2025屆龍門高三數(shù)學(xué)（理科）階段性測試一第I卷（選擇題）一、單選題（共60分）1.設(shè)是全集，若，則下列關(guān)系式確定正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用Venn圖，通過舉例說明A，B，D錯誤，從而選C.【詳解】如圖，，此時?，A錯，B，B錯，，D錯，故選：C2.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化“，”為，令，求導(dǎo)分析最小值，再結(jié)合充分必要條件的定義，即得解【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，取最小值2，故“，”?“”故“”是“，”的必要不充分條件，故選：B3.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】，令，可證為奇函數(shù)，從而代入可計算結(jié)果.【詳解】設(shè)，則∴，，因為，即，∴為奇函數(shù)，∴，∴.故選：A．4.定義.若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義以及模長運算求解【詳解】由題意可知，設(shè)與的夾角為，則，又因為，則，所以，故選：B.5.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，滿意，數(shù)列滿意，且，則（）A.0 B. C.21 D.22【答案】A【解析】【分析】先把裂項后迭代求出，得到；再證明出是以4為周期的周期函數(shù)，即可求解.【詳解】對于數(shù)列滿意，且，變形可得：，即，則有：.所以，所以.因為是定義在上的奇函數(shù)，所以且.因為，則有，變形可得：，則有，即是以4為周期的周期函數(shù).所以.故選:A6.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)題意得，，，再構(gòu)造函數(shù)，，探討函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為，，所以，，，所以最大，故解除A，B；設(shè)，，則，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．所以，即，所以.故選：D7.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合解除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，解除AD選項，當(dāng)時，，，，則，解除B選項.故選：C.8.定義：若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的隨意兩個，均有成立，則稱函數(shù)在定義域上滿意利普希茨條件.若函數(shù)滿意利普希茨條件，則常數(shù)的最小值為A4 B.3 C.1 D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由已知利普希茨條件的定義，若函數(shù)滿意利普希茨條件，所以存在常數(shù)k，使得對定義域[1，+∞）內(nèi)的隨意兩個，均有成立，不妨設(shè)，則．而0＜＜，所以k的最小值為．故選D.考點：1.新定義問題；2.函數(shù)恒成立問題．9.已知函數(shù)，.若與的圖象在區(qū)間上的交點分別為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用整體對應(yīng)法可求得的對稱中心為，由可得的對稱中心；依據(jù)對稱性可知若為滿意題意的交點，則也為滿意題意的交點，由此可將所求式子化為，進而求得結(jié)果.【詳解】令，解得：，關(guān)于對稱；當(dāng)時，，關(guān)于對稱；，，若為與在的交點，則也為與在的交點，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正切型函數(shù)對稱中心的求法和函數(shù)對稱性的推斷確定兩函數(shù)的對稱中心，由對稱性得到交點坐標(biāo)所滿意的關(guān)系.10.已知的內(nèi)角A，B，C對的邊分別為a，b，c，，，當(dāng)內(nèi)角C最大時，的面積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化簡，得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出，把得出關(guān)系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面積.【詳解】已知等式利用正弦定理化簡得：，兩邊平方得：，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，則的最小值為，此時C最大，且，則的面積，故選:A.【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.11.已知，不等式對隨意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先不等式變形為，，不等式等價于，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得對隨意恒成立，再利用參變分別恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.【詳解】不等式變形為，即，設(shè)，則不等式對隨意的實數(shù)恒成立，等價于對隨意恒成立，，則在上單調(diào)遞增，，即對隨意恒成立，恒成立，即，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，時，取得最小值，，即，的最小值是.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式恒成立的綜合問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算實力，本題的關(guān)鍵和難點是不等式的變形，并能構(gòu)造函數(shù)并轉(zhuǎn)化為對隨意恒成立.12.已知平面直角坐標(biāo)系中點，，，平面區(qū)域由全部滿意（，）的點組成的區(qū)域，若區(qū)域的面積為，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，進而可求出兩個向量的模長和夾角，利用區(qū)域的面積為列方程，解出的值．【詳解】由已知可得，則，由，故選：A第II卷（非選擇題）二、填空題（共20分）13.已知單位向量、滿意與垂直，則與的夾角______．【答案】【解析】【分析】本題首先可依據(jù)單位向量的性質(zhì)得出、，然后依據(jù)與垂直得出，最終通過向量的數(shù)量積公式得出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為、是單位向量，所以，，因為與垂直，所以，即，，，，，故答案為：.14.下列函數(shù)中，最小值為2的有___________.（填寫全部滿意條件的函數(shù)的序號）①；②；③；④【答案】①②④【解析】【分析】①利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最小值；②③④接受換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性分析最小值.【詳解】①，取等號時，所以，滿意；②令，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，滿意；③令，在上遞減，在上遞增，在上遞增，在上遞減，時，，取等號時；時，，取等號時，不滿意；④令，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，滿意；故答案為：①②④．15.設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在上全部零點之和為___________.【答案】【解析】【分析】分析的對稱性，將問題轉(zhuǎn)化為圖象交點橫坐標(biāo)之和，接受數(shù)形結(jié)合法求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以是一個周期為的周期函數(shù)，且關(guān)于直線對稱，令，所以，所以關(guān)于直線對稱，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，如下圖所示：由圖象可知：的圖象共有個交點，其中個點關(guān)于對稱，還有一個點橫坐標(biāo)為，所以交點的橫坐標(biāo)之和為，所以在上全部零點之和為，故答案為：.【點睛】思路點睛：求解函數(shù)零點之和的問題，可以轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)之和，利用數(shù)形結(jié)合的思想能高效解答問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）探討函數(shù)性質(zhì).16.若，，且，，則________.【答案】1【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合條件，利用其奇偶性和單調(diào)性，由求解.【詳解】∵，∴．令，易知為奇函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)．由題意得，∴，∴，故，∴．故答案為：1三、解答題（共70分）17.已知全集，集合，，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用詳細(xì)函數(shù)定義域的解法化簡集合，解一次不等式化簡集合，從而利用集合的并集運算即可得解；（2）由得，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】依題意，得，解得，，又，.【小問2詳解】因為，所以，又，當(dāng)時，，解得，滿意題意；當(dāng)時，，解得，的取值范圍為：．18.在中，是邊的中線，，且．（1）求的面積；（2）若，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用平面對量的數(shù)量積計算出的值，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）求出的長，延長到，使，連接，由平面對量加法的平行四邊形法則可得，計算出的值，即可求得的長．【詳解】（1），則，；（2）由得，延長到，使，連接．由平面對量加法平行四邊形法則可得，所以，，，即的長為．19.數(shù)列的前項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對隨意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）本題首先可令，求出，然后令，依據(jù)得出，再然后兩式相減，得出，最終通過等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)果；（2）本題首先可依據(jù)得出，然后通過裂項相消法得出，依據(jù)得出數(shù)列單調(diào)遞增，再然后依據(jù)題意得出，最終通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得或，因為，所以，當(dāng)時，，，兩式相減，得，整理得，因為，所以，，，故是以為首項、為公差的等差數(shù)列，，（2）因為，所以，，則，因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，，要使不等式對隨意正整數(shù)恒成立，只要即可，即，因為，所以，，即，解得，實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)．（1）求解析式并推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求t的取值范圍．【答案】（1），在R上為增函數(shù)；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)在處有定義，可得可求得以及解析式，再檢驗是否滿意奇函數(shù)的定義.結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得的單調(diào)性；（2）由的奇偶性和單調(diào)性，可得在R上恒成立，則，由基本不等式可得最小值，進而求得t的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，可得，即，解得，所以，，即有為R上的奇函數(shù)，故，；由，在R上遞增，可得在R上為增函數(shù)；（2）在R上恒成立，即為在R上恒成立．所以在R上恒成立，則，由，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立則，所以，即，可得t的取值范圍是．21.對于定義域為的函數(shù)，假如存在區(qū)間，同時滿意：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時，的值域也是.則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.（2）已知：函數(shù)有“和諧區(qū)間，當(dāng)變更時，求出的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）該問題是一個確定性問題，從正面證明有確定的難度，故可接受反證法來進行證明，即先假設(shè)區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，然后依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到?jīng)_突，進而得到假設(shè)不成立，原命題成立；（2）設(shè)是已知函數(shù)的定義域的子集，可以用表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.∵，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則故、是方程的同號的相異實數(shù)根.∵無實數(shù)根，∴函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.∵，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則故、是方程，即的同號的相異實數(shù)根.∵，∴，同號，只須，即或時，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”，∵，∴當(dāng)時，取最大值.【點睛】本題考查函數(shù)定義域、值域等性質(zhì)，確定性問題要留意建立正難則反的思想，用反證法來求解簡化證明過程，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.22.已知函數(shù)，曲線在點的切線方程為.（1）求實數(shù)的值，并求的極值.（2）是否存在，使得對隨意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），，無微小值.（2）存在，3【解析】【分析】（1）由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再由切線的方程得，列出方程求出的值，代入函數(shù)解析式和導(dǎo)數(shù)，分別求出、對應(yīng)的的范圍，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先將分別出，構(gòu)造函數(shù)，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并化簡，再構(gòu)造函數(shù)并二次求導(dǎo)，通過特別函數(shù)值的符號，確定函數(shù)零點所在的區(qū)間，列出表格推斷出的單調(diào)性，從而求出的最大值，再由自變量的范圍確定出的最大值的范圍，從而求出滿意條件的的最小值．【詳解】（1）依題意，，所以，又由切線方程可得，即，解得，所以，所以，令，