1.1直線的斜率與傾斜角

一、單選題

1.若直線/經(jīng)過點(diǎn)2）,且在x軸上的截距的取值范圍是（3,5）,則其斜率的取值范圍是（）

A.WB.[-i°]

C.（-0°，T）U（g,+8）D.（-oo,-l）u^-y,+ooj

【答案】A

【解析1設(shè)直線的斜率為則直線方程為廠2=秘—1）,

221

令y=0,得直線/在x軸上的截距為1—：,則3＜1—彳＜5,解得

kk2

所以直線/的斜率的取值范圍為1-1,-；）.故選：A

2.已知42,4）,8（1,0）,動(dòng)點(diǎn)尸在直線x=-l上，當(dāng)|「力|+歸用取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.^-1,—jB.^-1,—C.（-1,2）D.（-1」）

【答案】A

【解析】點(diǎn)8關(guān)于直線x=-1對(duì)稱的點(diǎn)為B、（-3,0）.|P4|+|PS|=|P/|+網(wǎng)＞網(wǎng),

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)力、P、用三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

4—0

此時(shí)伊旬+歸回取最小值，直線的方程為y=不丁n（x+3）,

2-（-3）

即y=g（x+3）,令X=-1,得y=1.所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（-詞故選:A.

3.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線

已知A48C的頂點(diǎn)/（2,0）,8（0,4）,若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,-2)

【答案】A

f2+m4+〃)

【解析】設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為[[一,丁)代入歐拉線方程得:

言J手+2=0整理得：m-n+4=0①

4-01

AB的中點(diǎn)為(1,2),*,?=--=-2AB的中垂線方程為夕-2=彳(》-1),

0—22

[x—2y+3=0fx——1

即x-2y+3=0.聯(lián)立,。八解得,

[x-y+2=0[了=]

.?.△ABC的外心為(-1,1).

貝ij(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得：m2+n2+2m-2n=8②

聯(lián)立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

當(dāng)m=0,n=4時(shí)B,C重合，舍去.，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).故選A

4.已知直線/的斜率為左，傾斜角為a,若45。<0<135。，則上的取值范圍為().

A.(T，l)B.(-?>,-l)U(1,+co)

C.[-1,1]D.(y，TU[l,+8)

【答案】B

【解析】直線傾斜角為45。時(shí)，斜率為1,

直線傾斜角為135。時(shí)，斜率為-1,

TT7T

因?yàn)榻?tana在[0,])上是增函數(shù)，在(彳,萬)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)45。<(/<135。時(shí)，%的取值范圍是(-8,_1川(1,日).故選：B

5.已知直線亦+勿+1=0與直線4x+3y+5=0平行，且"+方+1=0在y軸上的截距為g,則6的值為

()

A.-7B.-1C.1D.7

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€水+力+1=0與直線4x+3y+5=0平行，

所以4b=3a,乂直線ar+方+1=0在歹軸上的截距為g,

所以;6+1=0,解得6=-3,所以a=-4,所以。+6=-7,故選A.

6.直線/過點(diǎn)M(-L2),且與以尸(-4,-1),。(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，則直線/的斜率的取值范圍是()

A.B.(-00,-2]U[L+?0C.[-2,1]D.gu[l,+oo)

【答案】D

【解析】???直線/過點(diǎn)〃(-2,2),且與以尸(-4,-1),0(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，如圖所示:

所求直線/的斜率k滿足kp\,<k^k<kMQ,

.2+1.2—01..,1.-ir.1

kpM=.4=1，G=,7=°，則％1或左V?，

—1+4—1—JZZ

.?.左oo,-gU[L+°o),故選：D.

7.若直線/過點(diǎn)(T-l)和(2,5),且點(diǎn)(1009,6)在直線/上,則6的值為()

A.2019B.2018C.2017D2016

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€/過點(diǎn)(T-1)和(2,5),

由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線/的方程為*=?=氾W，化簡(jiǎn)得：

y=2R+1,

由于點(diǎn)(1009,b)在直線/上，將點(diǎn)(1009,6)代入方程y=2x+1,

得6=2x1009+1,解得：6=2019.故選：A.

8.已知直線/：(，〃+3)x+(m—2力-加一2=0,點(diǎn)5(2,-2),若直線/與線段48相交，則加的取

值范圍為()

3

A.(~℃>>-4][4,+oo)B.(—2,2)C.[—->8]D(4,4-00)

【答案】C

【解析】直線/方程變形得：用+(3%-2歹-2)=0.

4

由仁丁=2°0得：，.??直線/恒過點(diǎn)C仁口，

3元一2歹一2=01<557

k-522__U

標(biāo)k-4-7,kBc-4-6'

---rZ----，

55

113

由圖可知直線/的斜率k的取值范圍為：k￡暇或k、,

-,.加+3

又卜=-----

m-2

）z+3,11m+3、3cn-ci、3,?

.?------<----或P------>—,口口2V機(jī)K8或——</w<2,

m—26m-272

4

又加=2時(shí)直線的方程為x=l，仍與線段48相交，

「3-

.?.加的取值范圍為一展8.

故選：C.

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.直線工-歹-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8

B.過（占，匕），（4，％）兩點(diǎn)的直線方程為曰=三?

Z2—Z1X2~E

C.直線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0相互垂直.

D.經(jīng)過點(diǎn)（1,2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0

【答案】AC

【解析】直線x-y-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是;X4/4=8,故A正確;

-2

V—V.x—x.

當(dāng)工2=匯/或丁2="時(shí)，式子-----=------無意義，故B不正確；

%一%Z一項(xiàng)

直線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0的斜率之積為9(-2)=-1,故線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0

垂直，故C正確；

經(jīng)過點(diǎn)（1,2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0或y=2x,故D錯(cuò)誤，故選：AC.

10.下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）

A.若直線的傾斜角為。，則sin?>0

B.直線的傾斜角。的取值范圍為0494萬

C.若一條直線的傾斜角為0,則此直線的斜率為tan。

D.若一條直線的斜率為tan。，則此直線的傾斜角為6

【答案】ABCD

【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是［0,0）,即，?0,乃），所以sinONO,

當(dāng)夕片］時(shí)直線的斜率《=tan。，故A、B、C均錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若直線的斜率％=tan,=^,此時(shí)直線的傾斜角為故D錯(cuò)誤；

故選：ABCD

11.（多選）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.任何一條直線都有唯一的斜率

B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大

C.任何一條直線都有唯一的傾斜角

D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等

【答案】ABD

【解析】4錯(cuò)，因?yàn)閮A斜角為90。的直線沒有斜率；B錯(cuò),因?yàn)?。<6（<90。時(shí)，k>0,90。<”180。時(shí)，k<0；

C顯然對(duì)；若兩直線的傾斜角為90。，則它們的斜率不存在，。錯(cuò).

12.（多選）下列說法正確的是（）

A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率

B.一條直線的傾斜角可以為一30。

C.傾斜角為0。的直線有無數(shù)條

D.若直線的傾斜角為鈍角，則直線的斜率小于0

【答案】CD

【解析】根據(jù)斜率的定義，知當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率不存在，故A說法錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€的傾斜角a的取值范圍是｛a|0。4a4180。｝,所以直線的傾斜角不可能是一30。，故B說法錯(cuò)誤;

所有與x軸平行或重合的直線的傾斜角都是0。，故c說法正確；

顯然鈍角的正切值是負(fù)數(shù)，D說法正確.故選：CD.

三、填空題

13.設(shè)點(diǎn)設(shè)在―加+3),B(2,m-l),C(—l,4),若直線/C的斜率等于直線8c的斜率的3倍，則實(shí)數(shù)〃?的值為

【答案】4

【解析】依題意知直線/C的斜率存在，則〃?工-1,由的c=3凝°得

—m+3—4ZH—1—4-

(=3一二—/［、，所以m=4.故答案為：4

加一(一1)2-(-1)

14.已知兩點(diǎn)/(-1,2),8(根,3),且加€-^-1,73-1,則直線45的傾斜角。的取值范圍是

712.71

【答案】65T

【解析】設(shè)4一.一1,3)闖百-L3),

k_3-2_JT

所以*一百?,直線對(duì)應(yīng)的傾斜角為斗.

-------3

e&=C=乎,直線型對(duì)應(yīng)的傾斜角為？

TT27ryr27r

所以a的取值范圍是￡,彳.故答案為：彳

_63」1_63_

15.設(shè)直線/的斜率為上且則直線的傾斜角a的取值范圍是.

【答案】［0,J)U(手㈤

44

【解析】

由圖得當(dāng)—1V左＜1時(shí)，aw[O,：）U（-方）故答案為：[0二）U（里?，力

4444

16.下列命題中，錯(cuò)誤的是.（填序號(hào)）

①若直線的傾斜角為a,則ae（0,乃）；

②若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大；

③若直線的傾斜角為a,則直線的斜率為tana.

【答案】①②③

【解析】對(duì)于①中，根據(jù)直線傾斜角的概念，可得直線的傾斜角為a,則ae[0,;r）,所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②

中，當(dāng)傾斜角ae[0,1）,直線的傾斜角越大，則直線的斜率/越大，且無＞0；當(dāng)傾斜角“eg,m，直線的

傾斜角越大，則立線的斜率上越大，但左＜0,所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③中，根據(jù)直線斜率的概念，可得當(dāng)

且aw1時(shí)，直線的斜率為A=tana,所以③錯(cuò)誤.故答案為：①②③.

四、解答題

17.已知過原點(diǎn)。的一條直線與函數(shù)y=lo&x的圖像交于48兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)4,B作少軸的平行線與函

數(shù)y=log2X的圖像交于C,。兩點(diǎn).

（1）證明：點(diǎn)O,C,。在同一條直線上；

（2）當(dāng)直線8c平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)力的坐標(biāo).

[解析】（1）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為演、x2由題設(shè)知，*＞1,Z＞1.則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為logs占、

logs2.

因?yàn)锳、8在過點(diǎn)。的直線匕所以，購(gòu)?fù)?至玉

再x2

點(diǎn)C、。坐標(biāo)分別為（王,噢2王），。2，log?/）.

由于噫寸管=3嗎不，噫置|=

0C的斜率「地—，8的斜率—=

X]x]x2x2

由此可知,k{-k2,即0、C、。在同一條直線上.

（2）由于3c平行于x軸知log?X|=logs%,即得10gm=；唾42,

X2=x：.代入x?log.芭=xtlog8x2得xllog8*=3x,logs*.

由于演＞1知log1fx尸0，.■.x＞3x1.考慮再＞1解得再=JL

于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10gli0）.

18.過/（/+2,/_3）,8（3-〃?-毋,2〃?）兩點(diǎn)的直線/的傾斜角為45。，求機(jī)的值.

【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為45。，所以直線的斜率％=tan45o=l,

（m2—3）—2〃？

又％=/，'八/------示=1，整理得〃/+3加+2=0，

解得加=-1或勿2=-2,

當(dāng)m=-l時(shí)，。+2）-（3-加-加）=0,不符合，

當(dāng)用=一2時(shí)，（相a=5*0,符合，綜上：m=-2.

19.已知直線/過點(diǎn)（2,3）,且在x軸上的截距是在N軸上截距的2倍，求直線/的方程.

【解析】方法一：當(dāng)/在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)其在》軸上的截距為6,則/的方程為卷+4=1，

2bb

將點(diǎn)（2,3）代入該方程，解得6=4,所以/的方程為x+2y-8=0.

3

當(dāng)/在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，即/過原點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)/的方程為即3x-2y=0.綜上，

直線/的方程為3x-2y=0或、+2y8=0.

方法二：易知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為^-3=左（工-2）,kAO.

3

令x=0,得＞=3—2左，令y=0,得x=2——.

k

由2（3—2%=2—；，即4/一4左一3二0,解得右：或％=—不

k