2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(甘肅賽區(qū)預(yù)賽)試題(考試時(shí)間:2024年6月23日9:00-11:30,滿分150分)一、填空題(共10小題，每小題7分，滿分70分.請直接將答案寫在題中的橫線上)1.定義集合A,B的運(yùn)算:A?B=m∣m=y2-x,2.若復(fù)數(shù)z、z1、z2滿足:z1z3.函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù),且hx=fx+e-ωc=x為奇函數(shù)4.已知△ABC的外接圓半徑為2,且滿足2sinAsinC=1,cos25.在小于15的正整數(shù)中，不重復(fù)地取出(3個(gè)數(shù)，則它們的和能被3整除的概率為.6.已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0≤φ<π的部分圖象如圖中實(shí)線所示,圖中圓G(點(diǎn)G在x軸上)與fx的圖象交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在y軸上,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為7.某詞學(xué)計(jì)劃練習(xí)n道數(shù)列題n∈N*,設(shè)該同學(xué)對第k題1≤k≤n,k∈N*的掌握程度與解題耗時(shí)分別為ak,bk,已知an,bn都是等差數(shù)列,前n8.已知點(diǎn)P、A、B、C是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn),PA、PB、PC兩兩垂直且長度均為18,M是線段AP上的點(diǎn),且AM=2PM,記過點(diǎn)M與平面ABC9.點(diǎn)P是邊長為2的正八邊形ABCDEFGH邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為

10.若函數(shù)fx在區(qū)間a,b上有定義,且對于任意不同的fx1-fx2≤kx1⊕x2>∞則稱fx為a,b的“k類函數(shù)”.若二、解答題(共7小題,滿分80分.要求寫出解題過程)11.(11分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a(1)求cosAcosC(2)若角B的平分線BE與邊AC相交于點(diǎn)E,且BE=3,求a+12.(11分)已知數(shù)列an滿足a(1)求an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bn=1an+1an2,記bn的前n項(xiàng)和為Sn:若13.(11分)如圖(1),在等腰直角三角形DFC中,FD=FC,A,B,E分別在線段DF,FC,CD上,且AB//CD,AE//FC.已知FA=1,AD=2圖(1)圖(2).(1)求證:平面BDE⊥平面ABD(2)求平面BDC與平面EDC的夾角的余弦值；(3)點(diǎn)Q在線段DF上,設(shè)直線BQ與直線DE所成角為a,求cosa的最大值14.(11分)①拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)(直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)，即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)).設(shè)f'x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù),f''x是函數(shù)f'x的導(dǎo)函數(shù),若方程f°x=0有實(shí)數(shù)解x=x0,②設(shè)a,b為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=fx對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,都有fa+x+fa-x?2b((I)求證:任意的三次函數(shù)fx=a(2)已知函數(shù)fx=13x3-15.(11分)nn≥3個(gè)人圍坐在圓形餐桌前吃飯每個(gè)人面前及桌子正中央均各擺放一道菜,每人每次只能(1)當(dāng)n=4時(shí),若每人都隨機(jī)夾一道菜,其垂道菜最多被來一次,計(jì)算每個(gè)人夾的菜都不是餐桌正中間和自(2)現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機(jī)夾取一道菜，每個(gè)人都各夾過一道菜后，記被夾過的菜數(shù)為Xk,求滿足EXn>5的16.(12分)如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=la>b>0,C、D是橢圓上x軸同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),分別過C、D作橢圓的兩條切線交于點(diǎn)P,且分別與x軸交于點(diǎn)B、A,線段AC與BD交于點(diǎn)E,作EF⊥(1)求證:P、E、(2)求證:PM17.(13分)定義Z+上的函數(shù):σn=d1+d2+d3+?+ds,其中d1,d2,d3,?,ds為n的所有正因數(shù).若（1）判斷σ(23)、σ(88)、σ(202