第4-5章因式分解和分式方程（壓軸必刷12種題型30題）一．因式分解-提公因式法（共2小題）1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正確結(jié)果是（）A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）2．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2．二．因式分解-十字相乘法等（共1小題）3．下面是某同學對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程．解：設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y(tǒng)2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）請問：（1）該同學因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“徹底”或“不徹底”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．（2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解．三．因式分解的應用（共9小題）4．已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為（）A．﹣1 B．0 C．3 D．65．已知a，b，c是△ABC的三邊，b2+2ab＝c2+2ac，則△ABC的形狀是．6．已知x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0，則x﹣y+z＝．7．已知m2﹣mn＝2，mn﹣n2＝﹣5，則3m2+2mn﹣5n2＝．8．已知a+b＝3，ab＝2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值．9．已知x為自然數(shù)，且x+11與x﹣72都是一個自然數(shù)的平方，則x的值為．10．利用因式分解計算：2022+202×196+982＝．11．閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．12．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求證，若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．四．分式的基本性質(zhì)（共1小題）13．已知，則＝．五．分式的加減法（共2小題）14．如果記y＝＝f（x），并且f（1）表示當x＝1時y的值，即f（1）＝＝；f（）表示當x＝時y的值，即f（）＝＝，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．15．閱讀下面的材料，并解答后面的問題材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式．解：由分母為x+1，可設(shè)3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．因為（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．所以，解得．所以＝＝﹣＝3x+1﹣．這樣，分式就被拆分成了一個整式3x+1與一個分式的差的形式．根據(jù)你的理解決下列問題：（1）請將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式；（2）若分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．六．分式的混合運算（共2小題）16．一個容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照這種倒水的方法，倒了10次后容器內(nèi)剩余的水量是．17．閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可以化為帶分數(shù)，如：＝2+＝2．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如：＝＝1﹣；解決下列問題：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；（2）將假分式化為帶分式；（3）先化簡﹣÷，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．七．分式的化簡求值（共2小題）18．先化簡，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．先化簡，再求值：（+）÷，其中a滿足方程a2+4a+1＝0．八．分式方程的解（共4小題）20．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組，有且僅有三個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程+＝1有整數(shù)解，則滿足條件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣1821．已知方程﹣a＝，且關(guān)于x的不等式組只有4個整數(shù)解，那么b的取值范圍是（）A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜422．若關(guān)于x的方程+＝無解，則m的值為．23．若關(guān)于x的分式方程+＝3的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．九．分式方程的增根（共1小題）24．已知分式方程有增根，則增根是（）A．x＝1 B．x＝1或x＝0 C．x＝0 D．不確定一十．由實際問題抽象出分式方程（共2小題）25．甲、乙兩地之間的高速公路全長200千米，比原來國道的長度減少了20千米．高速公路通車后，某長途汽車的行駛速度提高了45千米/時，從甲地到乙地的行駛時間縮短了一半．設(shè)該長途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A． B． C． D．26．小軍家距學校5千米，原來他騎自行車上學，學校為保障學生安全，新購進校車接送學生，若校車速度是他騎車速度的2倍，現(xiàn)在小軍乘校車上學可以從家晚10分鐘出發(fā)，結(jié)果與原來到校時間相同．設(shè)小軍騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的為（）A．+＝ B．﹣＝ C．+10＝ D．﹣10＝一十一．分式方程的應用（共3小題）27．2013年4月20日，雅安發(fā)生7.0級地震，某地需550頂帳篷解決受災群眾臨時住宿問題，現(xiàn)由甲、乙兩個工廠來加工生產(chǎn)．已知甲工廠每天的加工生產(chǎn)能力是乙工廠每天加工生產(chǎn)能力的1.5倍，并且加工生產(chǎn)240頂帳篷甲工廠比乙工廠少用4天．①求甲、乙兩個工廠每天分別可加工生產(chǎn)多少頂帳篷？②若甲工廠每天的加工生產(chǎn)成本為3萬元，乙工廠每天的加工生產(chǎn)成本為2.4萬元，要使這批救災帳篷的加工生產(chǎn)總成本不高于60萬元，至少應安排甲工廠加工生產(chǎn)多少天？28．華昌中學開學初在金利源商場購進A、B兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費了2500元，購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元．（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元？（2）華昌中學響應習總書記“足球進校園”的號召，決定再次購進A、B兩種品牌足球共50個，恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售，如果這所中學此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，那么華昌中學此次最多可購買多少個B品牌足球？29．2015年5月，某縣突降暴雨，造成山體滑坡，撟梁垮塌，房屋大面積受損，該省民政廳急需將一批帳篷送往災區(qū)．現(xiàn)有甲、乙兩種貨車，已知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝20件帳篷，且甲種貨車裝運1000件帳篷所用車輛與乙種貨車裝運800件帳篷所用車輛相等．（1）求甲、乙兩種貨車每輛車可裝多少件帳篷？（2）如果這批帳篷有1490件，用甲、乙兩種汽車共16輛來裝運，甲種車輛剛好裝滿，乙種車輛最后一輛只裝了50件，其它裝滿，求甲、乙兩種汽車各有多少輛？一十二．一次函數(shù)的應用（共1小題）30．為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160