微專(zhuān)題對(duì)角互補(bǔ)模型1.問(wèn)題呈現(xiàn)：已知等邊△ABC邊BC的中點(diǎn)為D，∠EDF＝120°，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，現(xiàn)要探究線(xiàn)段BE，CF與BC之間的數(shù)量關(guān)系．【特例研究】(1)如圖①，當(dāng)DE⊥AB，DF⊥AC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE，CF與BC之間的數(shù)量關(guān)系：_______________；第1題圖①BE＋CF＝BC【類(lèi)比探究】(2)如圖②，當(dāng)∠DEB≠∠DFC時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；第1題圖②(2)成立．

證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，∟G∟H∵∠B＝∠C，∠BGD＝∠CHD＝90°，BD＝CD，∴△BDG≌△CDH(AAS)，∴BG＝CH，DG＝DH.∵∠A＝60°，∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＝120°.∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH，∴△DGE≌△DHF(ASA)，∴EG＝FH，DE＝DF，∴CF＋BE＝CH＋FH＋BE＝CH＋EG＋BE＝CH＋BG.由(1)可得，CH＋BG＝(CD＋BD)＝BC，∴BE＋CF＝BC，即(1)中結(jié)論仍然成立；第1題圖②∟G∟H【拓展應(yīng)用】(3)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)∠FDC＝45°時(shí)，求BE的長(zhǎng)和此時(shí)△BDE的面積．第1題圖②(3)如圖，分別過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M.∟G∟H∟M∵點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝BC＝2.∵∠FDM＝45°，∴DM＝FM.∵∠FCM＝60°，∴CM＝FM.∵CD＝DM＋CM＝FM＋FM＝2，∴FM＝3－

，∴CM＝

－1，CF＝2CM＝2

－2.由(2)可知，BE＝BC－CF＝2－(2

－2)＝4－2

，∵DG＝DH＝CD＝

，∴S△BDE＝BE·DG＝2

－3.第1題圖②∟G∟H∟M2.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E.(1)如圖①，求證：PD＝

PE；第2題圖①(1)證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，PN⊥AB于點(diǎn)N.∟N∟M∵四邊形ABCD是矩形，∴∠MAN＝90°，∴四邊形PMAN是矩形，∴∠MPN＝90°＝∠DPE，∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，∴∠DPM＝∠EPN.∵∠DMP＝∠PNE，∴△DPM∽△EPN，∴∠PDA＝∠PEB，.∵PN∥BC，∴，∴，∴，即PD＝PE；第2題圖①∟N∟M

解題關(guān)鍵點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P分別作AD，AB的垂線(xiàn)，得到一對(duì)相似三角形，再結(jié)合平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求解；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，連接DE，求證：DE⊥AC；第2題圖②(2)證明：∵P是AC的中點(diǎn)，∠ADC＝90°，∴DP＝AP＝PC.∵tan∠DAC＝，∴∠DAC＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴AD＝DP.在Rt△DAE和Rt△DPE中，，∴Rt△DAE≌Rt△DPE(HL)，∴∠ADE＝∠PDE，∴DE⊥AC；(3)如圖③，若PA平分∠DPE，求PE的長(zhǎng)．第2題圖③(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，∟F∵∠DAC＝60°，∴DF＝AD＝2

.∵PA平分∠DPE，PE⊥PD，∴∠DPA＝∠APE＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形，且DF＝FP，∴DP＝