鎮(zhèn)海中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試試題高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．求值：（）A． B． C． D．13．已知，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．4．已知三個(gè)平面向量滿足，則“向量均是單位向量”是“向量方向相同”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則必不垂直于6．一個(gè)袋子中有個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)為紅球，其余均為綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地摸出2個(gè)球．已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（）A． B． C． D．7．已知正方體的棱長為3，以為球心，為半徑的球面與正方體表面的交線記為曲線，則曲線的長度為（）A． B． C． D．8．已知，記集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A．的最大值為2 B．的最小值為1C．的最大值為2 D．的最小值為110．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，若對(duì)任意且，都有，下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．2是的一個(gè)周期C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱11．一個(gè)同學(xué)投擲10次骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在下列情況中可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的有（）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為4 B．中位數(shù)為4，眾數(shù)為3C．平均數(shù)為2，方差為2.1 D．中位數(shù)為3，方差為0.85三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則______．13．如圖，在長方體中，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為，設(shè)，二面角的大小為．若，則三棱錐體積的最大值為______．14．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和最大值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間．16．（15分）鎮(zhèn)海中學(xué)采購了一批電子白板電容筆，這一批電容筆使用三年后即被淘汰．電容筆頭屬于消耗品，現(xiàn)在需要決策在購買電容筆時(shí)筆頭的數(shù)量，為此搜集并整理了10支筆在一年內(nèi)消耗的筆頭數(shù)（單位：個(gè)），發(fā)現(xiàn)均落在范圍內(nèi)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成六組，第一組，第二組，……第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值；（2）估計(jì)10支筆一年內(nèi)消耗筆頭數(shù)量的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）和第30百分位數(shù)：（3）在搜集這10支筆的使用情況數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其中3支是高一班級(jí)在使用，另外7支是高二班級(jí)在使用，現(xiàn)已知高二班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的平均值和方差分別為50和221，所有班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的方差為200，試估計(jì)高一班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的平均值和方差．17．（15分）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且與交于點(diǎn)．（1）用表示；（2）若，求的值．18．（15分）如圖，在五面體中，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，且．面面．（1）求證：：（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（17分）懸鏈線出現(xiàn)在建筑領(lǐng)域，最早是由十七世紀(jì)英國杰出的科學(xué)家羅伯特·胡克提出的，他認(rèn)為當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)．處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也應(yīng)該是一種穩(wěn)定的狀態(tài)，后來由此演變出了懸鏈線拱門，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函