高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

1、若集合A中有n(〃eN)個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為

竺,所有非空真子集的個(gè)數(shù)是的-2。

二次函數(shù)y+bx+c的圖象的對(duì)稱軸方程是》=——，頂點(diǎn)坐

標(biāo)是-4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解析式的

［la4aJ

設(shè)法有二種形式，即f(x)^ax2+bx+c(一般式)，

/(X)=a(x-x)(x-X2)(零點(diǎn)式)和f(x)=a(x-m)2+n

(頂點(diǎn)式)。

2、幕函數(shù)y=x；,當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m<n時(shí)，其大致圖象

是

函數(shù)丫=卜2一5x+6］的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+oo),單調(diào)遞增區(qū)間是

［2,2.5］和［3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(—8,2］和［2.5,3］。

三角函數(shù)

1、以角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角

a的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為

??.yxyxrr

r，貝I」sincif=—，cosa二一，tga二一，ctga二一，seca=—,esca=一°

rrxyxy

2、同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sin2a+cos2a=l,

1+fg?a=sec*2a,l+ctg2a=esc2a；

倒數(shù)關(guān)系是：tga-ctga=1,sina-csca=1,coserseeer=1；

口sinacosa

相除關(guān)系是：iga=----ct2a=----

cosasina

3、誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。如:

.3兀\/15乃、/與V

sin(--a)=-cosa,czg(———a)=tga,tg(37r-a)=-tgao

4、函數(shù)y=Asin(@x+e)+8(其中A>0,。>0)的最大值是

A+B,最小值是5-A,周期是T=二，頻率是/=烏，相位

CD2%

是cox+cp,初相是0;其圖象的對(duì)稱軸是直線

7T

ax+9=k兀+］(keZ),凡是該圖象與直線y=B的交點(diǎn)都是該

圖象的對(duì)稱中心。

5、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=sinx的遞增區(qū)間是「2"_￡2?乃+口(4cZ),遞減區(qū)間是

.22.

2^+-,2fc^+—1(kGZ)；y=cosx的遞增區(qū)間是

22

\2kjr-乃,2左4](攵GZ),遞減區(qū)間是[2左乃,2k%+4](攵￡Z),y=tgx的

遞增區(qū)間是（收■/,0+工）（攵￡Z）,y=ctgx的遞減區(qū)間是

（4萬(wàn)，k兀+））伏￡Z）。

6、sin(a±/?)=sinacosP±cosasinp

cos(a±/7)=cosacos/?+sinasin(3

tg(a±0)=-^^~

1干tgatg/3

7^二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

COS26Z=COS2a-sin2a=2cos2cif-l=l-2sin2a

c2吆a

tg2a2

1Tg

“八"口a-cos6Z1+COS6Z

9、半角公式是：sin—=±----------cos—=±

2V22v-T~

a,/l-cos6r1-cosasina

tg-=±J----------=-----------=-----------

2v1+cosasina1+cosa

“a

10、升嘉公式是：1+cosa=Zcos?—1-cosa=2sin2—。

22

1+cos2a

11、降幕公式是：siMa=I-。12acos2a=------------o

2

-aCa

i2a2tg

_z、2tg3一吆-22

12＞力能公式：sincr=-----------cosa=------tga;--------

[2aa,a

1+次22

g52_次~2

22

13^sin(a+/?)sin(?-/?)=sina-sinJ3f

cos(a+J3)cos(a-J3)=cos2cr-sin2[3=cos2/7-sin2a。

14^4sinasin(60。-a)sin(60°+a)=sin3a；

4coscifcos(60°-df)cos(60°+a)=cos3a；

吆arg（60。一a）氏（60°+。）=吆3。。

15>ctga-tga=2ctg2a。

（）V5-1

16、sin18°=-------o

4

17、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圓半徑）:

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

2_/2

由余弦定理第二形式，cosB=---------------

2ac

20、4ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表

示，半周長(zhǎng)用p表示則：

①S=—a-h=…；②S=-bcsinA=…；

2“n2

@S=27?2sinAsinBsinC；?S=^^--

4R

⑤S二7p(p-a\p-/?)(/?-c)；?S=pr

21、三角學(xué)中的射影定理：在4ABC中，b=a?cosC+c?cosA,…

22>在4ABC中，A<8=sinA<sin8,…

23、在AABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BC4+B.CA+BC

sin-------=cos—cos-------=sin—tg—^—=ctg—

2222

tgA+tgB+tgC=tgA?tgB?tgC

24、積化和差公式:

①sina?cos0=；[sin(o+夕)+sin(a-/?)]

②cosa?sin/=；[sin(a+4)-sin(a—,

③cosa?cos/?=—[cos(ct:+/)+cos(a-/)],

④sina?sin/=一g[cos(a+/)一cos(a-〃)]。

25、和差化積公式：

①sinx+siny=2sin—^?cos―,

公、?x+y.x-y

@sinx-siny=2cos—^-sin—/,

-/x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—--cos---

?cosx-cosy=-2sin~~~~'

三、反三角函數(shù)

1、y=arcsinx的定義域是[-1,1],值域是[―5，1]'奇函數(shù)，增函數(shù);

y=arccosx的定義域是[-1,11，值域是[0,TV],非奇非偶，減函數(shù);

y=arcfgx的定義域是R,值域是（-]9，奇函數(shù)，增函數(shù);

y=arccfgx的定義域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，減函數(shù)。

2、當(dāng)％￡[-1,1]時(shí),sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=71-x2,cos(arcsinx)=71-x2

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=TT-arccosx

.71

arcsinx+arccosx=—

2

對(duì)任意的冗ER,有：

tg(arctgx)=xfctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)-TC-arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

當(dāng)xwO時(shí)，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=-o

xx

3、最筒三角方程的解集：

時(shí)＞1時(shí),sinx=。的解集為0

時(shí)＜1時(shí),sinx=〃的解集為卜卜二"萬(wàn)+(-1)”?arcsin。，neZ

\a\＞1時(shí),cosx=a的解集為。；

\a\＜1時(shí),cosx=a的解集為｛乂工=2〃乃士arccosa,〃￡z)

awR,方程Zgx=。的解集為卜=n7r+arctga,nGZ)；

aGR,方程cfgx=a的解集為卜|x=〃乃+arcctga,〃ez｝。

四、不等式

1、若n為正奇數(shù)，由。＜匕可推出a"嗎？(能)

若n為正偶數(shù)呢？（僅當(dāng)。、匕均為非負(fù)數(shù)時(shí)才能）

2、同向不等式能相減，相除嗎（不能）

能相加嗎？（能）

能相乘嗎？（能，但有條件）

3、兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是：茄

2

三個(gè)正數(shù)的均值不等式是：-b+->^ab^

3

n4-n-Li7I---------

n個(gè)正數(shù)的均值不等式是：-!一-------^>'^ata2--an

n'

4、兩個(gè)正數(shù)”、匕的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之

間的關(guān)系是

6、雙向不等式是：MLw卜土耳v|4+網(wǎng)

左邊在ab<0(>0)時(shí)取得等號(hào)，右邊在ab>0(<0)時(shí)取得等號(hào)。

五、數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是%=%+(〃-l)d,前n項(xiàng)和公式是:

〃(q+%)1

Sn=-----------=〃/+—n(n-\)a。

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是%=a."T,

na(q=1)

1n

前n項(xiàng)和公式是：5?=hl(l-^),八

—:------(471)

"q

3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛4｝的公比q滿足時(shí)<1時(shí),limS“=S=—■一般地,

〃->8]一

如果無(wú)窮數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和的極限limS,,存在，就把這個(gè)極限稱為這

個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和(或所有項(xiàng)的和)，用S表示，即S=limS“。

〃一>8

4、若m、n、p、q《N,且加+〃=p+q,那么：當(dāng)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)

列時(shí)，有am+%=4+4；當(dāng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列時(shí)，有

5、等差數(shù)列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,則S3n=K；

6、等比數(shù)列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,則S3n=四；

六、復(fù)數(shù)

i"怎樣計(jì)算？（先求n被4除所得的余數(shù)，=〃)

、AIA?

2、助=一一+—z\%=——是1的兩個(gè)虛立方根，并且：

2222

3312211

例=g=1/=g①2=?—=0—=他

①1g

①I=處物=外例+0）2=—1

3、復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：聞一%||＜總±%2|4總|+憶|，其中

左邊在復(fù)數(shù)Z1、Z2對(duì)應(yīng)的向量共線且反向（同向）時(shí)取等號(hào),右邊在

復(fù)數(shù)z「Z2對(duì)應(yīng)的向量共線且同向（反向）時(shí)取等號(hào)。

4、若憶|=2,Z2=3（cosq+isin|＞Z］，復(fù)數(shù)％、z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是

A、B,則△AOB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是,x2x6xsin工=。

23

6、復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的幾個(gè)基本軌跡：

①|(zhì)z-Zo|=r（r是正的常數(shù)）＜-＞軌跡是一個(gè)圓。

②|z-&|=|z-z2|（zPZ2是復(fù)常數(shù)）＜-＞軌跡是一條直線。

③|z-Z||+|z-Z2|=2a（Z］、Z2是復(fù)常數(shù)，a是正的常數(shù)）3軌

跡有三種可能情形：a）當(dāng)2a＞,-Z21時(shí)，軌跡為橢圓；b）當(dāng)

2〃=匕一時(shí)，軌跡為一條線段；c）當(dāng)2a＜L一馬|時(shí)，軌跡不存在。

④%-zj-卜-Z21|=2a（a是正的常數(shù)）c軌跡有三種可能情形：

a）當(dāng)2a＜匕時(shí)，軌跡為雙曲線；b）當(dāng)2a=憶一Z2I時(shí)，軌跡為兩

條射線；c)當(dāng)2a＞出一句時(shí)，軌跡不存在。

七、排列組合、二項(xiàng)式定理

1、加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點(diǎn)？

加法分類，類類獨(dú)立；乘法分步，步步相關(guān)。

V]I

2、排列數(shù)公式是：片"=〃(〃—1)…機(jī)+1)=---------

(n-m)\

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：P：=my

組合數(shù)公式是：C：==——小——.

1x2x???xmm!-(n-m)!

組合數(shù)性質(zhì)：C：=C；5C：+C：I=C'

EC,：=2"rC；=nC-\

r=0

c;+C[+c；+2+-+c；=C；：：

3、二項(xiàng)式定理：

(a+by=C^a"+C',a"-'b+C^an-2h2+…++…+C：b"

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：=C；a"-'7/(r=0,1,2…，n)

八、解析幾何

1、沙爾公式：|A5|=XB-XA

2、數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：[4卻=|4-4|

3、直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：

山刃=J?-/A+(必一為尸

-----pP

4、若點(diǎn)P分有向線段8乙成定比入，則入=」一

PP?

5、若點(diǎn)耳(西，%),P2(x2,y2),P(x,y),點(diǎn)P分有向線段Kg成定比

入，則…==ZZ2L；XJ+3),J+僅

x2~xy2~y1+X1+A

若4匹，必)，B(x2,y2),C(x3,y3),則z\ABC的重心G的坐標(biāo)是

f「+￡+尤3X+為+丫3)

I3'3)

6、求直線斜率的定義式為k=tga，兩點(diǎn)式為k=@二&。

7、直線方程的兒種形式：

點(diǎn)斜式：y~y0=k(x-x0'),斜截式：y=kx+b

兩點(diǎn)式：七”=上工，截距式：±+'=1

y2-x2-x1ab

一般式：Ax+By+C^O

經(jīng)過兩條直線片Ax+gy+G=。和修&》+當(dāng)＞+。2=。的

交點(diǎn)的直線系方程是：A/+8]y+G+^{A2X+B、y+C2)=0

8、直線/1：y=k/+b[,l2ty=k2x+b2,則從直線人到直線4的角

0滿足：tg0=-_■—

1+kxk2

I—k

直線。與右的夾角。滿足：火。二上」^

2

|1+圾2

直線《A.x+B.y+C,=0,/2：42%+62>+。2=0,則從直線L

到直線I,的角e滿足：次，=4氏

A,A2+S,B2

A|By—A,2By

直線/I與4的夾角。滿足:次。=

A[A)+B]B-f

9、點(diǎn)尸(%,y。)到直線/：Ax+8y+C=0的距離:

d_|Ax()+By。+C|

'ylA2+B2

10、兩條平行直線4：Ax+By+C,=0,Z2：Ax++g=。距離是

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x—a)2+(y—與2=/

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+E2-4F>0)

22

其中，半徑是，二J.n+E—-—4F,圓心坐標(biāo)是(-上D，-E二

2122

思考：方程/+;/+0x+Ey+尸=0在。2+后2-4尸=o和

D2+E2—4/<0時(shí)各表示怎樣的圖形?

12、若A(x"),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-X|)(x-—2)+()一月)(=一為)=o

經(jīng)過兩個(gè)圓

2222

x+y+Dtx+E1y+F,=0,x+y+D2x+E2y+F2=0

的交點(diǎn)的圓系方程是：

2222

x+y+Dxx+E}y+F}+Z(x+y+D2x+E2y+F2)=0

經(jīng)過直線/：48+8），+。=0與圓X2+卜2+。％+4+/=0的

交點(diǎn)的圓系方程是：x~+y~+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=0

13、圓/+y2=廠2的以p（x0,打）為切點(diǎn)的切線方程是

xQx+yoy=r

一般地，曲線4/+?2一以+劭+尸=0的以點(diǎn)尸（X。，打）為切點(diǎn)

的切線方程是：Ax.x+Cy.y-D-^—^+E-^^+F^0.例如，拋

物線y2=4x的以點(diǎn)口1,2）為切點(diǎn)的切線方程是：2y=4xt］一,即：

y=x+1。

注意：這個(gè)結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按

照求切線方程的常規(guī)過程去做。

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式法：△>（）,=0,<0,等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；

②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大于半徑、等于

半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。

15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：F=2px,y2=-2px,

2

x~-2py9x=-2pyo

16、拋物線/=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：-1,0,準(zhǔn)線方程是:x=

2

若點(diǎn)尸（%,打）是拋物線y2=2Px上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)

的距離（稱為焦半徑）是:與+“，過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋

o2

物線對(duì)稱軸的弦（稱為通徑）的長(zhǎng)是：2p。

17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：片+21=1和￡+二_]（?！地埃?）。

晨b2~a2b2~

20、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：與一=1和4一0=1

a2h2a2h2

(a>0,/?>0)o

22、與雙曲線二=1共漸近線的雙曲線系方程是

a2b2

2222

j一七=/I（4w0）。與雙曲線j一2=1共焦點(diǎn)的雙曲線系方

a2b2a2b2

程是

a2+k

23、若直線y=履+b與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（x”y0,B（x2,y2），則弦

長(zhǎng)為|A6|=八1+/）區(qū)—尤2產(chǎn)；

若直線x=my+，與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（X],yO，B（X2，y2）,貝U弦

長(zhǎng)為,卻二/1+/）（%乃）2。

25（理）、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點(diǎn)。'在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h,

k）,若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（x,y）,在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是

（x',y'）,貝ijx'=x-/z,y'=y-k?

九、極坐標(biāo)、參數(shù)方程

1、經(jīng)過點(diǎn)外（工（）,汽）的直線參數(shù)方程的一般形式是：

x=x+at

n（f是參數(shù)）。

y=y0+bt

2、若直線/經(jīng)過點(diǎn)外（Xo，y。），傾斜角為a，則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形

x=尤+,cosa

式是：1°.。是參數(shù)）。其中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的兒何

丁=M）+，sina

意義是：有向線段”的數(shù)量。

若點(diǎn)Pl、P2、P是直線/上的點(diǎn)，它們?cè)谏鲜鰠?shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)

分別是小G和，，則：|"2=國(guó)-"|；當(dāng)點(diǎn)P分有向線段

朋成定比；I時(shí)，，=叱幺；當(dāng)點(diǎn)p是線段PF2的中點(diǎn)時(shí).，

1+A

3、圓心在點(diǎn)C（6Z,b）,半徑為〃的圓的參數(shù)方程是：

fx=a+rcosa口.、皿

,.（a是參數(shù)）。

[y=/?+rsin?

3、若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)

P的極坐標(biāo)為（夕超），直角坐標(biāo)為（x,y）,則x=pcosO,

y=psinO,p=y]x2+y2,tg0=—<.

x

4、經(jīng)過極點(diǎn)，傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：6=a或夕=萬(wàn)+&,

經(jīng)過點(diǎn)5,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：pcosO^a,

經(jīng)過點(diǎn)（a,工）且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：Psin。=a,

2---------------

經(jīng)過點(diǎn)仙,仇）且傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：

psin（e-a）-pasin（^0-a）。

5、圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是p=r；

圓心在點(diǎn)3,0）,半徑為。的圓的極坐標(biāo)方程是夕=2acose；

圓心在點(diǎn)（。,5）,半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是夕=2asin。；

圓心在點(diǎn)（夕0，/），半徑為廠的圓的極坐標(biāo)方程是

P2+Po-?PPocos@-%）=產(chǎn)。

6、若點(diǎn)M（0,可）、N（0，2），則

\MN\=JP；+-2/?|42cos（4一%）?

十、立體幾何

1、求二面角的射影公式是cos。='，其中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二

S

面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，S'是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的

射影，。是二面角的大小。

2、若直線/在平面a