專題02空間向量基本定理易錯點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（）A．1 B． C．2 D．2．如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)=+，=+，=+，且{，，}是空間的一個基底，給出下列向量組:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，若G是的中點，，，則三棱錐的外接球的表面積是（）A．6π B．10π C．8π D．12π5．設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)26．已知正四面體的棱長為，為中點，為中點，則（）A． B．1 C． D．27．下列命題中正確的個數(shù)是（）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③如果三個向量，，不共面，那么對于空間任意一個向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，在空間四邊形中，點在上，滿足，點為的中點，則（）A． B．C． D．9．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點?滿足，，則（）A． B． C．2 D．10．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個基底的是（）A． B． C． D．二、填空題11．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.12．在空間四邊形ABCD中，，，則________.13．在正三棱錐中，點O為三角形BCD的中心，，則________，________，________.14．正四面體ABCD的棱長為2，點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，則的值為___．15．在正方體中，點分別是面對角線A1B與B1D1的中點，若=a，=b，=c，則=____________16．已知正方體的棱長為，給出下列四個命題：①；②；③點到面的距離為；④點在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，則的取值范圍是其中正確結(jié)論的序號是___________．17．已知關(guān)于向量的命題，（1）是，共線的充分不必要條件；（2）若，則存在唯一的實數(shù)，使；（3），，則；（4）若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；（5）．在以上命題中，所有正確命題的序號是________．18．如圖，在平行六面體中，，，，，AC與BD相交于點O，則______．19．下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿足，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則20．如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，則________（用來表示）三、解答題21．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．22．如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)設(shè)的重心為G，用，，表示；(3)當時，求a的取值范圍．23．1.如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，(1)若，，，求；(2)試用向量，，表示．24．已知是平行六面體．(1)化簡，并在圖中標出其結(jié)果；(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面對角線上靠近的四等分點，設(shè)，試求的，，值．25．已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，.(1)試用、、表示；(2)求的長度.專題02空間向量基本定理易錯點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（）A．1 B． C．2 D．【標準答案】B【思路指引】根據(jù)給定條件選定基底向量，并表示出，再利用向量運算即可得解.【詳解詳析】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，則，又，，，則，，因此，.故選：B2．如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（）A． B． C． D．【標準答案】D【思路指引】由空間向量的加法可得出，利用空間向量數(shù)量積的運算可求得的值.【詳解詳析】依題意，，因為為等邊三角形，，，，，所以，，，，所以，.故選：D.3．設(shè)=+，=+，=+，且{，，}是空間的一個基底，給出下列向量組:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】C【思路指引】借助長方體，結(jié)合題設(shè)向量間的線性關(guān)系，將它們轉(zhuǎn)化到長方體中對應(yīng)線段上，再判斷各項向量組中的向量是否共面，即可確定是否可以作為基底.【詳解詳析】結(jié)合長方體，如圖可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，故選：C.4．如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，若G是的中點，，，則三棱錐的外接球的表面積是（）A．6π B．10π C．8π D．12π【標準答案】C【思路指引】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運算求解，可得為直角三角形，再由為直角三角形，可知為三棱錐的外接球的直徑，再由球的表面積公式得答案．【詳解詳析】解：，，，又、、兩兩相互垂直，，即，，，，則為直角三角形，又為直角三角形，為三棱錐的外接球的直徑，則三棱錐的外接球的表面積．故選：C．5．設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【標準答案】A【思路指引】利用向量的中點公式表示和，然后利用向量的數(shù)量積公式運算即可求解.【詳解詳析】由題意，正四面體ABCD如圖所示，因為E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，所以，，又因為正四面體ABCD的棱長都為a，所以，故(a2cos60°+a2cos60°)a2．故選：A．6．已知正四面體的棱長為，為中點，為中點，則（）A． B．1 C． D．2【標準答案】A【思路指引】利用向量為基底表示，再根據(jù)數(shù)量積求解即可.【詳解詳析】解：如圖，因為為中點，為中點所以，因為正四面體的棱長為，所以故選：A7．下列命題中正確的個數(shù)是（）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③如果三個向量，，不共面，那么對于空間任意一個向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．3【標準答案】B【思路指引】舉例，判斷①，由向量共面的定義判斷②，由空間向量基本定理判斷③，由共面向量定理和空間向量基本定理判斷④．【詳解詳析】①當時，與不一定共線，故①錯誤；②當，，共面時，它們所在的直線平行于同一平面，或在同一平面內(nèi)，故②錯誤；由空間向量基本定理知③正確；④當，不共線且時，，，共面，故④錯誤．故選：B．8．如圖，在空間四邊形中，點在上，滿足，點為的中點，則（）A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】由得，結(jié)合中點公式可得，由線性運算即可求解.【詳解詳析】由得；由點為線段的中點得，∴，故選：D9．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點?滿足，，則（）A． B． C．2 D．【標準答案】D【思路指引】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解詳析】以向量為基底向量，所以所以故選：D10．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個基底的是（）A． B． C． D．【標準答案】D【思路指引】利用空間向量基本定理逐個判斷各個選項即可．【詳解詳析】解：對于選項A：因為，所以，，共面，不能構(gòu)成基底，故選項A錯誤，對于選項B：因為，所以，，共面，不能構(gòu)成基底，故選項B錯誤，對于選項C：因為，，，共面，不能構(gòu)成基底，故選項C錯誤，對于選項D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一個基底，故選項D正確.故選：D．二、填空題11．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.【標準答案】【思路指引】由空間向量的基本定理求解即可【詳解詳析】因為BG＝2GD，所以，又，所以故答案為：12．在空間四邊形ABCD中，，，則________.【標準答案】【思路指引】利用向量的加法法則，及三點共線的推論即可得解.【詳解詳析】，，即又，三點共線，，解得故答案為：13．在正三棱錐中，點O為三角形BCD的中心，，則________，________，________.【標準答案】【思路指引】取中點N，連接，，利用空間向量的線性運算即可得解.【詳解詳析】取中點N，連接，又故答案為：，，14．正四面體ABCD的棱長為2，點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，則的值為___．【標準答案】1【思路指引】根據(jù)給定條件用空間向量的一個基底表示與，再利用空間向量數(shù)量積及運算律計算作答.【詳解詳析】在正四面體ABCD中，令，顯然，，，如圖：因點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，則，，于是得，所以的值為1.故答案為：115．在正方體中，點分別是面對角線A1B與B1D1的中點，若=a，=b，=c，則=____________【標準答案】【思路指引】根據(jù)空間向量的加減法則得到，帶入計算化簡得到答案.【詳解詳析】.故答案為：.16．已知正方體的棱長為，給出下列四個命題：①；②；③點到面的距離為；④點在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，則的取值范圍是其中正確結(jié)論的序號是___________．【標準答案】①②④【思路指引】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征即可判斷①；根據(jù)空間向量基本定理及向量數(shù)量積的運算律即可判斷②；求出三棱錐的體積，利用等體積法即可求出點到面的距離，從而判斷③；證明，，可得平面，從而可得點的軌跡為線段，即可判斷④.【詳解詳析】解：在正方體中，，故①正確；因為，則，故②正確；設(shè)點到面的距離為，則，，又，則，所以，所以，即點到面的距離為，故③錯誤；對于④，連接，在正方體中，平面，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面，又平面，所以，因為點在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，所以點的軌跡為線段，所以的取值范圍是，故④正確.故答案為：①②④.17．已知關(guān)于向量的命題，（1）是，共線的充分不必要條件；（2）若，則存在唯一的實數(shù)，使；（3），，則；（4）若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；（5）．在以上命題中，所有正確命題的序號是________．【標準答案】（1）（4）【思路指引】根據(jù)共線向量，向量垂直，向量的基本定理，向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，逐一分析5個命題的真假，即可得解．【詳解詳析】（1）若，則，反向共線，即滿足充分條件，但當非零向量，同向共線時，不存在，即滿足不必要條件，故（1）正確；（2）若向量，中有一個零向量，則存在無數(shù)個實數(shù)，使，即（2）錯誤；（3）若，，說明，，不一定存在，即（3）錯誤；（4）令，則，所以，無解，即，，不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，即（4）正確；（5），即（5）錯誤．命題（1）（4）正確．故答案為：（1）（4）．18．如圖，在平行六面體中，，，，，AC與BD相交于點O，則______．【標準答案】【思路指引】用向量法求解距離，將轉(zhuǎn)換成模長和夾角已知的向量，根據(jù)向量平方等于模長的平方進行計算【詳解詳析】由圖可得，，所以所以，故答案為：19．下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿足，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則【標準答案】①③【思路指引】由空間向量基本定理可判斷①；根據(jù)空間向量的位置關(guān)系可判斷②；由向量的數(shù)量積以及充分條件和必要條件的定義可判斷③；根據(jù)共線向量的定義可判斷④，進而可得正確答案.【詳解詳析】對于①：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，即，故①正確；對于②：若非零向量，，滿足，，，則與不一定共線，故②不正確；對于③：由可得：，可得，即，所以，反向共線，故充分性成立，若，共線則，當時，不成立，故是，共線的充分不必要條件，故③正確；對于④：若，共線，則或與重合，故④不正確；所以正確的有①③，故答案為：①③.20．如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，則________（用來表示）【標準答案】【思路指引】利用空間的基底結(jié)合空間向量的線性運算計算即可得解.【詳解詳析】，而M是四面體OABC的棱BC的中點，則，因AP＝3PN，，則，所以.故答案為：三、解答題21．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【標準答案】(1)；(2)【思路指引】（1）根據(jù)向量加減法運算法則可得，根據(jù)計算可得的長度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計算可得結(jié)果.(1)，因為，同理可得，所以(2)因為，所以，因為，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．22．如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)設(shè)的重心為G，用，，表示；(3)當時，求a的取值范圍．【標準答案】(1)，(2)(3)【思路指引】（1）利用向量的加法運算，以及數(shù)乘運算即可表示；（2）利用