可簡化為固定端，因而扳手可簡化為懸臂梁。（2）建立彎矩方程設x表示扳手上任一截面位置。對截面左側段建立彎矩方程，即（3）畫彎矩圖由彎矩方程可知，彎矩圖為斜直線，其中：據此可畫出橫梁的彎矩圖。由彎矩圖可見，固定端B處的截面有最大彎矩，即

橋式起重機橫梁的自重對其強度和剛度的影響往往不可忽略。若僅考慮橫梁的自重，則橫梁簡化為受均布載荷作用的簡支梁，其載荷集度為q，試畫出橫梁的彎矩圖，并確定彎矩的最大值。【例4-9】

橋式起重機橫梁（空載時）解：（1）求支座反力

根據靜力平衡條件，并由載荷和結構的對稱性，可的支座反力為（2）建立彎矩方程設x表示橫梁上任一截面位置。對截面左側梁段建立彎矩方程，即（3）畫彎矩圖

由彎矩方程可知，彎矩圖為二次拋物線，通常可通過三個x值來大致確定其形狀，即據此可畫出橫梁的彎矩圖。

由彎矩圖可知，橫梁在中點處的截面有最大彎矩。其值為

某變速機構的滑移齒輪，受撥叉的推力F作用，如不計摩擦及滑移齒輪的自重，滑移齒輪對軸的作用可視為一個集中力偶Me。軸在Me作用下可簡化為受集中力偶作用的簡支梁，試畫出軸的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置?！纠?-10】

滑移齒輪軸解：（1）求支座反力

根據力偶的性質，支座反力FA、FB必形成一力偶與集中力偶Me平衡，并由力偶平衡方程求得FA、FB，即（2）建立彎矩方程因C點處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。AC段BC段（3）畫彎矩圖因C點處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。

由彎矩方程可知，截面C左右段軸的彎矩圖均為斜直線，其中BC段AC段

據此可畫出橫梁的彎矩圖。

由彎矩圖可知，如b>a，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處右側橫截面上，即彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

①一般情況下，梁的彎矩方程是x的連續(xù)函數，而且是分段的連續(xù)函數，即彎矩圖上有轉折點；轉折點在集中力作用點、集中力偶處和均布載荷的始末端。

應根據外載荷的作用位置分段建立梁的彎矩方程，并畫出彎矩圖。彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

②梁段上無均布載荷時，彎矩圖一般為斜直線。梁段上有均布載荷時，彎矩圖為二次拋物線，且載荷集度q向下時，彎矩圖曲線凹向下；反之凹向上。③集中力作用處彎矩圖出現尖點，發(fā)生轉折。④集中力偶處彎矩圖發(fā)生突變，突變的數值與集中力偶矩相同，集中力偶順時針方向時，彎矩圖向上突變；反之向下突變。

利用上述結論，可簡便快捷地繪制出梁的彎矩圖。2．純彎曲時的正應力

純彎曲——橫截面上只有彎矩而無剪力的作用。即純彎曲時梁的橫截面上只有正應力，而不會有切應力。

由前所述，確定梁的強度和剛度時通常可忽略剪力對梁的作用，也就是將梁視作純彎曲。梁的純彎曲變形實驗表明：

梁彎曲變形后，縱向纖維有伸長層，也有縮短層，說明橫截面上有拉應力，也有壓應力。

中性層——在伸長層和縮短層之間有一層纖維彎曲而長度不變，這一層縱向纖維為中性層。

中性軸——中性層與橫截面的交線。它通過截面形心C，所有橫截面仍保持平面，只是繞中性軸相對轉動。

橫截面上中性軸的一側受拉、另一側受壓，正應力分布規(guī)律是：

橫截面上各點正應力的大小與該點到中性軸的距離成正比；

中性軸上的正應力等于零；

離中性軸最遠點即上下邊緣的正應力最大。梁的橫截面上最大正應力σmax的計算公式為:式中：

M——橫截面上的彎矩，N·mm；

ymax——橫截面上離中性軸最遠點到中性軸的距離，mm；

Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩，mm4。是與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量。為便于計算，令則式中：

Wz——梁的抗彎截面系數，mm3。 也是與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量。

可見，當彎矩M不變時，Wz越大，σmax越小。所以Wz是反映橫截面抵抗彎曲破壞能力的一個幾何量。常用截面的Iz、Wz計算公式見教材表4-3。

常用型鋼的Iz（Iy）、Wz（Wy）值可從有關手冊中查得。【例4-11】

圖示為一矩形截面簡支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm；試問當截面豎放或橫放時哪種抗彎能力較強。解：（1）求支座反力（2）畫彎矩圖（3）求最大正應力

豎放時的最大正應力σmax1為橫放時的最大正應力σmax2為計算結果表明：

豎放時的σmax1小于橫放時的σmax2，可見，截面豎放比橫放的抗彎能力強。三、梁的彎曲強度分析實例

對于等截面梁，最大正應力產生在最大彎矩作用的截面上，此截面即為危險截面。

危險點——危險截面上離中性軸最遠處，即截面對應邊緣處。梁的彎曲強度條件為：式中：

[σ]——許用彎曲正應力。許用彎曲正應力[σ]的確定：

對于抗拉強度與抗壓強度相等的材料，[σ]采用材料的許用拉（壓）應力；當材料的抗拉強度與抗壓強度不相同，或橫截面相對中性軸不對稱時，應分別計算抗拉強度和抗壓強度。彎曲強度計算解決三類問題：彎曲強度校核、確定截面尺寸、確定許可載荷。【例4-12】

圖示為一工字鋼簡支梁。已知：跨距l(xiāng)=6m；載荷F1=15kN，F2=21kN；鋼材的許用彎曲應力[σ]=170MPa。試選擇工字鋼的型號。解：（1）求支座反力（2）畫彎矩圖由彎矩圖可見，橫截面C為危險截面。（3）計算所需的抗彎截面系數為（4）選擇工字鋼型號由機械工程手冊，查熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表得型號為20a的工字鋼Wz=237cm3，略大于計算值，故采用型號為20a的工字鋼。【例4-13】

已知：板長3a＝150mm，壓板材料的許用彎曲應力[σ]＝140MPa。當工件受到最大壓力F＝2.5kN時，試校核壓板的強度。

螺旋壓板夾緊裝置分析：壓板可簡化為圖示的外伸梁。

由梁的外伸部分BC可以直接求得截面B的彎矩，因此無需計算支座反力即可畫出彎矩圖。解：（1）畫彎矩圖可見，橫截面B為危險截面。（2）校核壓板的強度

根據教材表4-3所列矩形截面抗彎截面系數Wz的公式，可求得截面B的Wz為由彎曲強度條件可得：因為所以夾板滿足強度要求。

四、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例拉伸（壓縮）與彎曲組合變形在工程上是常見的。受載特點：①桿件同時受橫向力和軸向力。輪齒受載特點：②載荷與桿件軸線平行，但不通過桿件截面形心。

立柱分析方法：

分解為兩種基本變形：拉伸（壓縮）和彎曲；

分別求出各自產生的正應力；

各自的正應力進行代數疊加，即得到危險截面的總應力?！纠?-14】

已知：立柱截面面積A=15×103mm2

，對中性軸z的慣性矩Iz=53×106mm4；工作壓力F=50kN，材料的許用拉應力[σ]l=40MPa，許用壓應力[σ]y=120Mpa。試校核該壓力機立柱的強度。解：（1）外力分析

壓力機的工作壓力F與立柱的軸線平行，但偏離立柱的截面形心，立柱受偏心拉伸，偏心距為壓力機的鑄鐵機身（2）內力分析

取m-m截面上部為分析對象，截面m-m上的內力有：

軸力FN和彎矩M

根據平衡條件可求得：軸力FN、彎矩M方向如圖所示。（3）應力分析

與軸力FN對應的拉應力σN均勻分布。（3）應力分析

與彎矩M對應的彎曲應力呈線性分布：中性軸z的左邊為拉應力σwl，右邊為壓應力σwy。（3）應力分析危險點處應力疊加：截面左側邊緣點的拉應力σN和彎曲拉應力σwl疊加后仍為拉應力；

右側邊緣點的拉應力σN和彎曲壓應力σwy疊加的結果是拉應力還是壓應力，由兩者數值的大小所決定。

但對于鑄鐵類脆性材料，由于受壓能力遠高于受拉能力，故通常使拉、壓兩種應力疊加后是壓應力。（4）校核強度應使危險點的總應力不超過許用應力。左側邊緣點的應力為：右側邊緣點的應力為：計算結果表明，立柱的強度足夠。五、彎曲剛度簡介

工程上有一些梁，雖有足夠的強度，但因變形過大而影響其正常工作。例如：

橋式起重機大梁，在移動被吊物體時，過大的彎曲變形會使電葫蘆爬坡困難。

車床主軸，若產生過大的彎曲變形，將降低加工精度，影響齒輪嚙合和軸承配合。車床主軸

許多情況下，必須將梁的彎曲變形限制在一定范圍內，即梁應滿足剛度條件。

懸臂梁AB受載后軸線由直線彎曲成一條光滑連續(xù)的平面曲線AB′。

在軸線上任取一截面形心C，彎曲變形后移到C′。

撓度y——截面形心C在垂直于原軸線方向的位移，mm。

轉角θ——橫截面相對于原來位置轉過的角度，rad（弧度）。

梁的變形可用撓度y和轉角θ

來度量。

在圖示的坐標系中，向上的撓度y為正，反之為負；逆時針轉向的轉角θ為正，反之為負。

對于彎曲變形后會影響正常工作的梁，其剛度條件為：

式中：[y]——許用撓度；[θ]——許用轉角。它們的具體數值可查有關手冊。

梁的撓曲線方程——撓度y和轉角θ與橫截面位置x的函數關系表達式。由此可求得梁上任一截面的撓度y和轉角θ。

但實際計算時可由有關手冊直接查得單個載荷作用下梁某些截面的撓度y和轉角θ計算公式，如教材表4-4所列。在教材表4-4計算公式中：EI——梁的抗彎剛度。在一定外力作用下，該乘積愈大，撓度和轉角愈小，表示抵抗彎曲變形的能力愈強。

對于梁在多個載荷作用下的變形，可分別計算單個載荷的變形，然后采用疊加法求得所有載荷作用時的總變形。【例4-15】

橋式起重機大梁彎曲變形過大時，電葫蘆爬坡困難，故需對其進行剛度計算。已知大梁采用型號為45a的工字鋼，跨度l=9m，最大起吊重量W=60kN（包括電葫蘆重量），彈性模量E=200GPa，許用撓度[y]=0.002l，試校核大梁的剛度。解：分析：因鋼梁重量大，應考慮梁的自重，是均布載荷，由熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表中查得其集度q＝80.42×9.8＝788

N/m，慣性矩Iz＝32200

cm4。當電葫蘆移到梁的中點處時，其撓度最大。（1）用疊加法求撓度

梁在均布載荷q作用下的撓度yCq由教材表4-4可得：（1）用疊加法求撓度

梁在集中力F（=W）作用下的撓度yCF由教材表4-4可得：梁的實際撓度

yC=yCq+yCF=－15mm（2）校核梁的剛度計算許可撓度：所以梁的剛度足夠。則六、提高零件彎曲強度和剛度的措施

提高零件的承載能力，即是使受力零件用盡可能少的材料，承受盡可能大的載荷，并安全可靠。目的：

在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性的前提下，節(jié)省材料，降低零件的制造成本、并使零件材料的作用得到充分發(fā)揮。

影響梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應力。使最大工作應力σmax盡可能小的途徑：

①降低最大彎矩Mmax

②增大抗彎截面系數Wz。工程上常用的措施有：1．改善零件的受力狀況（1）合理布置梁的支座

均布載荷q作用下的簡支梁，畫彎矩圖。

均布載荷q作用下的外伸梁，畫彎矩圖。

最大彎矩Mmax的計算結果表明：

當支座向內移動0.2l時，外伸梁的承載能力可增加4倍。工程實例：龍門吊車主梁的支座布置

龍門吊車的主梁AB，其支承點略向中間移動，其目的：通過合理布置支座位置，以減小Mmax。（2）合理布置載荷

傳動軸上的齒輪安裝在跨距中點，畫彎矩圖。

傳動軸上的齒輪安裝在靠近軸承的位置，畫彎矩圖。

最大彎矩Mmax的計算結果表明：

齒輪安裝在靠近軸承的位置時，最大彎矩Mmax將小很多。2．合理選擇截面形狀（1）選擇比值Wz/A較大的截面形狀

梁可能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數Wz成正比，雖然如此，但截面面積A也將隨之增大（即用料增多），故只有比值Wz/A越大時才越有利。

可用比值Wz/A來衡量截面形狀的合理性與經濟性。幾種常用截面的比值Wz/A見教材表4-5。由教材表4-5可見：工字鋼或槽鋼比矩形截面經濟合理；矩形截面又比圓形截面經濟合理。

對于一定截面面積A，可選擇抗彎截面系數Wz盡可能大從而使比值Wz/A較大的合理截面。

由于正應力在中性軸上為零，離中性軸越遠，正應力越大。為了充分利用材料，應使更多的材料分布在離中性軸較遠處。工程結構中的構件常用空心截面以及工字形、槽形或箱形截面。（1）考慮不同材料的特性選擇截面形狀

對于塑性材料，宜采用圓形、矩形、工字形等中性軸對稱的截面，從而使材料得以充分利用；

對于脆塑性材料，宜采用T形等中性軸偏于受拉一側的截面，從而使最大拉應力比最大壓應力小。3．采用變截面梁

在采用等截面梁時，只有在彎矩為最大值Mmax的截面上，最大應力才有可能接近許用應力，其余各截面上應力較低，材料未得到充分利用。

工程上常采用變截面梁，使梁的各橫截面上的最大正應力都接近，形成近似的等強度梁。

搖臂鉆床的搖臂

上述改善零件受力狀況和合理選擇截面形狀的措施，也能有效地提高梁的彎曲剛度。

階梯軸

疊板彈簧返回

一、扭轉的概念第四節(jié)零件扭轉變形時的工作能力分析

二、內力分析與應力分析

三、軸的扭轉強度分析實例

四、彎扭組合時的強度分析實例

五、扭轉剛度簡介一、扭轉的概念

扭轉——桿件受到垂直于桿軸線的外力偶作用而發(fā)生橫截面繞軸線相對轉動的變形。軸——以承受扭轉變形為主的桿件。一般為圓軸。汽車方向盤的操縱軸

攻制內螺紋的右旋絲錐

減速器的傳動軸

扭轉角——圓軸扭轉時任意兩橫截面之間產生的相對轉角φ。二、內力分析與應力分析1．外力偶矩的計算

工程中，作用于軸上的外力偶的力偶矩計算公式為式中：Me——外力偶矩，N·m；

P——功率，kW；

n——軸的轉速，r/min。2．扭矩和扭矩圖仍采用截面法分析軸在橫截面上的內力。

圓軸在兩端受到一對等值、反向的外力偶Me作用產生扭轉并保持平衡。

取截面m-m一側的左段為分析對象。

左段截面m-m上必存在一個內力偶Mn與外力偶Me平衡。

扭矩——內力偶Mn由左段軸的平衡方程求得推廣一般情形，其結論是：

截面上的扭矩等于該截面一側軸段上所有外力偶矩的代數和，即

當取左、右兩段來計算扭矩Mn時，其值相等，但方向相反。扭矩Mn的符號按右手螺旋法則確定，并規(guī)定：

右手四指順著扭矩的方向握住圓軸軸線，大拇指伸直時的指向與橫截面的外法線方向一致時扭矩為正值；反之為負值。

于是，取左、右兩段來計算，所得的扭矩Mn符號一致。扭矩Mn的符號按右手螺旋法則確定，并規(guī)定：

外力偶矩Me的符號按右手螺旋法則確定，其規(guī)定與扭矩Mn相反。即：

大拇指指向與橫截面的外法線方向一致為負值，反之為正值。扭矩圖的構成：橫坐標x——沿圓軸軸線方向。表示橫截面的位置。縱坐標Mn——垂直于圓軸軸線方向。表示對應截面上扭矩的大小。正值扭矩繪在x軸的上方，負值扭矩繪在x軸的下方?！纠?-16】

已知轉速n=300r/min，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B和C的輸出功率PB=20kW，PC=30kW（不計摩擦損失）。試畫該齒輪軸的扭矩圖。若將主動輪A安裝在軸的左端，試比較兩種安裝方式那一種合理。

齒輪軸

解：（1）計算外力偶矩Me

主動力偶MeA的方向與軸的轉向一致；從動力偶MeB、MeC的方向與主動力偶MeA的方向相反。（2）計算各段的扭矩

根據外力偶矩的作用位置，將軸分為AB、AC兩段，分別取截面1-1和截面2-2。軸的任一截面上的扭矩應等于該截面一側軸段上所有外力偶的代數和，則AB段內的扭矩

Mn1=MeB=636.67N·mAC段內的扭矩

Mn2=MeB－MeA=(636.67－1591.67)N·m=－955N·m

（3）畫扭矩圖

由扭矩圖可知，該齒輪軸的危險截面在AC段，其最大扭矩為：

|Mnmax|=|Mn2|=955N·m

（4）比較合理性

若將主動輪A安置在軸的左端。

由扭矩圖可知，軸上最大扭矩在AB段，其大小為：|Mnmax|=|Mn1|=|MeA

|

=|－1591.67

|=1591.67N·m計算結果表明：

傳動軸上主動輪和從動輪安置不同，軸所受的最大扭矩也就不同。顯然，將主動輪A安裝在兩從動輪之間較合理。3．扭矩時的切應力實驗結果和理論分析表明：圓軸扭轉時，其橫截面上只有切應力。切應力的分布規(guī)律是：

各點的切應力與橫截面半徑方向垂直，其大小與該點到圓心的距離成正比，圓心處的切應力等于零，圓周上的切應力最大，圓軸橫截面上最大切應力的計算公式為：式中：τmax——截面上最大切應力，MPa；

Mn——截面上的扭矩，N·mm；

R——圓軸半徑，mm；

Ip——橫截面的極慣性矩，mm4。是與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量。為便于計算，令則式中：

Wn——軸的抗扭截面系數，mm3。也是與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量。

抗扭截面系數Wn反映橫截面抵抗扭轉破壞能力。當扭矩Mn不變時，Wn越大，τmax越小。常用截面的Ip、Wn計算公式見教材表4-6。三、軸的扭轉強度分析實例

圓軸受扭時最大切應力τmax產生在危險截面的邊緣各點處。式中：[τ]——許用扭轉切應力，MPa。其值可查有關手冊。圓軸的扭轉強度條件為：一般情況下，[τ]可按下列經驗公式近似確定：塑性材料[τ]=(0.5～0.6)[σ]脆性材料[τ]=(0.8～1.0)[σ]式中：[σ]——材料的許用拉應力，MPa。扭轉強度計算可以解決三類問題：扭轉強度校核確定截面尺寸確定許可載荷【例4-17】

一汽車的傳動軸AB由45號無縫鋼管制成，大徑D=90mm，小徑d=85mm，傳遞的最大轉矩Memax=1500N·m，材料的許用切應力[τ]=60MPa。試求：（1）強度是否足夠？（2）在強度不變時改用相同材料的實心軸，軸徑應多大？（3）空心軸和實心軸重量比為多少？汽車的傳動軸

解：（1）計算空心軸的扭轉強度AB傳動軸各截面的扭矩Mn相同，其大小為Mn=Memax=1500N·m

由教材表4-6中所列計算公式可求得抗扭截面系數Wn為：由扭轉強度條件可得：所以AB傳動軸的強度足夠。（2）計算實心軸的直徑

改用實心軸時，材料和扭矩相同，若要求強度不變，抗扭截面系數必定相等，即實心軸的直徑為

Wn=29469mm3

（3）求空心軸和實心軸重量之比

當它們的材料和長度都相同時，重量之比即是它們的橫截面面積之比，設空心軸橫截面面積為A，實心軸橫截面面積為A1，則可得即：空心軸的重量僅為實心軸重量的31%。

可見，在條件相同的情況下，采用空心軸可以節(jié)省材料，減輕重量，提高承載能力，所以在汽車、航空和船舶工業(yè)中采用較多。四、彎扭組合時的強度分析實例

彎扭組合變形——同時產生彎曲變形和扭轉變形。機械中大多的轉軸在載荷作用下產生彎扭組合變形。分析：帶輪軸AB

作用在帶輪軸上的外力：

電動機輸入的外力偶為Me；

帶輪兩邊的拉力分別為FT1、FT2，若將FT1、FT2平移至帶輪輪心C，可得：合力FT=FT1+FT2和一個附加力偶MF。

帶輪軸產生彎扭組合變形：彎曲變形——由橫向力FT產生；扭轉變形——由力偶Me和MF產生。畫出軸的彎矩圖。畫出軸的扭矩圖。由彎矩圖和扭矩圖可見：危險截面——內力最大的中間截面C處。

截面C上正應力σ和切應力τ分布：σ垂直于橫截面；τ沿著橫截面。

因此，不能通過兩者代數疊加來求危險截面的總應力。

運用有關強度理論可推導出圓軸的彎扭組合強度條件為：式中：

σd——當量應力。圓軸在當量應力σd作用下的強度相當于正應力σ和切應力τ聯合作用下的強度；

M和Mn——分別為圓軸危險截面上的彎矩和扭矩；

Wz——圓軸危險截面上的抗彎截面系數；

[σ]——圓軸材料的許用應力。如果軸上的橫向力構成空間力系，則彎扭組合強度的計算步驟為：①

將每一個橫向力分別向水平面和鉛垂面分解，分別畫出水平面內的彎矩圖（MH圖）和鉛垂面內的彎矩圖（MV圖）；②

求合成彎矩M。合成彎矩M的計算公式為式中：MH、MV——水平面內、鉛垂面內的彎矩值。③

將合成彎矩的最大值代入彎扭組合強度計算式即可求解?！纠?-18】

傳動軸傳遞的功率P=7.5kW，軸的轉速n=100r/min，軸的直徑d=60mm，各軸段長l=400mm。軸上裝有C、D兩個帶輪，C輪上帶的緊邊和松邊拉力分別為F1'和F1"（F1'＞F1"），其和F1=4.2kN，方向與水平面（xz平面）的z軸平行；D輪上帶的緊邊和松邊拉力分別為F2'和F2"，其和F2=5.4kN，方向與垂直面（xy平面）的y軸平行。軸的材料許用應力[σ]=85MPa，輪軸自重不計，試校核軸的強度。

傳動軸解：（1）分析軸的外力帶輪傳遞的轉矩為：

在C、D兩處分別有等值反向的外力偶MeC、MeD，兩外力偶矩為MeC=MeD=Me=0.7kN·m

在C處有水平面的橫向力F1；在D處