《直線的參數(shù)方程(1)》教學(xué)設(shè)計

課題直線的參數(shù)方程(1)

教材人教B版《數(shù)學(xué)》選修4-4

課時1課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與能力：

掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，能夠在兩種形式之間和

直角坐標(biāo)普通方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)式中的參變量的幾

何意義解決簡單問題。

2、過程與方法：

通過直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式和一般式研究，體會兩種方程以及直

角坐標(biāo)普通方程之間的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一思想。

3、情感態(tài)度與價值觀：

(1)通過直線方程各種形式問題，體會到不同數(shù)學(xué)知識間的

內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體。

(2)通過直線參數(shù)方程兩種形式的研究過程，體會數(shù)學(xué)知識在

實際中生活的重要作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、重點與難點

教學(xué)重點:

直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，兩種形式之間和直角坐標(biāo)普通

方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

教學(xué)難點：

直線參數(shù)方程一般式到標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)式中參變量的幾

何意義解決簡單問題。

三、教學(xué)方法

1.教學(xué)方法的選擇：

1.自主探究法，2合作探究法，3啟發(fā)式教學(xué).

2.教學(xué)手段的利用：

本節(jié)課采用多媒體課件、學(xué)案設(shè)計等輔助手段，通過數(shù)形結(jié)合,

使抽象的知識直觀化、形象化，以促進(jìn)學(xué)生的理解。

四、教學(xué)準(zhǔn)備

1.通過導(dǎo)學(xué)案在自習(xí)課提前布置復(fù)習(xí)（直線方程形式，傾斜角概念

等知識）和預(yù)習(xí)任務(wù)；

2.多媒體提前完成授課內(nèi)容的課件設(shè)計，包括作圖等準(zhǔn)備工作。

五、教學(xué)過程

（一）回顧與思考

1.直線方程的五種形式：

（1）一般式：Ax+By+C=O,（4,8不全為0）

（2）點斜式：y-yQ=k（x-xa）

(3)斜截式：y=kx+b

(4)截距式：二+2=1("。0)

ab'

(5)兩點式：上二江=上工(工產(chǎn)均其，必)

%-Xx2-x,

2.直線的傾斜角：直線向上的方向與x軸正方向的夾角，范圍是［0,萬).

(二)知識形成

1.對照教材和導(dǎo)學(xué)案自主探究，探究完成，學(xué)生形成結(jié)論并表述。

(1)探究一：直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式

設(shè)質(zhì)點從M(x°,%)出發(fā),沿著與x軸成a角的方向作勻速直線運動,

其速度為丫，把速度向量在x軸和y軸上分解,

其大小為『=，

Vy=--------------------

設(shè)M(x,y)為f時刻質(zhì)點所在的位置，則

U=-------

這說明：動點M(x,y)的軌跡是過定點M(x0,y0)傾斜角為a的

若不考慮f的物理意義，允許f取負(fù)值，則該式是表

示的是.

(2)直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程

轉(zhuǎn)化而來：

設(shè)直線方程為y-y()=A(x-Xo),其中k=tancr,

a為直線的傾斜角，aw工，代入得：y-%=smq(x—Xo),

2cosa

即y一%=X工0令r_x-4

sinacosasinacosa

X=

整理得:

7=

其中卜|表示

2.教師啟發(fā)學(xué)生回答形成結(jié)論:

(1)卜|的幾何意義：

直線上的點M(x,y)到點M(X。,%)的距離.

在中，|/川=卜-4，|肱4|=,一%|,

因此WLII^-^olL

cosacosa

又因為公男所以

cosp,M=M聞

(2)1為直線的傾斜角，ae[(U),si.n2a+cos2a=1l,o<sin?.

通過實例加深理解:

0

X-——tx=-\-\------1

觀察：參數(shù)方程2和＜2

憶

y=Fy

2

(i)它們的傾斜角分別是多少?

(ii)這兩個方程化為普通方程是什么？

(iii)在兩個方程中卜|的幾何意義分別是什么？

說明：重在讓學(xué)生理解方程中各個量的意義，尤其是卜|的幾何意義.

3.知識應(yīng)用a)：教師引導(dǎo)學(xué)生共同完成，同時板書，給學(xué)生提供良

好的書寫規(guī)范。并注重參數(shù)方程的兩個要素，歸納具體方法.然后通

過學(xué)案中的練習(xí)1鞏固加深。

例1:設(shè)直線4過點A(2,-4),傾斜角為3萬；直線1x-y+l=O.

6

(1)求直線4和4的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式；(2)設(shè)4和4的交點為8,求點

8和點A的距離；

4.自主探究與合作探究，學(xué)生形成結(jié)論，教師板書.

探究二：直線方程的一般式

⑴直線/與向量)=(/,㈤平行(其中/,〃,都不為0),若“5,%)為直線

上的定點，任取直線上一點M(x,y),則%M=(,),且滿足

而平行于向量)=(/,〃?)，因此坐標(biāo)滿足等式絲滋=七盧，令

mI

岬匕―也貝IJ卜二--------

思考：此公式中的f還具有標(biāo)準(zhǔn)式中的意義嗎？

⑵直線的斜率攵和a=(/,m)的關(guān)系為

5.知識應(yīng)用(2)此例題由學(xué)生獨立完成，利用實物投影展示學(xué)生做

的過程，并對比兩種方法.

例3.直線過點41,3),且與向量(2,~4)共線.(1)寫出直線的參數(shù)方程

(2)求點尸(-2,-1)到此直線的距離.

解：(1)把"三^代入y的表達(dá)式，得y=10-若趣

化簡得4x+3y-50=0這就是直線的直角坐標(biāo)方程.

（方法1）（2）由（1）得該直線的斜率％=12皿

（a為直線的傾斜角，aw[0㈤）

因止匕cos6Z=--,sincr=—?

取直線的一點（8,6）,則直線的參數(shù)方程可以寫作

x=S--t

y=6+—t

3

r=5+--(5z)

（方法2）（2）把方程變形為5

4

z=10---(5z)

u3

X-5—M

令u=—5t,則方程變?yōu)?

4

y=10+—?

3sina=[(ae[0,7r)).

此時COS6Z=----，

5

教師提出疑問，學(xué)生解答。

x=5+-u

可否令〃=夕，將方程變?yōu)?.

y=10——u

I5

完成例題，總結(jié)方法：

直線參數(shù)方程一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式的方法及步驟:

（方法一）轉(zhuǎn)化為普通方程：

（1）根據(jù)直線的斜率求出傾斜角的正余弦；

（2）找到直線上的一個點；

(3)根據(jù)公式i°+'c°sa寫出方程

y-y0+tsma

(方法二)直接轉(zhuǎn)化：

,1

X=斯+〃=即+/Q尸+m21）

V/2+m2

(1)形式處理：<

m?（〃+,島）

y=y0+tm=y0+萬——-

71+nr

(2)參變量替換：令〃=J/2+〃72r或者〃=々/2+m21

(3)整理形式，寫出方程.

鞏固練習(xí)：導(dǎo)學(xué)案第3題

(三)知識小結(jié)：學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充

x=x+，cosa

V0

1、直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式：［y=%+fsin0

X=x()+tl

<

2、直線參數(shù)方程的一般式：1=%

3、參數(shù)方程之間以及和普通方程之間的轉(zhuǎn)化.

六、自習(xí)作業(yè)與思考：

1、導(dǎo)學(xué)案練習(xí)2,4題；

2、教輔資料《步步高》分層練習(xí).

七.板書設(shè)計

課題

投影板演例1

內(nèi)容

附：《直線的參數(shù)方程（1）》導(dǎo)學(xué)案

直線的參數(shù)方程（1）

一、教學(xué)目標(biāo)：

掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，能夠在兩種形式之間和直

角坐標(biāo)普通方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)式中的參變量的幾何意義

解決簡單問題。

重點與難點：直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，兩種形式之間和

直角坐標(biāo)普通方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化。利用標(biāo)準(zhǔn)式中參變量的幾何意義

解決簡單問題。

二、知識復(fù)習(xí)：

（1）分別寫出直線方程的以下形式：（注意條件）

1、一般式：___________________________

2、點斜式：___________________________

3、斜截式：_________________________

4、截距式：_________________________

5、兩點式：_________________________

(2)直線的傾斜角：，范圍是

三、知識形成：

1、探究一：直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式

(1)設(shè)質(zhì)點從加(后,%)出發(fā)，沿著與x軸

成a角的方向作勻速直線運動，其速度為八

把速度向量在x軸和y軸上分解，其大小為

心一，設(shè)M(x,y)為f時刻質(zhì)點所在

的位置，則“一.這說明：動點M(x,y)的軌跡是過

定點傾斜角為a的，若不考慮/的物理意義,

允許f取負(fù)值，則該式是表示的是

(2)直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程轉(zhuǎn)化而來：

設(shè)直線方程為卜％=左*-/)，其中Z=tana,

a為直線的傾斜角，aw生，代入得:

2

即。一為/一%,令工二)一1=%一.

sinacosasinacosa

整理得：?=-----------

-----------

其中■表示

(3)要點速記:

1、

2、

V2.V2

x=--1x=-l-\---1

觀察：參數(shù)方程2和，2

V=1H-----1反

2

(i)它們的傾斜角分別是多少?

(ii)這兩個方程化為普通方程是什么？

(iii)在兩個方程中卜|的幾何意義分別是什么？

例1：設(shè)直線4過點A(2,~4),傾斜角為3萬；直線x-y+l=O.

6

(1)求直線4和&的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式；(2)設(shè)乙和6的交點為8,求點

6和點A的距離;

2、探究二：直線方程的一般式

（1）直線/與向量）=（/,㈤平行（其中/,加都不為0）,若“（X。,%）為直

線上的定點，任取直線上一點〃（x,y）,則萬詞=（,）,

且滿足玩而平行于向量￡=（/,加），因此坐標(biāo)滿足等式

）」為」一d,令廠）」為_XTo,則卜=-------

mImI[y=

思考：此公式中的/還具有標(biāo)準(zhǔn)式中的意義嗎？

（2）直線的斜率左和a=（/,附的關(guān)系為

例2.設(shè)直線的參數(shù)方程為[”=5+如，（1）求直線的直角坐標(biāo)方程（2）

y=10—4/

將此方程化為標(biāo)準(zhǔn)式.

練習(xí)：課堂練習(xí)第3題

四、課堂小結(jié)：

1、______________________________________________________

2、

3

五、課后練習(xí)：

1.直線過(3,-5),傾斜角為g乃，求直線的參數(shù)方程.

2.直線的參數(shù)方程為「=一"',求點(0,-2)到(-1,2)的距離.

y=2-4t

3.直線的普通方程為尤-2y+l=(),令x=l+2f,寫出直線的參數(shù)方程,

并化為標(biāo)準(zhǔn)式.

4.一直線過點(2,1),與向量(-1,1)平行：(1)求直線的參數(shù)方程；(2)

求點P(-1,-2)到直線的距離.

學(xué)情分析：

本節(jié)課課堂學(xué)生為高二年級的學(xué)生，學(xué)生基礎(chǔ)整體較好，但是由

于參數(shù)方程是新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而且解析幾何部分知識也是在必修2和

選修1-1中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，間隔時間較長，知識遺忘較為嚴(yán)重，同時本

節(jié)課在研究參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式時會較多的涉及到傾斜角這個概念，因

此對前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)習(xí)和回顧是對本節(jié)課掌握的一個重要前提。

同時在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，直線參數(shù)方程的一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式

的過程需要構(gòu)造傾斜角的三角函數(shù)值，這對學(xué)生三角函數(shù)部分的理解

和應(yīng)用也是一個較高要求，需要提前復(fù)習(xí)輔助角公式等內(nèi)容。

另外，學(xué)生需要能夠及時轉(zhuǎn)化思路，從直角坐標(biāo)普通方程轉(zhuǎn)化為

參數(shù)方程的思想，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點。

效果分析：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，多數(shù)學(xué)生能夠掌握直線參數(shù)方程的兩種形式,

以及標(biāo)準(zhǔn)式中各個量的意義，對于從參數(shù)方程到直角坐標(biāo)普通方程的

轉(zhuǎn)化也能夠很好的掌握，學(xué)習(xí)過程中一部分學(xué)生對于從一般方程向普

通方程的轉(zhuǎn)化略感吃力，但是隨著課堂深入的研究和對于方法的歸納,

在本節(jié)內(nèi)容結(jié)束之時也能夠掌握該問題的方法和操作步驟，另外一個

難點是標(biāo)準(zhǔn)方程中參變量的幾何意義的理解和應(yīng)用，在剛開始接觸之

時學(xué)生感覺較難理解與把握，但是在完成例題之后的具體實例分析幫

助學(xué)生突破了這一難點，效果不錯。下一節(jié)課還要重點研究直線參數(shù)

方程的應(yīng)用，對于本節(jié)掌握的程度也是一個加深。

教材分析：

《直線的參數(shù)方程》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）

高中二年級數(shù)學(xué)選修4-4第二章的一節(jié)內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容分兩個課時，

第一課時重在直線參數(shù)方程的兩種形式和簡單應(yīng)用，第二節(jié)較為深入

的探究其應(yīng)用，本次授課是第一課時。本節(jié)課之前，學(xué)生在必修2解

析幾何部分學(xué)習(xí)了直線的直角坐標(biāo)方程和性質(zhì)，曲線參數(shù)方程的概念,

對直線和參數(shù)方程有了一定的感性和理性認(rèn)識，對直線的參數(shù)方程的

學(xué)習(xí)有了較多的知識儲備。

直線的參數(shù)方程是選修教材中非常中重要的一節(jié)知識，以前學(xué)習(xí)

了直線的直角坐標(biāo)方程，有了參數(shù)方程的概念之后，利用參數(shù)來研究

直線方程，并形成標(biāo)準(zhǔn)式和一般式兩種結(jié)構(gòu)形式，對學(xué)生解析兒何部

分知識的培養(yǎng)和發(fā)散具有很大的幫助，同時也提供了重要的方法。學(xué)

習(xí)本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用。

結(jié)合高考大綱的要求，考慮學(xué)生基礎(chǔ)的實際，從簡單入手，探索

直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，并在兩種形式之間和直角坐標(biāo)普通

方程之間的轉(zhuǎn)化。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本節(jié)課的知識目標(biāo)定位在

以下三個方面：

【教學(xué)目標(biāo)】

4、知識與能力：

掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，能夠在兩種形式之間和

直角坐標(biāo)普通方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)式中的參變量的幾

何意義解決簡單問題。

5、過程與方法：

通過直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式和一般式研究，體會兩種方程以及直

角坐標(biāo)普通方程之間的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一思想。

6、情感態(tài)度與價值觀：

(1)通過直線方程各種形式問題，體會到不同數(shù)學(xué)知識間的

內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體。

(2)通過直線參數(shù)方程兩種形式的研究過程，體會數(shù)學(xué)知識在

實際中生活的重要作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)重點】

直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和一般式，兩種形式之間和直角坐標(biāo)普

通方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

【教學(xué)難點】

直線參數(shù)方程一般式到標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)式中參變量的

幾何意義解決簡單問題。

【教學(xué)方法】

啟發(fā)式教學(xué)

【課時安排】1課時

【課程類型】新授課

評測練習(xí):

痣

x=——tX=-1H--

(一)參數(shù)方程2和，2

V2

y=l+培

2

(i)它們的傾斜角分別是多少?

(ii)這兩個方程化為普通方程是什么？

(iii)在兩個方程中卜|的幾何意義分別是什么？

分析：此題目實在完成標(biāo)準(zhǔn)式之后由三個學(xué)生回答的問題，三個學(xué)生

完成的都很好，尤其是第三個說明卜|的幾何意義，很準(zhǔn)確，說明學(xué)生

掌握的整體較好。

（二）例2.設(shè)直線的參數(shù)方程為["=5+3"（1）求直線的直角坐標(biāo).

y=10-4/

（2）將此方程化為標(biāo)準(zhǔn)式.

分析：此題目是在完成一般式之后完成學(xué)生自主完成的一道題，通過

實物投影展示兩個學(xué)生兩種不同的做法，基本能夠完成，但是細(xì)節(jié)之

處處理的不是很好，課堂上教師做了糾正。

（三）直線過（3,-5）,傾斜角為|萬，求直線的參數(shù)方程.

分析：此題目是例1之后學(xué)生的鞏固練習(xí)，完成的很好.

（四）直線的參數(shù)方程為卜T+,求點。-2）到（-1,2）的距離.

[y=2-4t

分析：此題目安排在課后練習(xí).

（五）直線的普通方程為x-2y+l=0,令x=l+2r,寫出直線的參數(shù)

方