曲線運動加速度的數(shù)學推導及教學研究摘要 2引言 21圓周運動和一般曲線運動 31.1圓周運動的加速度 31.2一般曲線運動中的加速度 42對向心加速度的一般推導 52.1向心加速度 52.2向心加速度的推導 52.2.1利用位移合成推導 52.2.2利用速度增量推導 62.2.3利用速度位移公式 72.2.4利用矢量端軌跡推導 82.2.5四種方法小結 93曲線運動加速度的數(shù)學推導 94對曲線運動加速度的教學研究 114.1基于高中物理對曲線運動加速度學習的思考 114.2怎樣學習曲線運動的加速度 124.2.1學習方法 124.2.2重難點 124.3以“向心加速度”為例模擬教學過程 134.3.1模擬教學過程的意義 134.3.2新課導入 134.3.3新課教學 134.4.4小結 154.4.5課后作業(yè) 155總結 15參考文獻 16摘要：通過對一般曲線運動的基礎圓周運動進行分析，將曲線運動的加速度分為切向加速度和法向加速度進行研究。對圓周運動切向加速度和法向加速度進行了推導，并將結果擴展到一般曲線運動中。對向心加速度的推導方法進行了研究，采用位移合成法等多種物理方法推導圓周運動的向心加速度，得到多種曲線運動加速度的推導方式。分析了用純物理方法推導曲線運動加速度的不足之處，又采用純數(shù)學方法對曲線運動的加速度進行了研究。將曲線運動加速度的研究應用到物理教學中去，進行了以高中物理為基礎的曲線運動加速度的教學研究，深刻分析了高中曲線運動加速度教學的難易點以及方法，并展開模擬課堂進行教學研究。關鍵詞：圓周運動曲率半徑模擬教學切向加速度向心加速度引言：曲線運動是指物體的運動軌跡為曲線的運動，可以根據(jù)動力學和運動學對曲線運動進行分析。動力學認為，如果一個物體它速度的方向同它所受到的合力的方向沒有共線，那么這個物體就作曲線運動；而運動學認為，做曲線運動的物體運動速度的方向和它加速度的方向是不在同一條直線上的。所以可以得知做曲線運動的物體，它的速度的方向是一直變化的。因為速度是矢量，它不僅有大小還有著方向，所以曲線運動也是一種變速運動，所以曲線運動是十分常見的運動，研究曲線運動可以讓我們更加了解我們的生活。生活中常見的曲線運動有平拋運動、圓周運動和斜拋運動等，而圓周運動是研究曲線運動最基礎最實用的運動。判斷物體是否做曲線運動主要是看物體速度的方向是否發(fā)生著改變，而只有加速度和速度不共線時，物體的速度方向才會發(fā)生改變。所以要想了解曲線運動就必須對曲線運動的加速度進行研究，對曲線運動的加速度研究最基本的就是加速度公式推導，畢竟物理的研究離不開數(shù)學，曲線運動加速度公式的推導也是本文研究的重點。曲線運動加速度公式的推導不僅是曲線運動加速度研究的重點，也是曲線運動物理教學的重難點。目前教課書中對曲線運動加速度的推導，大都采用物理學方法，雖然該方法直觀性較強但敘述起來比較麻煩，所以本文著重研究曲線運動加速度的推導方法，采用數(shù)學和物理多種方法進行推導研究。由于圓周運動是研究一般曲線運動和物體轉動的基礎，所以本文從圓周運動著手對曲線運動加速度進行研究。在進行加速度的分析時，為了使其的物理意義更加清晰準確，本文將以平面自然坐標系來進行研究。1圓周運動和一般曲線運動1.1圓周運動的加速度圓周運動是研究一般曲線運動的基礎，所以在探究曲線運動的加速度時，我們可以用質點在圓周運動上的軌跡來研究。在圓周運動中假設某個點繞其圓心不停的作變速的運動。例如圖1-1所展示的，建立坐標系，取圓周運動軌跡上某一點作為質點，設該點為點P，坐標系的一個坐標軸沿著P點的切線的方向，并取改點的方向的單位矢量用eτ來表示，而另一個坐標軸沿著P點軌跡的法線也就是指向曲線內側的線，相應單位矢量可以用en來進行表示，這種用en和圖1-1因為質點的速度是沿切線方向的，所以我們可以將圖1-1質點的速度寫成為v加速度a可以根據(jù)公式（1-1）求對t的導數(shù)而得出，并且質點運動軌跡各點對切線的方向不同，它的單位矢量eτ同樣也是個變量。設在dt時間內eτ的單位增量是deτa所以可知deτ的方向是垂直于eτ并且對準圓心o的，它和en的方向相同。單位矢量eτe所以d由此得出d通過公式（1-5）中可知ds是質點在一定時間dt里所通過的長度。將公式(1-5)帶入a的表達式中就可以得到a因此我們可知圓周運動加速度可以被正交分解成切向加速度aτ和法向加速度an即，其分解圖如圖圖1-2通過公式（1-6）我們可以知道aτ和an的大小，其中切線方向表示的是該點速率變化的快慢，法線方向表示的是該點的速度方向變化快慢。我們可以通過三角函數(shù)關系來判斷質點是否做勻速圓周運動，也可以通過切向加速度是否為零來判斷，假設該質點作的是勻速圓周運動，那么它dvdt因為圓周運動也是一種曲線運動，所以圓周運動的加速度的推導是可以推廣到一般的曲線運動的。1.2一般曲線運動中的加速度如果一個物體作曲線運動，那么它運動的方向一定會發(fā)生改變，如果運動方向并不發(fā)生改變的話，那么它就只是一個直線運動。因為速度是一個矢量，它不僅有大小還有方向，所以只要速度發(fā)生任何改變，那么它一定會產(chǎn)生加速度，所以如果一個物體作曲線運動，那么它速度的方向一定是會發(fā)生改變的，速度也一定會變化，所以該物體的加速度就不可能等于零，因此研究曲線運動的加速度就是很有必要的。圖1-3如圖1-3，質點沿軌跡運動時，它在任意位置的加速度也可以被分解成為an和aτ，但是法向加速度的公式會有所不同，要把圓周運動中向心加速度公式中的半徑R用曲線在該點處的曲率半徑aa所以得出加速度的公式a通常情況下，曲線上不同位置處的曲率中心和ρ是不同的，但是an是一定2對向心加速度的一般推導2.1向心加速度加速度是描寫物體的運動速度隨時間變化快慢的物理量。物體做圓周運動時，它速度的大小和方向都是變化的，也就是說做圓周運動的物體有加速度。向心加速度是研究圓周運動最重要的知識點，它是指向曲率中心的并且同切線方向垂直，能夠表示圓周的運動速度方向變化快慢的量詞，由于它和速度方向垂直，所以它只能改變速度的方向，不會對速度的大小產(chǎn)生影響。向心加速度是很典型的加速度，很適合單獨研究，并能夠將其結果推廣至曲線運動的加速度研究中。由于勻速圓周運動速度的大小不變，所以我們對向心加速度的研究基本上都是通過勻速圓周運動來進行的，不僅物理現(xiàn)象清晰明了還特別容易觀察推導，計算方便只需要考慮法向加速度就行。由于本文是研究曲線運動的加速度，所以接下來將探討勻速圓周運動向心加速度的幾種推導方法，進行曲線運動加速度的研究。向心加速度不僅僅是研究曲線運動問題的重點，也是物理教學中一直存在的難點，并且向心運動這部分知識不僅僅貫徹初中，高中乃至大學的物理學，在基本力學中占據(jù)重要地位，而且在研究天體運動描述一切宏觀物體運動時常常會涉及，而且在講述回旋加速器質譜儀到現(xiàn)代物理學也會用到該物理知識方面。由于向心加速度研究時，向心加速度是僅由速度方向的改變而產(chǎn)生的雖然速度的大小不變，但是速度方向變化會引起速度改變，并且速度的改變量并不為零，因為速度是矢量，不但有大小，而且有方向。但是剛剛接觸矢量的學生往往難以想象為什么速度大小不變會有加速度的產(chǎn)生，只理解速度改變導致加速度改變。所以本文接下來將介紹幾種推導向心加速度公式的方法，從多個角度來加深學生對向心加速度概念的理解。2.2向心加速度的推導2.2.1利用位移合成推導如圖2-1，一個以速率v做勻速圓周運動的物體，在經(jīng)過一個極短的時間?t從A點移動到了B點位置處，根據(jù)線速度公式可以得到AB如果當時間?t無窮小時，那么路程AB幾乎與AB重合，則有AB圖2-1當物體處在A點時，如果力的作用消失，那么物體將會沿著A點的切線方向做勻速直線運動，在?t時間內通過的位移為v?t。但是我們都知道物體的實際運動是繞圓周運動在?t時間內從A點運動到了B點，這是因為物體還受到了向心力的作用，更快速的離開了切線，在向心力的作用下，物體在此方向上的位移為AF，同過A點的切線方向上的位移一起合起來，讓物體運動到了B點。因為有限時間?t很小，我們可以將向心力近似的看成通過A點半徑方向。根據(jù)圖2-1所示，我們可以通過幾何方法來求出向心加速度公式，由于?ABC～?ABF，所以AF于是AF將公式（2-2）帶入該公式，并且知道AC=2R，所以得出AF式中v、R均是常量，這個公式表明位移AF同時間?t的平方成正比，該結果滿足勻加速直線運動的規(guī)律。根據(jù)初速度為零的勻加速直線運動的位移公式s=1a=根據(jù)本文第一部分內容可知，該結論是正確的圓周運動的法向加速度，并且我們可以將這一結論推廣到一般曲線運動的法向加速度，可以用該幾何法進行求解。2.2.2利用速度增量推導如圖2-2，一個做勻速圓周運動的物體，在一定時間?t內從A點移動到了B點，這段運動過程中因為有限時間?t非常小，可以看成是一個過點A的切線的方向速度為v的勻速直線運動，和一個在AO方向v0為0圖2-2物體通過A點沿著切線方向的速度為v，物體在AO方向的v0=0，所以當物體經(jīng)過很小的時間?t內，物體雖然從A點到了B點，但物體的線速度仍然是v，但是物體運動的方向發(fā)生了改變，所以物體在v因此，物體在AO方向速度的增加量應該是?v=此時該物體沿著切線的方向走過的距離，可以看成從點E到點B的距離，即EB所以可得?t=我們可以根據(jù)加速度的公式得到向心加速度的大小a=本方法是利用速度的增量來推導的，該法的重點是用加速度的定義式去得到結論，同樣得到了向心加速度的計算公式，也同樣可以推廣到一般曲線運動加速度的推導。2.2.3利用速度位移公式如圖2-3，該圖表示一個做勻速圓周運動的物體，它的速率為v，物體在極短的時間?t內從A移動到了B，本方法與第二種類似，我們將運動過程看成為是一個過A點切線方向，并且速度是v的勻速直線運動，和一個在AO方向v0為0的勻加速直線運動的合運動，同第二種方法不同的是AOv求得a=圖2-3我們可以從圖2-3看出AE因為已知v所以a=當?t→0時，有θ→0，就有sinθ→0，a=本方法是利用速度和位移的公式來求推導的，比上一種方法稍稍復雜了點，但是仍是一種簡單的方法去推導向心加速度的計算公式。2.2.4利用矢量端軌跡推導如圖2-4，該圖為速度矢端的軌跡曲線，它表示一個圓形的路徑，我們可以在其上面畫出相等時間間隔里的一系列的速度的矢量，它們方向不同大小相同。我們可以從共同的原點o,畫出這些速度的矢量，我們可以使這些速度矢量端點在半徑為v，周長為2πv的圓上繞一圈。我們可以發(fā)現(xiàn)速度的相繼變化?v都有著相同的長度，但它們方向卻彼此不相同。圖2-4我們假設一個以半徑R作圓周運動的物體，在一個周期以內，繞行一周的距離是vT=2πR#根據(jù)這個思路，我們可以求得速度矢端把v作為半徑，如此繞圓一周，則有aT=2πv#因為從公式（2-19）可知T=所以可得a=本方法比起其它三種方法更加新穎有趣，運用速度的矢量端軌跡相疊加得出了向心加速度的計算方法。2.2.5四種方法小結我們可以通過比較上面的四種方法得出，向心加速度的推導其實是很簡單的，我們有許多方法來計算。通過四種方法的對比，我們能將其分為兩類，前面三種利用位移合成法推導、利用速度增量法推導和利用速度位移公式法推導實際可以概括成一類，它們都是從運動合成的觀點來進行展開分析的。不同的是位移合成法在處理上更注重幾何學方法；速度增量法推導更注重加速度的定義式a=?v總之這四種方法都是非常常見且簡單的向心加速度公式的推導，運用數(shù)學物理知識，采用幾何法等方法去推導向心加速度公式無疑是非常便利的，當然物理世界無窮無盡好用的辦法數(shù)不勝數(shù)并不僅僅局限于本文所列舉的幾種方法。有關曲線運動加速度的推導也可以通過圓周運動向心加速度公式推導得出其法向加速度的推導，唯一需要改變的就是將向心加速度公式的R改成曲線運動的曲率半徑ρ。曲率半徑是用于描述曲線上某處的曲線的曲率度的物理量。圓的半徑越大，曲率的程度就越小，并且它與直線的距離越近。所以，ρ越大，曲率越小，這個曲線也更借接近直線。曲率半徑也可以認為是曲線截面最大程度地微分所得到的弧的半徑。3曲線運動加速度的數(shù)學推導曲線運動不僅是生活中十分常見的運動，同樣也是大學物理主要學習的重要內容之一。研究曲線運動就必不可少的要計算它的切向加速度和法向加速度，也就是對曲線運動加速度的研究。雖然曲線運動的加速度在中學時期已經(jīng)進行了研究，學生早就學習了曲線運動的概念定義，以及如何計算曲線運動的加速度，當然中學時對曲線運動的涉及，大多是一般曲線運動，如圓周運動等，但是進入大學以后，大學物理中仍然對曲線運動加速度進行著研究，這時我們的研究就不僅限于運用物理學知識，更多的運用數(shù)學知識，畢竟自古以來數(shù)學物理不分家，當我們掌握了更多的知識也就有著更好的研究問題的方式。曲線運動加速度公式的推導一直都是物理學習的難點，以往較常用的推導方法，主要是物理方法，因為運用物理方法推導比較直觀形象，更容易學習掌握，但物理方法推導出來的結果往往只是近似的，并不是準確的結果，所以我們還需要有更好更合理的方法來推導曲線運動的加速度，也就是用數(shù)學的方法對曲線運動的加速度進行推導。在許多力學教科書中，并沒有給出數(shù)學推導的辦法，而是為了方便學生的學習選擇用物理方法得到近似的結論，這種舉措有利也有弊，雖然學習起來簡單了但是學生對于這個結論的準確性的懷疑并不能打消。所以本文在這里給出了一種完全通過數(shù)學運算的方法來直接導出計算結果，得到曲線運動加速度的公式，方便大家的學習并且使本文更加嚴謹。圖3-1如圖3-1所示，假設某一動點M沿著曲線AMB進行運動。在該曲線上建立隨點M運動的自然坐標系，其中en和eτ分別表示法向和切向的單位矢量。在某一時刻，M點處在圖3-1v再假設曲線在點M處的曲率半徑為ρ，點o為曲率中心，并且在中心點o處建立直角坐標系oxy（坐標的位置并不影響計算結果，本文為了描述方便所以將坐標中心設于o點）。由圖3-1可知，自然坐標系en和eτ與直角坐標系的i、jee將公式（3-1）對t求導數(shù)，可以得到動點M的加速度a然后再將公式(3-2)對時間t求導數(shù)，得d可以注意到dsdt=v，以及dφds=dφ將公式（3-6）代入到公式（3-5）中，得d再將公式（3-7）代入到公式（3-4）中，我們可以得到a所以如上文所推導的，動點M的切向加速度為a動點M的法向加速度為a以上對曲線運動加速度的推導，有效避開了一般物理方法中比較抽象難懂的矢量極限關系以及含有近似的三角函數(shù)結論，所以這樣也就不用再附加物理矢量的圖形以及冗雜的文字問題說明。運用純數(shù)學的方法對曲線運動的加速度進行推導，清晰明了，準確嚴格，這是推導曲線運動加速度的極為有效的方法。4對曲線運動加速度的教學研究4.1基于高中物理對曲線運動加速度學習的思考本文已經(jīng)對曲線運動加速度的推導進行了詳盡的闡述，但是對曲線運動加速度的研究并不僅僅局限于公式推導，更應該涵蓋方方面面，尤其是教學方面的研究是我們應當重點涉及的。就曲線運動知識點來講，它是高中物理學習中的重點，所以對于曲線運動加速度的研究也要放到高中的物理課堂上，這樣研究起來才更有意義。對于大多數(shù)學生來說，力學不僅僅是一門關于運動的科學，它可以讓學生學會如何運用物理知識去描述自然界發(fā)生的運動，能夠用物理的視角來看待我們的生活，而曲線運動正是自然界最常見的運動，所以曲線運動的學習上十分重要的，我們必須打將曲線運動乃至整個物理學的學習放在心上。高中物理的學習需要我們有較強的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，而曲線運動是一個包括了物體運動的方向和速度、運動的合成與分解、加速度、向心力等等一系列的內容，這些知識都是我們學習的難點，尤其是曲線運動的加速度，學生往往分不清楚切向加速度和法向加速度的區(qū)別，以及如何推導出加速度的計算公式。所以在新課改背景下，如何更好的展開曲線運動的教學是老師們必須思考的問題。我國基礎教育的改革對教師課堂教學的質量十分重視，尤其是學生的學習效果和課堂的教育質量。在改革的背景下，我國出現(xiàn)了一系列反傳統(tǒng)課堂的授課方式，比如先學后教的翻轉課堂、幕課等。但是如何更好地確定學生學習任務，展開更切實方便的教學活動，給予學生更多幫助，給學生提出更多的建議和意見，都是需要老師們不斷研究探討的。就曲線運動加速度的教學研究來說，教師在教學過程中應該注重如下幾個方面：首先，應該安排好曲線運動的教學結構模式，比如在研究“物體做曲線運動的方向”這一環(huán)節(jié)中，對于應該怎樣高效的證明曲線上某一點的運動方向為該點切線的方向，物理教材安排了以下幾個步驟來進行證明：現(xiàn)象歸納整理、實驗驗證、數(shù)理分析、概括以及最后的歸納總結。這樣的教學結構對于學生的學習是有利的，通過合理的結構安排循序進漸的展開學習活動。其次，對教材的合理分析，物理教材的編寫都是有科學依據(jù)的，每一個環(huán)節(jié)的安排都是必要存在的，所以教師在備課的時候應當重點鉆研教材，對課本上安排的互動游戲以及探究實驗都要有所涉及。最后，應該有科學嚴密的理論依據(jù)，物理的學習離不開數(shù)學，雖然我們對物理的學習都是從現(xiàn)象展開的，但是數(shù)學的推導也是十分重要的，沒有嚴謹合理的推導，那物理結論就沒有科學的依據(jù)，所以對物理公式推導的研究也是很有必要的。4.2怎樣學習曲線運動的加速度4.2.1學習方法俗話說得好授人以魚不如授人以漁，在物欲橫流科技飛速發(fā)展的現(xiàn)在，教給學生正確的學習方式是比教給學生正確的知識更為重要的事情。時代的發(fā)展是飛速的，我們學習的知識并不是一成不變的，所以對曲線運動的加速度學習也是要隨時代變化，不斷地改善我們學習的方法。第一，歸納法。歸納法是指從大量的實驗現(xiàn)象去總結物理規(guī)律的常用的方法。比如我們在進行曲線運動加速度的學習時，可以先從生活中許多實例來進行學習，比如為什么導彈和人造衛(wèi)星發(fā)射后都是作曲線運動？為什么鋼珠沿著桌面直線運動之后它會脫離桌面作斜拋運動？通過牛頓第一定律，我們可以得知這些作曲線運動的物體，它們受到的力和它們的速度并不在同一條直線上。因此可以得出物體作曲線運動的條件：力和速度不共線。第二，模型法。在學習過力的合成與分解后，對于受力比較復雜的物體求合力時，我們可以將物體受到得力先分解后合成，將力分解成具有獨立性的模型，這樣更方便求解。對曲線運動我們可以將物體受到的力分解成與速度垂直和與速度共線兩個方向的力，當分力和速度垂直時速度的方向改變，當分力和速度共線時速度的大小改變。所以通過模型法，我們可以更好地研究曲線運動的加速度。第三，分析推理法。通過已經(jīng)掌握的知識對所學的內容進行物理分析，在學習曲線運動之前，學生已經(jīng)學習了加速度的概念，由于速度和加速度都是矢量，所以加速度不僅可以使速度的大小發(fā)生改變，還可以使速度的方向發(fā)生改變。所以我們可以對曲線運動的加速度進行研究時，可以以勻速圓周運動的物體為例來進行討論，通過研究勻速圓周運動物體的速度變化，分析推理得出向心加速度的特點。4.2.2重難點第一，曲線運動也有勻變速運動。曲線運動可以被分成兩個部分：非勻變速曲線運動和勻變速曲線運動。很多人受到之前學習過的勻速直線運動的影響，往往會產(chǎn)生誤解認為只有直線運動才存在勻速運動。如果作曲線運動的物體它所受到的加速度不變，那么它就是勻變速運動，比如拋體運動。第二，對曲線運動速度的分解。在研究曲線運動和曲線運動的加速度時，我們通常會對它的速度進行分解，雖然分解的方向是可以任意的。但是為了更好地研究曲線運動，我們通常會將速度根據(jù)實際運動效果分解。比如一個平拋運動的小球我們可以將速度分解成沿小球運動的方向和垂直小球運動的方向。第三向心力并不一定就是合外力。物體圓周運動時受到的向心力實際只是一種效果力，它是物體所有力在半徑這條線上的合力，它可能只是一個力，也可能是多個力的合成，像變速圓周運動它的合外力就是向心力和切向力的合力?？傊€運動的加速度是學習的難點，要學好它一定要掌握好各個物理量的概念以及含義，并且要善于對曲線運動的規(guī)律進行歸納總結，這樣學習曲線運動就不會那么難了。4.3以“向心加速度”為例模擬教學過程4.3.1模擬教學過程的意義對曲線運動加速度的教學研究不僅僅需要理論方面的研究，也需要基于實際教學情境展開的研究，所以本文對曲線運動的加速度設計了模擬教學過程，能夠運用前文對曲線運動加速度的教學研究以及公式推導。通過以“向心加速度”為例展開的模擬教學，能夠更好的擴展對曲線運動加速度的教學研究。4.3.2新課導入經(jīng)過前面拋體運動的學習，我們了解到在實際生活中，物體如果做曲線運動那么它一定會受到外力的作用，比如以下兩個例子（通過課件展示）圖4-1地球公轉圖4-2小球繞圖釘轉動提問：圖中所示的地球以及小球它們分別都受到了什么樣的力的作用？它們加速度的大小和方向是怎樣的？帶領學生復習曲線運動的有關知識，回顧重難點和基本概念。提問：什么是加速度？加速度的公式是什么？如果在直線運動中v0表示初速度，v表示末速度，那么速度的變化量為v?4.3.3新課教學4.3.3.1速度變化量從加速度的定義式a=vt可知，a的方向和引導學生閱讀教材，畫出物體加速和減速運動的矢量圖，并基于圖片展開教學，引導學生判斷?v是矢量還是標量。得到結論：如果速度是增加的，那么速度的變化量和初速度方向相同，反之亦然?？梢詫⒁陨辖Y論延伸到曲線運動，當物體沿著曲線運動時，雖然初速度v1和末速度v2不在同一條直線上，但速度的變化量?v仍然可以用上面的方法求的。比如，如圖4-3，一個物體沿曲線從A向B運動，物體于點A和點B的速度為v1和v2，在這個過程中?v如圖4-4所示。圖4-3圖4-4我們可以這樣理解，在物體從點A向點B運動的過程中，它的速度得到增量?v，可以用矢量合成的方法來進行研究，由圖4-4可以看出初速度和速度增量的矢量和為末速度。初步的得到這一結論后在通過課件展示不同曲線運動的速度矢量合成圖，使學生更好地理解?v。4.3.3.2向心加速度通過課件展示圓周運動的初末速度矢量圖，通過上一部分的學習學生已經(jīng)能很好的合成速度增量，所以這里可以讓學生分組討論，親自導出向心加速度的方向。再通過本節(jié)課的導入，“地球公轉”和“小球的轉動”這類具體的運動加以區(qū)別，引導學生得出做勻速圓周運動的物體加速度的特點。雖然已經(jīng)通過導入部分使學生知道勻速圓周運動加速度方向是指向圓心的，但是物體加速度的大小同什么因素有關還是未知的，所以要進行加速度的推導。這里先讓學生按照課本提示自主推導，然后教師再進行總結，推導過程如下所示。圖4-5如圖4-5所示，由于vv并且由于vOA所以?OAB近似于vA、vB和?v組成的三角形，以v代表vA和vB的大小，以?v將上式除以?t，可得?v若?t→0，用?v?t表示an的大小，這時AB所對應的圓心角?l=rθ#將公式（4-7）帶入公式（4-6）可得?v因為已知a利用v=ωr#可得a這種推導公式的辦法是利用前面所學的線速度和角速度的知識來進行的，除此之外還有很多簡便的辦法。為了讓學生對向心加速度的推導掌握得更好，再給學生補充其它向心加速度的推導方法：位移合成推導法、速度增量法、速度位移公式法來進行補充，通過前面所學習過的公式來推導加速度，不僅讓學生復習了以前的知識，還對物理公式的運用有了更好的理解。4.4.4小結本節(jié)課通過生活實例進行情景導入，使學生初步認識了圓周運動，再通過復習向心力的相關知識使學生更好的進行新內