7.5正態(tài)分布第七章課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的意義.2.理解正態(tài)曲線的性質(zhì).3.明確正態(tài)分布中參數(shù)μ,σ的意義及其對正態(tài)曲線形狀的影響.4.了解3σ原則,會用正態(tài)分布解決實際問題.5.提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),培養(yǎng)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)正態(tài)分布(3)由服從正態(tài)分布的隨機變量X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn),正態(tài)曲線還有以下特點:③當(dāng)|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.(4)參數(shù)μ,σ對正態(tài)曲線形狀的影響①在參數(shù)σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿

x軸平移.②當(dāng)μ取定值時,因為正態(tài)曲線的峰值

與σ成反比,而且對任意的σ>0,正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此,當(dāng)σ較小時,峰值高,正態(tài)曲線“瘦高

”,表示隨機變量X的分布比較集中;當(dāng)σ較大時,峰值低,正態(tài)曲線“矮胖

”,表示隨機變量X的分布比較分散.參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置,σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.(5)若X~N(μ,σ2),則E(X)=

μ,D(X)=σ2.(6)假設(shè)X~N(μ,σ2),可以證明:對給定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.特別地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]上的值,這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.3.(1)已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率約為(

)A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023(2)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,σ2),若P(Y>8)=0.4,則P(Y<0)=

.

解析:(1)因為X~N(0,1),所以X在區(qū)間(-∞,-2)和(2,+∞)內(nèi)取值的概率相等.又知X在區(qū)間[-2,2]上取值的概率約為0.954

5,所以X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率

(2)因為隨機變量Y服從正態(tài)分布N(4,σ2),μ=4,且P(Y>8)=0.4,所以P(Y<0)=P(Y>8)=0.4.答案:(1)D

(2)0.4【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)正態(tài)密度函數(shù)解析式中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差.(×)(2)服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量.(

√

)(3)正態(tài)曲線與x軸圍成圖形的面積隨參數(shù)μ,σ的變化而變化.(×)(4)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱.(×)合作探究釋疑解惑學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)一正態(tài)曲線及性質(zhì)【例1】

一個正態(tài)曲線圖象如圖所示,則隨機變量X的樣本均值μ=

,樣本方差σ2=

.

答案:20

2利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求σ.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)二利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率【例2】

(1)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(X>2)=0.023,則P(-2<X<2)=(

)A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977(2)隨機變量Y服從正態(tài)分布N(1,4),若P(2<Y<3)=a,則P(Y<-1)+P(1<Y<2)=(

)解析:(1)因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱.又因為P(X>2)=0.023,所以P(X<-2)=0.023.所以P(-2<X<2)=1-P(X>2)-P(X<-2)=1-2×0.023=0.954.(2)因為隨機變量Y服從正態(tài)分布N(1,4),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,答案:(1)C

(2)B正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1.(2)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);【變式訓(xùn)練2】

(1)已知隨機變量X~N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,則P(a≤X<4-a)=

.

(2)若X~N(1,22),求:①P(-1≤X≤3);②P(3≤X≤5).(1)解析:由正態(tài)分布圖象的對稱性可得P(a≤X<4-a)=1-2P(X<a)=0.36.答案:0.36(2)解:因為X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.①P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7.②因為P(3≤X≤5)=P(-3≤X<-1),學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)三正態(tài)分布的實際應(yīng)用【例3】

在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布N(90,100).(1)求考試成績X落在區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率;(2)若這次考試共有2000名考生參加,試估計考試成績落在區(qū)間(80,100)內(nèi)的考生人數(shù).解:因為X~N(90,100),所以μ=90,σ=10.(1)由μ=90,σ=10,得μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率約是0.954

5,故考試成績X落在區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率約是0.954

5.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)取值的概率約是0.682

7,故考試成績X落在區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率約是0.682

7.這次考試共有2

000名考生,則估計考試成績落在區(qū)間(80,100)內(nèi)的考生有2

000×0.682

7≈1

365人.正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略解答此類題目的關(guān)鍵在于首先將待求問題的正態(tài)變量的取值范圍向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化,然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)的概率,在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.【變式訓(xùn)練3】

某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:(1)成績不及格的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例;(2)成績在80~90分的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例.

正態(tài)分布與統(tǒng)計知識的綜合應(yīng)用【典例】

某市對在今年1月份的高三期末考試中的數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,全市10000名學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(120,52),現(xiàn)某校隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析,結(jié)果這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分到145分之間,現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組:第一組[85,95),第二組[95,105),…,第六組[135,145],得到的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)試由樣本頻率分布直方圖估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)若從這50名學(xué)生中成績在125分(含125分)以上的隨機抽取3人,這3人在全市前13名的人數(shù)記為X,求X的分布列和均值.附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由頻率分布直方圖可知數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[125,135)內(nèi)的頻率為1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以估計該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)為90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112.即全市前13名的數(shù)學(xué)成績?nèi)吭?35分以上.根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績在1