專題09三角函數(shù)與幾何綜合類型一、網(wǎng)格問(wèn)題例．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，先證得，求得，再根據(jù)題意證得即可求解．【詳解】解：取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格問(wèn)題中解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于E，由可證，則可得，由此可求出的長(zhǎng)，再在中根據(jù)面積法求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．【詳解】

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、用面積法求直角三角形斜邊上的高、勾股定理及余弦的定義．熟練掌握以上知識(shí)并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，A、B、C、D是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，AD、BC交于點(diǎn)O，則sin∠AOB＝．【答案】/【分析】構(gòu)造直角三角形BCE，使頂點(diǎn)E在格點(diǎn)上，一個(gè)銳角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可.【詳解】解：如圖，由圖可知，，，∴，而，，，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵構(gòu)造格點(diǎn)直角三角形.【變式訓(xùn)練3】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則的值是．【答案】.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用直線解析式確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩點(diǎn)間距離，判定三角形的形狀，繼而計(jì)算即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，連接DE，交AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意，得A（0，3），B（4，1），C（1，3），D（2，0），E（3，2），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線AB的解析式為，同理可得，直線CD的解析式為，直線DE的解析式為，∴，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），同理可得，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），∴=，=，=，∴，∴△DPF是等腰直角三角形，∴∠BPD=45°，∴sin∠BPD=sin45°=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，勾股定理的逆定理，根據(jù)題意，熟練建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法確定解析式，利用解析式確定交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式確定線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練4】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)E，則tan∠CED的值是．【答案】【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AD＝5，BC＝4，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，過(guò)C作CF⊥BD于F，根據(jù)三角形的面積得出，求出CF，根據(jù)勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AD＝5，BC＝4，∵，∴∴，由勾股定理得：，，，則，，過(guò)C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面積，∴△DCE的面積為，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出CF的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．類型二、三角函數(shù)與圓綜合例．在銳角△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交邊BC，AC于點(diǎn)D，E，AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）求證：∠EDC＝2∠CAF；（2）若AB＝BC，判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）相切，見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）由AB是直徑，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，證明∠EDC=∠BAC=2∠DAC，只需證明∠CAF=∠DAC即可；（2）證明∠BAF=90°即可；（3）連接BE，則cos∠ABE=cos∠ADE==，求得AE，EC，后利用勾股定理表示BC，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）∵AB是直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAC=2∠DAC，∵A，B，D，E四點(diǎn)共圓，∴∠EDC=∠BAC，∠DEC=∠ABC，∴∠EDC==2∠DAC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∵AF⊥DE，∴∠CAF=90°-∠AEF=90°-∠DEC=90°-∠ACD=∠DAC，∴∠EDC==2∠CAF；（2）直線AF與⊙O的相切．理由如下：∵AB=BC，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∠BAC=60°，∵∠BAD=∠CAD，由（1）得∠BAD=∠CAD=∠CAF=30°，∴∠BAF=3∠BAD=90°，∵AB是直徑，∴直線AF與⊙O的相切；（3）如圖，連接BE，則∠ABE=∠ADE，∴cos∠ABE=cos∠ADE==，設(shè)AB=25k，則BE=24k，∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴AE==7k，∵AB=AC，∴AC=25k，EC=AC-AE=25k-7k=18k，在直角三角形BEC中，BC==30k，∴==．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角，等腰三角形的性質(zhì)，直徑上的圓周角是直角，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，切線的判定，等邊三角形的判定，熟記切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)D，．（1）求證：為的切線；（2）在上取點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）為直徑，得到，根據(jù)，得到，問(wèn)題得證；（2）先證明，，設(shè)，則，得到，，即，得到，進(jìn)而得到，即可得到．【詳解】解：（1）證明：∵為直徑，∴，∴．∵，∴．∴，∴為的切線．（2）解：∵，∴．∵，∴．設(shè)，則．∴，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)、圓周角定理等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以AB為直徑的⊙O，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作半徑OD⊥AC于點(diǎn)G，連接BD交AC于點(diǎn)F，且FC=BC．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，tanA=，求GF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)1【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)得，再通過(guò)角的轉(zhuǎn)換及可證明；（2）連接，由圓的相關(guān)性質(zhì)可證，得到，即可求GF的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，連接，是的直徑，，，，，的半徑為，,，，在中，，，，，∵OG∥BE，O為AB的中點(diǎn)，，，，，即，，解得．所以的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，掌握相關(guān)知識(shí)，并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，推導(dǎo)得，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得，根據(jù)切線的性質(zhì)分析，即可完成求解；（2）分別連接、，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角和三角函數(shù)的性質(zhì)，推導(dǎo)得；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)，得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）連接，∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴∴∵，∴∴是的切線；（2）分別連接、，∵是的直徑，∴，即．在中，，設(shè)，∴∵，∴．∴或（舍去）∴∴．∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∴，即．∴經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、圓、相似三角形、勾股定理、分式方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)、圓周角、切線、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．課后訓(xùn)練1．如圖，在正方形ABCD中．以AD、AB為斜邊分別向外和向內(nèi)作Rt△ADN和Rt△ABM，且滿足AN=AM，連接MN交AD于點(diǎn)T．若DC=4，tan∠ABM=，則AT的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)HL判定Rt△ABMRt△AND，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明∠DAM=∠AND，繼而證明DN//AM，進(jìn)一步得到△DNT△AMT，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解題，結(jié)合tan∠ABM=，可解得，據(jù)此解題．【詳解】∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，∴Rt△ABMRt△ADN（HL）∴∠DAN=∠BAM，DN=BM．∵∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，∴∠DAM=∠ADN，∴DN//AM，∴△DNT△AMT，∴=，∵tan∠ABM===∴∵AD=DC=4，∴AT=AD=1，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A、B恰好分別落在反比例函數(shù)、的圖像上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)A，B落在函數(shù)，的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，可得直角三角形的面積；根據(jù)題意又可知這兩個(gè)直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的兩條直角邊的比，再利用勾股定理，可得直角邊與斜邊的比，從而得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A、B分別作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為D、E，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B在上，∴S△AOD＝，S△BOE＝2，又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，∴，∴設(shè)OA＝a，則OB＝2a，AB＝，在RtAOB中，cos∠ABO＝故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的性質(zhì)，將面積比轉(zhuǎn)化為相似比，利用勾股定理可得直角邊與斜邊的比，求出cos∠ABO的值．3．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（，）的圖象交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，的面積為5，則的正切值為，的值為．【答案】212【分析】設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為D，則D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根據(jù)OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），則=，，是方程=的兩個(gè)根，利用OA=OC和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理計(jì)算即可．【詳解】設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為D，∵∴D（2b,0），C（0，b），∴OD=2b，OC=b，∴tan∠OCA=，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO，∴tan∠OCA=tan∠CAO=2故答案為：2；設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），則，是方程=的兩個(gè)根，∴，是方程的兩個(gè)根，∴+=2b，=2k，∴=，∵OA=OC，∴∴，解得b=，∴+=，∴=，∵，∴，∴，∴，解得=4或=-4（舍去）∴==6，∵=2k，∴2k=24，∴k=12，故答案為：12；故答案為：2,12．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相交，一元二次方程的解法，根與系數(shù)的關(guān)系定理，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，靈活用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造等式，構(gòu)造一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．如圖，內(nèi)接于的半徑為6，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】作直徑BE，連接CE，作CFBE于點(diǎn)F，則在直角△BCE中解直角三角形求得EC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：作直徑BE，連接CE，作CFBE于點(diǎn)F，如圖，，，是直徑，CFBE，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，以及三角函數(shù)的定義，勾股定理，正確作出輔助線是關(guān)鍵．5．如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則矩形EDFG面積的最大值=．【答案】/【分析】設(shè)ED=x，EF=y，過(guò)F作FH⊥AC于H，用含x和y的代數(shù)式表示出矩形EDGF的面積，再配方可求出面積的最大值．【詳解】解：設(shè)ED=x，EF=y，過(guò)F作FH⊥AC于H,在Rt△ECD中，∵tan∠DEC=，∴sin∠DEC=，cos∠DEC=，∴EC=x.∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，∴HE=y×sin∠EFH=y×sin∠DEC=y，∴FH=，∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH=，∵AC=AH+HE+EC=，∴=4，∴y=，∴S矩形EDEF=xy==，∴當(dāng)x=時(shí)，矩形EDGF面積有最大值，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，屬于中檔題．6．如圖，在每個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格的交點(diǎn)上，則．

【答案】1【分析】取格點(diǎn)D，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)，得到．【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)D，連接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)等，添加輔助線，熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定義，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．（1）求證：；（