特級教師小學奧數(shù)匯編教材

第十五講比例百分數(shù)應用題

【專題知識點概述】

一、比例：

比例與百分數(shù)作為一種數(shù)學工具在人們日常生活中處理多組數(shù)量關系非常

有用.這一部分內容是小升初考試的重要內容.通過本講需栗學生掌握的內容

有：

1.比例式的恒等變形.

2.各種條件下比例的轉化，有目的的轉化.

3.比例與和差關系問題中數(shù)量關系的對應和運用.

比和比例的性質

性質1:若a:b=c:d,則（a+c）:（b+d）=a:b=c:d;

性質2：若a:b=c:d,則（a-c）:（b-d）=a:b=c:d;

性質3:若a:b=c:d,則（a+xc）:（b+xd）=a:b=c:d;（x為常數(shù)）

性質4：若a:b=c:d,則aXd=bXc;（即外項積等于內項積）

正比例：如果a+b=k（k為常數(shù)），則稱a、b成正比；

反比例：如果aXb=k（k為常數(shù)），則稱a、b成反比.

比例題目常用解題方式和思路

解答分數(shù)應用題關鍵是正確理解、運用單位“I”。題中如果有幾個不同的

單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉化成統(tǒng)一的單住“1”，

使數(shù)量關系簡單化，達到解決問題的效果。在解答分數(shù)應用題時，要注意以下

幾點：

1.題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關系密切、便于直接

解答的數(shù)量為單位“1”。

2.目題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。

3.應用正、反比例性質解答應用題時票注意題中某一數(shù)量是否一定，然后

再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應的分率與

其他具體數(shù)量之間的正、反比例關系，就能找到更好、更巧的解法。

4.題中有明顯的等量關系，也可以用方程的方法去解。

5.賦值解比例問題

二、百分數(shù)：

（1）如何求一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）？

求一個數(shù)的幾分之幾，只需栗將這個數(shù)乘以幾分之幾就得到.

例如：5的24%是多少？解答：5X24%=1.2.

（2）如何求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）？

求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，只需要將前一個數(shù)除以后一個數(shù)就得到.

例如：2是3的幾分之幾？解答：-^-=-x-=-.

3434339

（3）已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），如何求這個數(shù)？

已知一個數(shù)的幾分之幾，要求這個數(shù)，只需要將這個幾分之幾的數(shù)除以幾分之

幾.

例如：一個數(shù)的士等于18,那么這個數(shù)等于多少？解答：18+*=18x±=27.

332

（【授課批注】\

分數(shù)應用題經(jīng)常要涉及到兩個或兩個以上的量，我們往往把其中的一個量看作是標準

量.也稱為：單位“1”，例如a是b的幾分之幾，就把數(shù)b看作單位“1”.在幾個量中，

弄清哪一個是單位“1”很重要，否則容易出錯誤.而百分數(shù)應用題中所涉及的百分數(shù)，只

1曼分母是100的分數(shù)，因而計算的方法和分數(shù)應用題是一樣的，關鍵也是要找準單位“1〃

和對應的百分率，以及對應量三者的關系

【重點難點解析】

1.單位一變化的比例問題

2.連比問題

3.方程解比例應用題

4.單位“1”的變化

【競賽考點挖掘】

1.百分數(shù)比列問題

2.經(jīng)濟和濃度問題

3.具體量與分數(shù)百分數(shù)的關系

祟【習題精講】

【例1】(難度級別X)

六年級男生有50人，女生有40人，(1)女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？(2)男生人數(shù)

比女生人數(shù)多百分之幾？(3)女生人數(shù)比男生人數(shù)少百分之幾？(4)女生比男生少的人數(shù)

是全班人數(shù)的百分之幾？

【分析與解】

此題四個問題都是求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，解答的關鍵是找準單位“1”，

(1)男生人數(shù)為單位“1”，40+50=4/5;

(2)女生人數(shù)為單位“1”，(50-40)4-40=25%;

(3)男生人數(shù)為單位“1",(50-40)4-50=20%;

(4)全班人數(shù)為單位“1”，(50-40)4-(50+40)?11.1%。

【例2】（難度級別X）

圓珠筆和鉛筆的價格比是4：3,20支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5元.問圓珠筆的單價是

每支多少元？

【分析與解】

設圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價格為3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為20X4+21

X3=143,則單位“1”的價格為71.59143:0.5元.

所以圓珠筆的單價是0.5X4=2（元）.

【例3】（難度級別X）

一個水箱中的水是裝滿時的？5，用去200立升以后，剩余的水是裝滿時的3巳，這個水箱的

64

容積是多少立升？

【分析與解】

53

200+（—--）=2400（立升）。

64

【例4】（難度級別派※）

古希臘杰出的數(shù)學家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一是幸福的童年.再活十

二分之一臉上長起了細細的胡須，他結了婚還沒有孩子，又度過了七分之一。再過了五年,

他幸福地得到了一個兒子。可這孩子光輝燦爛的壽命只有他父親的一半。兒子死后，老人在

悲痛中活了四年，也結束了塵世的生涯"。你能根據(jù)這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少

歲結的婚嗎？

【分析與解】

活的歲數(shù)：（5+4）+（1—工―工―工―工）=84（歲），結婚年齡：84x（1+—）=21（歲）。

61272612

【例5】（難度級別※派）

幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3,中

班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1,那么大班有女生多少名？

【分析與解】

設大班女生有x名，則中班女生有（18-x）名.根據(jù)男生數(shù)可列出

52

方程：xX-+（18-x）X-=32,解得x=12.

31

所以大班有女生12名.

【例6】（難度級別※派）

某運輸隊運一批大米.第一天運走總數(shù)的!多60袋，第二天運走總數(shù)的l少60袋.還剩

54

下220袋沒有運走。這批大米原來一共有多少袋？

【分析與解】

可畫圖幫助學生理解，（220-60+60）+（1-J-1）=400（袋）.此題也可使用倒推法解決.

54

【例7】（難度級別派※※）

甲、乙、丙三人一起買了八個面包平分著吃，甲拿出五個面包的錢，乙付了三個面包的錢，

丙沒帶錢，等吃完后一算，丙應該拿出四元錢，問：甲應收回多少錢？（以角為單位）

【分析與解】

QQ

每人應付一個面包的錢，丙拿出的40角就是一個面包的錢，所以一個面包的價格應為：

33

QQ

40--=15（角），甲多付的錢為：（5--）xl5=35（角），所以甲應收回35角。

【例8】（難度級別派※※）

學校派出60名選手參加2008年“華羅庚金杯小學數(shù)學邀請賽”，其中女選手占4.正式比

4

2

賽時有幾名女選手因故缺席，這樣就使女選手人數(shù)變?yōu)閰①愡x手總數(shù)的正式參賽的女

11

選手有多少名？

【分析與解】

因為女選手人數(shù)有變化，男選手人數(shù)未變，所以抓住男選手人數(shù)不變求解.把總人數(shù)視為

1?

“1”，男選手人數(shù)是60X（1-—）=45（人），男選手人數(shù)占正式參賽選手總數(shù)的1-一，所

411

22

以正式參賽選手總數(shù)是：45+（1--）=55（人），正式參賽的女選手人數(shù)是55X—=10（人）。

1111

【例9】（難度級別※派）

己知甲、乙、丙三個數(shù)，甲：（乙+丙）=4：3,乙：丙=2：7,求甲：乙：丙.

【分析與解】

由乙：丙=2:7得到乙：（乙+丙）=2:9,丙：（乙+丙）=7:9,而甲：（乙+丙）=4:3,所

一427

以甲：乙：丙一：一：一=12：2：7。

399

【例10］（難度級別派※）

專業(yè)戶王老伯養(yǎng)了許多雞鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的倍.鴨比雞少幾分之幾？

4

【分析與解】

把鴨看成1,那么雞就是1,，鴨比雞少：（1，-1）+1-=-.（此時的單位“1”是雞的

4445

只數(shù)）

【例11］（難度級別派※）

有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25%那么，這堆糖果中

有奶糖多少塊？

【分析與解】

459251

方法一：原來奶糖占——=——，后來占——=—,因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比

100201004

9

原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+（4x——1）=20塊.

20

9

其中奶糖有20X—=9塊.

20

方法二：原來奶糖與其他糖（包含水果糖）之比是45%：（1-45%）=9：11,

設奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.

現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25%:（1-25%）=1:3=9:27,

奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，

I份即1塊.奶糖占9份，就是9塊奶糖.

【例12］（難度級別派※※）

李大娘把養(yǎng)的雞分別關在東、西兩個院內.已知東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的,

4

賣給商店，!賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來東、西兩

3

院養(yǎng)雞總數(shù)的50%.原來東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只？

【分析與解】

方法一：設原來東西兩院一共養(yǎng)雞工只，那么西院養(yǎng)雞（工一40）只.

依題意：.(x-40)xf1—：—；)+40=gx,解出x=280.

即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞280只.

方法二：50%即工，東、西兩院剩下的雞等于東院的工加上西院的工，即20+,西院原養(yǎng)

2222

雞數(shù).

有東院剩下40只雞，西院剩下原1—工一』=9的雞.

4312

所以有西院原養(yǎng)雞（40—20）4-=240只，即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280

只.

【例13］（難度級別派※※）

學而思學校四五六年級共有615名學生，已知六年級學生的土，等于五年級學生的等

25

于四年級學生的士3。這三個年級各有多少名學生學生？

7

【分析與解】

173

將六年級學生的一，等于五年級學生的一，等于四年級學生的一，看作一個單位，那么六

257

7

年級學生人數(shù)等于2個單位，五年級學生等于2.5個單位，四年級學生等于一學生，所以

3

57

六年級、五年級、四年級學生人數(shù)的比為2：-：—=12：15：14,所以六年級學生人數(shù)為

23

1215

615x---------=180人，五年級學生人數(shù)為615x----------=225人，四年級學生人

12+15+1412+15+14

14

數(shù)為615x=210A.

12+15+14

【例14］（難度級別派※※）

用一批紙裝訂一種練習本.如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40%；如果裝訂了185

本，則還剩下1350張紙.這批紙一共有多少張？

【分析與解】

方法一：裝訂120本，剩下40%的紙，即用了60%的紙.那么裝訂185本，需用185X（60%

4-120）=92.5%的紙，即剩下1-92.5%=7.5%的紙，為1350張.所以這批紙共有1350

4-7.5%=18000張.

方法二：120本對應（1-40%=）60%的總量，那么總量為120。60%=200本.當裝訂了

185本時，還剩下200-185:15本未裝訂，對應為1350張，所以每本需紙張：1350?

15=90張，那么200本需200X90=18000張.即這批紙共有18000張.

【例15］（難度級別派※※※）

一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，黑子與白子的個數(shù)之比為2:1；再拿走45

枚黑棋子后，黑子與白子的個數(shù)比為1:5,開始時黑棋子和白棋子各有多少枚？

【分析與解】

第二次拿走45枚黑棋，黑子與白子的個數(shù)之比由2:1（=10:5）變?yōu)?:5,而其中白棋的數(shù)

目是不變的，這樣我們就知道白棋由原來的10份變成現(xiàn)在的1份，減少了9份。這樣原來黑

棋=45+9X10=50,白棋=45+9X5+15=40。

【例16］（難度級別派※※）

某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3：2,分為甲、乙、丙三組。已知甲、乙、丙三組的人

數(shù)比是10：8：7,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3：1,乙組中男、女會員的人數(shù)之比是

5:3o求丙組中男、女會員人數(shù)之比。

【分析與解】

1033，人口上311

以總人數(shù)為1,則甲組男會員為--------------x-------——，女會貝為一x-=一,

10+8+73+11010310

1051133

乙組男會員為--------x----女會員為一x2=3；

10+8+75+355525

丙組男會員為女會員為丙組中男、

19

女會員人數(shù)之比為—=5：9

1050

【例17](難度級別派※※※)

6枚壹分硬幣摞在一起與5枚式分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3枚伍分

硬幣摞在一起一樣高。用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，

共用了124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？

【分析與解】

由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為6:5,壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3=6:

4.5,所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為6:5:4.5即12:10:9,因此壹

分硬幣的數(shù)量為124x———=48枚，貳分硬幣的數(shù)量為124%———=40,伍分

12+10+912+10+9

9

硬幣的數(shù)量為124x---------=36枚，這些硬幣一共有48+40X2+36X5=308分.

12+10+9

【例18](難度級別※※※※)

乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲

的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有10千米.問：

A,B兩地相距多少千米？

【分析與解】

甲、乙原來的速度比是5：4,相遇后的速度比是

[5X(1-20%)]：[4X(1+20%)]=4：4.8=5：6.

相遇時，甲、乙分別走了全程的5/9和4/9.設全程x千米，剩下的部分甲行的長度和乙行

48

的長度之比為5:6,其中相遇后甲行駛了全長的4/9,所以乙行駛了全長的§+5x6=百，

所以乙一共行了全長的1-3-§=所以A、B全長為450千米.

91545

【例19］（難度級別※※※※）

一把小刀售價3元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強剩余的錢數(shù)之比是2：5；如

果小強買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?：13。小明原來有多少錢？

【分析與解】

由已知，小強的錢相當于小明、小強買刀后所剩錢數(shù)和的色一=*,小明的錢相當于小明、

2+57

QQ

小強買刀后錢數(shù)和的-----=—,所以小明、小強的錢數(shù)的比值為8:15,而小明買刀后小

8+1321

明、小強的錢數(shù)之比為2:5=6:15,所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為8:6=4：3,所以小

4-311

刀的售價等于小強原來錢數(shù)的——=-,所以小明的錢數(shù)為3+—=12元.

444

【例20］（難度級別派※※※）

幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)