/2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期6月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．“，且”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外，每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為()A．10 B．11C．13 D．216．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．-1二、多選題9．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的圖像在處的切線斜率為C． D．有兩個(gè)零點(diǎn)，且11．已知函數(shù)，在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為，，若為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是R上的奇函數(shù) D．是R上的奇函數(shù)三、填空題12．計(jì)算：=.13．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.14．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大整數(shù)值為.四、解答題15．已知函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)又在函數(shù)的圖像上.(1)求的值；(2)已知，求函數(shù)的最大值和最小值.16．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列{}為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n．17．醫(yī)生將一瓶含量的A藥在內(nèi)勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時(shí)的關(guān)系是，當(dāng)時(shí)，血液中的A藥注入量達(dá)到，此后，注入血液中的A藥以每小時(shí)的速度減少．(1)求k的值；(2)患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持多少h？（精確到0.1）(3)患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時(shí)，立即進(jìn)行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續(xù)以每小時(shí)的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經(jīng)過(guò)兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間是否可以維持？（參考數(shù)據(jù)：，，）18．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(3)在（1）條件下，若對(duì)任意，有恒成立，求m的最大值．19．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)（）.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證.1．B【分析】根據(jù)特稱命題的否定時(shí)全稱命題，改量詞否結(jié)論即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“，”的否定是“，”.故選：B.2．B【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B3．D【分析】借助中間值比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?故選：D.4．B【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，列出相應(yīng)不等式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，可得在上是增函數(shù)，故有對(duì)稱軸，即，且，解得，即實(shí)數(shù)的范圍是.故選：B.5．A【分析】首先根據(jù)題意得到第年的維護(hù)費(fèi)為，從而得到年平均費(fèi)用為：（為正整數(shù)），再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】由題意可知：每年的維護(hù)費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故第年的維護(hù)費(fèi)為：，總的維護(hù)費(fèi)為：，故年平均費(fèi)用為：，即，（為正整數(shù)）；由基本不等式得：（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，即該企業(yè)年后需要更新設(shè)備．故選：A6．C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋沂桥c的等比中項(xiàng)，可得，即，解得，所以，又由，可得.故選：C.7．D畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)對(duì)稱性和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．【詳解】可畫函數(shù)圖象如下所示若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，當(dāng)時(shí)解得或，關(guān)于直線對(duì)稱，則，令函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)故當(dāng)時(shí)所以即故選：本題考查函數(shù)方程思想，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題.8．C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對(duì)于使得取得最小值時(shí)，直線和函數(shù)的圖象相切，求得上的一點(diǎn)的切線方程為，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，對(duì)于使得取得最小值時(shí)，直線和函數(shù)的圖象相切，又由，可得，則，可得在點(diǎn)的切線為，即，令，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故選：C.方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．9．ACD【分析】由奇函數(shù)定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故A滿足題意；對(duì)于B，若，則，故B不滿足題意；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故C滿足題意；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故D滿足題意.故選：ACD.10．BCD【分析】根據(jù)題意直接求出的范圍即可判斷；求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得即可判斷B；求得即可判斷C；易知的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及C即可判斷D．【詳解】由題意，，對(duì)于選項(xiàng)A，易知且，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)可知，易知在和上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，又因?yàn)?，則，結(jié)合選項(xiàng)C，得，即也是的零點(diǎn)，則，，故，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11．AD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性，以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，即可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】解：已知為偶函數(shù)，可知關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)椋瑒t，即，所以與關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，直線關(guān)于對(duì)稱的直線為，所以關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，是偶函數(shù)，而關(guān)于對(duì)稱，，又，則，，，即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由關(guān)于直線對(duì)稱，，關(guān)于對(duì)稱，，則，，所以，即是周期為4的偶函數(shù)，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，所以是周期為4的奇函數(shù)，同理，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，是周期為4的奇函數(shù)，所以與均是周期為4的奇函數(shù)，故D選項(xiàng)正確；由于關(guān)于對(duì)稱，，，則，所以，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到函數(shù)的奇偶性及周期性，再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.12．##1.5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和根式的運(yùn)算得解.【詳解】原式.故答案為.13．【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，且，則，即，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，可得，則，解得，即的取值范圍為.故14．2【分析】分離參數(shù)，利用換元法得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合隱零點(diǎn)求最小值即可.【詳解】原不等式等價(jià)于在時(shí)恒成立，令，則上式化為，構(gòu)造函數(shù)，則，令，所以在上單調(diào)遞增，而在，故使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，所以，又，故的最大整數(shù)值為2.故2思路點(diǎn)睛：分離參數(shù)并換元得，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合隱零點(diǎn)計(jì)算其最小值即可.15．(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)首先求的值；（2）通過(guò)換元，設(shè)，并且求變量的取值范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值.【詳解】（1）由題意知定點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)又在函數(shù)的圖像上.∴，即解得.（2）由得，令，則，.∴當(dāng)，即，時(shí)，，當(dāng)，即，時(shí)，.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)100【分析】（1）由題意可得=，可證結(jié)論；（2）由（1），可求得，可求滿足條件的最大整數(shù)n．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，?故，所以，所以{}是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，

故．

因?yàn)殡S著n的增大而增大，n=100滿足題意，n=101不合題意，所以滿足條件的最大整數(shù)n=100．17．(1)；(2)；(3)可以.【分析】（1）把，代入計(jì)算即得.（2）根據(jù)給定條件，列出不等式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.（3）求出A藥含量為時(shí)時(shí)間關(guān)系，再列出第二次注射完成后患者血液中A藥的含量隨注射時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，列出不等式求解即得.【詳解】（1）依題意，，解得，所以k的值為.（2）血液中的A藥含量達(dá)到后，經(jīng)過(guò)x小時(shí)患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持.（3）設(shè)第一次注射開(kāi)始后經(jīng)過(guò)患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開(kāi)始后經(jīng)過(guò)的時(shí)間，則，由，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，又，所以經(jīng)過(guò)兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間可以維持．18．(1)極小值為，無(wú)極大值(2)詳解見(jiàn)解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值；（2）求導(dǎo)可得，分類討論當(dāng)、、、時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)性，即可求解；（3）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)可得，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，令，得，令，得.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得或0，若即時(shí)，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；若即時(shí)，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減；若即時(shí)，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增.（3）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增..故，即的最大值為.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.19．（1）;（2）①;②證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，繼而可得切線斜率為在的導(dǎo)數(shù)值，由，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，可求出切線方程.（2）①由題意知關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解，令，可得或，從而可求出函數(shù)的極值，又結(jié)合當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.②令，則，即，通過(guò)導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的性質(zhì)，可知，從而可證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以.則當(dāng)時(shí)，，即切線的斜率為2，又由，則，所以曲線在處的切線方程為.（2）①解：由題意可得，關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解.即關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解.令.所以.顯然，當(dāng)時(shí)，，證明如下