正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

目標(biāo)要求

L理解并掌握正弦曲線、余弦曲線的圖象；

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識；

3.會用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象；

4.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象；

難點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形

數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系.在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.一方面是

以形助數(shù)，突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用.如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮

單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同

角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過角終邊之間的對稱關(guān)系來研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖

象理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形.特

別值得一提的是誘導(dǎo)公式的推導(dǎo).首先提出問題：”由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三

角函數(shù)值相等.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1.正弦曲線

(1)正弦曲線

正弦函數(shù)產(chǎn)sin的圖象叫正弦曲線.

(2)正弦函數(shù)圖象的畫法

①幾何法：

(i)利用正弦線畫出y=sinx,尤e[0,2句的圖象;

(ii)將圖象向左、向右平行移動(每次2〃個單位長度).

②“五點(diǎn)法”：

(i)畫出正弦曲線在[0,2日上的圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)(0,0),,(0),—,(20),用光滑的曲線

連接；

(ii)將所得圖象向左、向右平行移動(每次2〃個單位長度).

(3)本質(zhì)：正弦曲線是正弦函數(shù)的圖形表示,是正弦函數(shù)的一種直觀表示.

(4)應(yīng)用:根據(jù)正弦曲線,能幫助學(xué)生更直觀地認(rèn)識正弦函數(shù),進(jìn)而根據(jù)正弦曲線推導(dǎo)正弦函數(shù)的一些常用

性質(zhì).

【思考】在作y=2+sinx的圖象時,應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)?

2.余弦曲線

（1）余弦曲線

余弦函數(shù)丫=＜：05X,XGR的圖象叫余弦曲線.

y.

_7n_5n_3n1.v=cosx,xeR

（2）余弦函數(shù)圖象的畫法

TT

①要得到產(chǎn)COSX的圖象，只需把〉=豆!1X的圖象向—平移5個單位長度即可.

②用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線產(chǎn)cosX在［0,2句上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點(diǎn)

7T3萬

分別為（0,1）,（5,0）,,（y50）,，再用光滑的曲線連接.

【思考】

產(chǎn)cos%（x￡R）的圖象可由尸sinx（x￡R）的圖象平移得到的原因是什么？

【課前基礎(chǔ)演練】

題1.函數(shù)y=l—sinx,xd［o，2“］的大致圖象是（）

22------------Z.

O匹K3n2nXoA冗3n2nx

2T2T

AB

1N

3^\2nx0號兀魚2冗x

CD

題2.函數(shù)y=cosx與函數(shù)y=—COSX的圖象（）

A.關(guān)于直線x=l對稱B.關(guān)于原點(diǎn)對稱C.關(guān)于X軸對稱D.關(guān)于y軸對稱

題3.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=sin%,工￡［0,2"］與＞=$111羽元￡［2",4"］的圖象（）

A.重合B.形狀相同,位置不同C.關(guān)于y軸對稱D.形狀不同，位置不同

題4.y=l+sin尤，［0,2〃］的圖象與直線y=］交點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

sinx<0,

題5.不等式組jn的解集是

萬WxW5

題6.函數(shù)；y=cosx+4,xG[0,2的圖象與直線y=4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為

題7.用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖.

(l)y=l+2sinx,[0,27]；

(2)y=2+cosx,xG.[0,2〃].

【課堂檢測達(dá)標(biāo)】

題8.函數(shù)y=sinx,xG[0,句的圖象與直線y=0.99的交點(diǎn)有)

A.1個8.2個C.3個D4個

x+yl，g(x)

題9.已知/(x)=sinCOS,則/(x)的圖象)

A.與g(x)的圖象相同B.與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

JTJI

c.向左平移5個單位，得g(x)的圖象D.向右平移了個單位，得g(尤)的圖象

題10.方程|x|=cosX在(一8,十8)內(nèi))

A.沒有根B.有且僅有一個根C.有且僅有兩個根D.有無窮多個根

題11.函數(shù)y=—cosx(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.1萬，ijB.(",1)C.(0,1)D.(27,1)

題12.將余弦函數(shù)y=cosx的圖象向右至少平移m個單位,可以得到函數(shù)y=一sinx的圖象，則m=()

題13.(多選)用“五點(diǎn)法”畫尸3sin尤，正[0,2*的圖象時，下列哪些點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)()

A.信，B.(字3)C.0)D.(2*,0)

為、m[cosx（一兀Wx<0），1

題14.（多選）已知函數(shù)尸~/、若y=[,則x的可能取值為（）

??[sinx（OWxW兀）.N

JInJI5兀

題15.利用余弦曲線，寫出滿足cosx>0,xe[0,2〃]的龍的區(qū)間是—

題16.函數(shù)y=lg（sinx—"+7鏡―2sinx的定義域?yàn)?

題17.用“五點(diǎn)法”畫出y=-2cosx+3（0WxW2〃）的簡圖.

題18.在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=sinx和y=lg尤的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx=lgx的解的個數(shù).

【綜合突破拔高】

題19.點(diǎn)M（5，-mj在函數(shù)y=sinx的圖象上，則相等于

)

A.0B.1C.-1D.2

題20.（多造函數(shù)y=sin冗一1,[0,2與y=〃有一個公共點(diǎn)，則〃的值可以為（）

A.-1B.0C.1D.-2

題21.與圖中曲線（部分）對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

-2n_2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=—sin\x\D.y=—|sinx|

題22.若函數(shù)y=2cosx（0W%W2"）的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面

積是)

A.4B.8C.2"D4"

題23.關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法:

①y=sinx+1.1的圖象與x軸有無限多個公共點(diǎn);

②y=cos（一%）與丁=以）$|x|的圖象相同；

③y=|sin冗|與y=sin（一元）的圖象關(guān)于x軸對稱;

@y=cosx與y=cos（—x）的圖象關(guān)于y軸對稱.

其中正確的序號是.

題24.函數(shù)y=N數(shù)ir^x+sinx—1的定義域是.

題25.已知函數(shù)/（x）=2cosx+l,若/（x）的圖象過點(diǎn)停，"*），則機(jī)=;若/（尤）〈0，則尤的取值集

合為.

題26.當(dāng)［—JT,時,x與y=sinx的圖象交點(diǎn)的個數(shù)為，這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.

題27.若集合sinO2；1,

N=0cos0《5[0,2%],求MGN.

1---AJI

題28.方程sinx=i廠在xd方，JI上有兩個實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

編號：046課題：§7.3.2.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

目標(biāo)要求

L理解并掌握正弦曲線、余弦曲線的圖象；

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識；

3.會用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象；

4.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象；

難點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形

數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系.在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.一方面是

以形助數(shù)，突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用.如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮

單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同

角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過角終邊之間的對稱關(guān)系來研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖

象理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形.特

別值得一提的是誘導(dǎo)公式的推導(dǎo).首先提出問題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三

角函數(shù)值相等.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點(diǎn)

L正弦曲線

(1)正弦曲線

正弦函數(shù)產(chǎn)sin的圖象叫正弦曲線.

y

F-2R節(jié).1

(2)正弦函數(shù)圖象的畫法

①幾何法：

(i)利用正弦線畫出產(chǎn)sinx,xd[O,2句的圖象;

(ii)將圖象向左、向右平行移動(每次2〃個單位長度).

②“五點(diǎn)法”：

(i)畫出正弦曲線在[0,2句上的圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)

(0,0),—(1,1),(耳0),—(y,-l)—,(2凡0),用光滑的曲線連接；

(ii)將所得圖象向左、向右平行移動(每次2"個單位長度).

(3)本質(zhì)：正弦曲線是正弦函數(shù)的圖形表示,是正弦函數(shù)的一種直觀表示.

(4)應(yīng)用:根據(jù)正弦曲線,能幫助學(xué)生更直觀地認(rèn)識正弦函數(shù),進(jìn)而根據(jù)正弦曲線推導(dǎo)正弦函數(shù)的一些常用

性質(zhì).

【思考】在作y=2+sinx的圖象時,應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

提示:作正弦函數(shù)y=2+sin尤,xd[0,2的圖象時,起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五

7T3萬

個：(0,2),(—,3),(4,2),(《"J),(2兀,2).

2.余弦曲線

(1)余弦曲線

余弦函數(shù),=<：05的圖象叫余弦曲線.

7，

_7n_5n.3n1,v=cosx,xeR

(2)余弦函數(shù)圖象的畫法

①要得到尸cosX的圖象,只需把產(chǎn)sinX的圖象向一左—平移!?個單位長度即可.

②用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線產(chǎn)cos尤在[0,2句上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點(diǎn)

7T3萬

分別為(0,1),(1>0),―(乃1)，(三，°)，一(2況1)—,再用光滑的曲線連接.

【思考】

y=cosx(xGR)的圖象可由廣sinx(xGR)的圖象平移得到的原因是什么？

JT7T

提示:因?yàn)镃OSX=sin(x+—),所以y=sinx(xGR)的圖象向左平移5個單位長度可得產(chǎn)8$尤(xWR)的圖

象.

【課前基礎(chǔ)演練】

題1.函數(shù)y=l—sinx,xd)

JI3JT

【解析】選8,當(dāng)％=0時，y=l；當(dāng)時，y=0；當(dāng)x="時，y=l；當(dāng)時，丁=2；

當(dāng)冗=2"時，y=l.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知3正確.

題2.函數(shù)y=cos%與函數(shù)y=—cosx的圖象()

A.關(guān)于直線x=l對稱B.關(guān)于原點(diǎn)對稱C.關(guān)于x軸對稱D.關(guān)于y軸對稱

【解析】選C由解析式可知y=cosx的圖象過點(diǎn)(〃，/?),則y=—cosx的圖象必過點(diǎn)(〃，一。)，由

此推斷兩個函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.

題3.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=sinx,[0,2"]與〉=5由冗，x￡[2",4"]的圖象()

A.重合B.形狀相同，位置不同C.關(guān)于y軸對稱D.形狀不同，位置不同

【解析】選A根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)〉=$山尤，[0,2〃]與？=$山》,[2n,47]的圖

象只是位置不同，形狀相同.

3

題4.y=l+sin%，了￡[0,24]的圖象與直線y=]交點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3

【解析】選C用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l+sinx,冗￡[0,2句的圖象，作出直線>=萬的圖象如圖

所示，

由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象有2個交點(diǎn).

sinx<0,

題5.不等式組《兀一一的解集是________.

萬WxW5

JI.,,

【解析】當(dāng)萬WxW"時，OWsinxWl,當(dāng)％VxW5時sin%V0,所以原不等式的解集為（"，5].

答案：（勿，5]

題6.函數(shù)y=cosx+4,[0,2"]的圖象與直線y=4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

|y=cosx+4,n3n，兀\，3兀、

由j-4得cos%=0,當(dāng)[0,2"]時,％=5或一萬一，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為仁，4J，仁-，4J

答案:仔,4）,4）

題7.用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖.

（l）y=l+2sinx,[0,2"]；

（2）y=2+cosx,冗￡[0,2"].

【解析】⑴列表：

JI3兀2

X—

TJI

sinxi(-10

l+2sin

31-11

X

在直角坐標(biāo)系中描出五點(diǎn)（0,1）,仔，3）,（〃，1）,（三二一1）,（2〃，1）,然后用光滑曲線順

次連接起來，就得到y(tǒng)=l+2sinx,尤6[0,2*的圖象.

⑵列表:

3

2

JI2

XTJI

JI

JI

cosX001

1

2+cos

2123

X

描點(diǎn)連線，如圖,

【課堂檢測達(dá)標(biāo)】

題8.函數(shù)y=sin尤，xG[0,句的圖象與直線y=0.99的交點(diǎn)有()

A.1個3.2個C.3個D.4個

【解析】選區(qū)觀察圖象(略)易知：有兩個交點(diǎn).

題9.已知/(x)=sin(x+高，g(x)=cos(x—高，則/(尤)的圖象()

A.與g(x)的圖象相同B.與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

J[兀

C.向左平移了個單位，得g(x)的圖象D.向右平移了個單位，得g(x)的圖象

【解析】選D/(x)=sinfx+—

JI

/W的圖象向右平移萬個單位得到g(x)的圖象.

題10.方程|x|=COSX在(一8,十8)內(nèi)()

A.沒有根B.有且僅有一個根C.有且僅有兩個根D.有無窮多個根

【解析】選C.求解方程|x|=COSX在(一8,+8)內(nèi)根的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)/(x)=|x|和

g(x)=cosX在(-8,+8)內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)問題./㈤=|x|和g(x)=COSX的圖象如圖,

-1Tg(x)=cosX

顯然有兩交點(diǎn)，即原方程有且僅有兩個根.

題11.函數(shù)y=—cosx（x〉0）的圖象中與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為)

A?生1

B.("，1)C.(0,1)D.(2〃，1)

【解析】選A用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=—cosx,尤〉0的圖象如圖所示，可知3正確.

題12.將余弦函數(shù)y=cosx的圖象向右至少平移機(jī)個單位,可以得到函數(shù)y=—sin尤的圖象，則m=（）

ji3兀3兀

A.—B.nC.D.一j-

3,3兀、

【解析】選C.根據(jù)誘導(dǎo)公式得，y=—sinx=cos（-/J一T一%）=cos|^x—,故欲得到y(tǒng)=—sinx

3JI

的圖象，需將y=cosx的圖象向右至少平移亍個單位長度.

題13.侈選）用“五點(diǎn)法”畫尸3sin尤，xe[0,2句的圖象時，下列哪些點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)（）

A.停'習(xí)B.15’3）C.0）D.（2JI,0）

【解析】選BCD.

JI3JI

五個關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是0,V'口，F(xiàn)，2萬.代入橫坐標(biāo)，計(jì)算得B,C,。正確.

-3[cosX（一兀WxCO），1

題14.（多選）已知函數(shù)丫=一/、若y=[,則x的可能取值為)

??Isinx（OWxW兀）./

itji5n

A.D.

I艮E

【解析】選ABD作出函數(shù)

Hs[iconsx（一兀Wx<0），的圖象'再作直線尸51'如圖所示,則當(dāng)一公〈。時，

.31JI5兀

由圖象知X=—了，當(dāng)OWxW〃時，k8或彳=3

【光速解題】根據(jù)題意，畫出函數(shù)/(x)的圖象及直線y=；的圖象，分別求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

題15.利用余弦曲線，寫出滿足cosx>0,xe[0,2句的x的區(qū)間是

【解析】畫出y=cosx,[0,2"]上的圖象如圖所示.

的區(qū)間為3兀

cosx>00,yjU-211

3兀

答案：0,yjU

-211

題16.函數(shù)y=lg(sinx-"+^/^3

—2sinx的定義域?yàn)?

【解析】要使原函數(shù)解析式有意義，必須滿足;<sin

.首先作出y=sinx在[0,2句上的圖

象，如圖所示,

I兀5兀

作直線尸5,根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與尸sinx,xd[0,2句的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為石和7-；

作直線丁=乎，該直線與>=5111X,[0,2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為弓和^^?

、一一.兀n25兀1\3

觀察圖象可知，在[0,24]上，當(dāng)二~<x^—或一丁^x<—r~時，不等式弓<sin成立，

633622

1

-....................nJI2兀5兀

2的解集為的瓦+2壯〈尤+2"或亍+2k^x<—+2Ek^Z].

兀兀2JI5兀

答案：{次|7~+2k兀+2Z"或+2左"WxV二一+2左"，k^Z}

633O

題17.用“五點(diǎn)法”畫出y=—2cosx+3(04W2")的簡圖.

【解析】列表：

JI3幾2

XJI—

TJT

cosX001

1

-2cosx3531

+3

描點(diǎn)、連線得出函數(shù)y=-2cosx+3（0WxW2〃）的圖象.

題18.在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=sinx和y=lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx=lg%的解的個數(shù).

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系xOy,先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y=sinx,的圖象.

描出點(diǎn)（1,0）,（10,1）,并用光滑曲線連接得到y(tǒng)=lgx的圖象，如圖所示.

由圖象可知方程sinx=lgx的解有3個.

【綜合突破拔高】

題19.點(diǎn)從萬，一[在函數(shù)y=sinx的圖象上，則相等于（）

A.0B.1C.-1D.2

JT

【解析】選C由題意得一根=sin5，所以一m=1,所以m=-1.

題20.（多造）函數(shù)y=sinx—1,[0,2與有一個公共點(diǎn)，則〃的值可以為（）

A.11B.0C.1D.—2

【解析】選BD畫出y=sinx—1的圖象.如圖.

依題意a=0或a=-2.

題21.與圖中曲線（部分）對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

/一

-2K2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=—sin\x\D.y——Isinx|

【解析】選C.注意圖象所對應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)，可排除選項(xiàng)A,D當(dāng)xd（0,〃）時，SinLrl>0,而

題圖中顯然小于零，因此排除選項(xiàng)A

題22.若函數(shù)y=2cosx(0WxW2")的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面

積是()

A.4B.8C.2%D4%

【解析】選。.作出函數(shù)y=2cosx,［0,2"］的圖象，函數(shù)y=2cos%,［0,2刀］的圖象

與直線y=2圍成的平面圖形為如圖所示的陰影部分.

利用圖象的對稱性可知該陰影部分的面積等于矩形0A5C的面積，又因?yàn)椤?=2,OC=2R,

所以S陰影部分=S矩形OABC=2X2"=4

【誤區(qū)警示】解此題，往往忽視對稱，我們需要將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.

題23.關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法：

①y=sinx+1.1的圖象與％軸有無限多個公共點(diǎn)；

②,二^^(―1：)與丁=85|x|的圖象相同；

③y=|sin%|與y=sin(—%)的圖象關(guān)于x軸對稱；

@y=cosx與y=cos(—%)的圖象關(guān)于y軸對稱.

其中正確的序號是.

【解析】對②，y=cos(―x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其圖象相同；

對④，y=cos(-x)=cosx,故其圖象關(guān)于y軸對稱；作圖(略)可知①③均不正確.

答案：②④

題24.函數(shù)y=^2sin2x+sinx—1的定義域是.

【解析】由ZsinG+sinx—ieO得sin或sinx——l,

,JI5兀、Ji

所以x—2k^――，k^Z.

662

答案：{x\2kJi+^~WxW2Z"+等或％=2%"一三，k^Z}

662

題25.已知函數(shù)/(x)=2cosx+l,若/(x)的圖象過點(diǎn)(萬，m),則根=；若/(x)〈0,則x的取值集

合為.

,兀兀1

【解析】當(dāng)％=5時，/(x)=2cos—+1=1,所以機(jī)=l./(x)<0即cosx<-",

作出y=cosx在［0,2"］上的圖象，如圖所示.

,,,2n4兀

由圖知x的取值集合為+2k+2女"，k^Z}.

I.2n4兀

答案：1x|—+2kJi<x<—+2kJi,kez

題26.當(dāng)xd［—〃，