§5.4平面向量的綜合應(yīng)用根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)問題類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理a∥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量1.向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：知識(shí)梳理a＝λbx1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b＝0夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝

(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題

向量問題

解決向量問題

解決幾何問題.2.平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是

，它們的分解與合成與向量的

相似，可以用向量的知識(shí)來解決.(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F與s的夾角).矢量加法和減法3.向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題.知識(shí)拓展2.假設(shè)直線l的方程為：Ax＋By＋C＝0，那么向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行.幾何畫板展示判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)假設(shè)∥，那么A，B，C三點(diǎn)共線.()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.()(3)假設(shè)a·b＞0，那么a和b的夾角為銳角；假設(shè)a·b＜0，那么a和b的夾角為鈍角.()(4)在△ABC中，假設(shè)·<0，那么△ABC為鈍角三角形.()(5)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足： ，t∈R，那么點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0.()√×××√思考辨析

考點(diǎn)自測1.(教材改編)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，那么該三角形為A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴△ABC為直角三角形.

A.6 B.5C.4 D.3在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D為邊BC的中點(diǎn)，所以

，兩邊平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故選D.答案解析答案解析x＋2y－4＝0由

＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4.(2016·銀川模擬)向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，那么|2a－b|的最大值為_____.設(shè)a與b夾角為α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4].∴|2a－b|的最大值為4.4答案解析幾何畫板展示5.一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，那么力F所做的功W＝______J.W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J).300答案解析題型分類深度剖析題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn).假設(shè) ＝1，那么AB＝_____.答案解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，

(2)O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，λ∈(0，＋∞)，那么點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心答案解析引申探究本例(2)中，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，λ∈(0，＋∞)，那么點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的______.內(nèi)心答案解析向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，那么有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2)基向量法適中選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解.思維升華

跟蹤訓(xùn)練1

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形答案解析5答案解析以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線為x軸、y軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng).那么D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，知0≤y≤a.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2(1)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時(shí)，假設(shè)k為直線的斜率，那么過點(diǎn)(2，－1)的直線方程為___________.2x＋y－3＝0∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，那么過點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析答案解析向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(2016·合肥模擬)如下圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，假設(shè)P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，那么 的最小值為________.∵圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，答案解析題型三向量的其他應(yīng)用命題點(diǎn)1向量在不等式中的應(yīng)用答案解析因?yàn)?/p>

＝(x,1)，

＝(2，y)，所以

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)C(1,1)時(shí)，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)F(a，a)時(shí)，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝

.

命題點(diǎn)2向量在解三角形中的應(yīng)用例4(2016·合肥模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，假設(shè)20a＋15b＋12c＝0，那么△ABC最小角的正弦值等于答案解析∴△ABC最小角為角A，

命題點(diǎn)3向量在物理中的應(yīng)用例5如圖，一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，那么F3的大小為答案解析利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時(shí)通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖，M、N分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 ＝0，那么函數(shù)f(x)的最小正周期是____.答案解析3解得xN＝2，答案解析3

三審圖形抓特點(diǎn)審題路線圖系列審題路線圖答案解析返回由E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，作點(diǎn)C的對稱點(diǎn)M，作MF⊥x軸，垂足為F，如圖.返回課時(shí)作業(yè)A.等邊三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√答案解析12345678910111213故△ABC一定是直角三角形.123456789101112132.(2016·山東)非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.假設(shè)n⊥(tm＋n)，那么實(shí)數(shù)t的值為√∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，答案解析123456789101112133.(2016·南寧模擬)向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，那么sin2α等于√由a∥b得cosα＋2sinα＝0，∴cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，答案解析123456789101112134.(2016·武漢模擬)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，假設(shè)m·n＝1＋cos(A＋B)，那么C等于√答案解析123456789101112135.點(diǎn)A(－2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝x2，那么點(diǎn)P的軌跡是A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線√∵＝(－2－x，－y)，

＝(3－x，－y)，∴

＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即點(diǎn)P的軌跡是拋物線.12345678910111213答案解析*6.假設(shè)平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為，那么α與β的夾角θ的取值范圍是________.答案解析12345678910111213如圖，向量α與β在單位圓O內(nèi)，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量α，β為兩邊的三角形的面積為，故β的終點(diǎn)在如下圖的線段AB上(α∥，且圓心O到AB的距離為)，因此夾角θ的取值范圍為 .123456789101112137.在菱形ABCD中，假設(shè)AC＝4，那么 ＝________.－8設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴

＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.答案解析123456789101112138.平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，那么此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos

＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝

.123456789101112139.|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有極值，那么向量a與b的夾角的范圍是__________.答案解析12345678910111213設(shè)a與b的夾角為θ.

∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·